Figuras semejantes

Aprende qué hace que las figuras sean semejantes y cómo usar proporciones para encontrar medidas faltantes.

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Definición

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Las figuras semejantes tienen:
  1. 1.Ángulos correspondientes que son iguales
  2. 2.Lados correspondientes que son proporcionales
Usamos el símbolo ∼\sim para mostrar semejanza. Si el triángulo ABC es semejante al triángulo DEF, escribimos:
△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF
El factor de escala es la razón entre lados correspondientes de figuras semejantes.

Pruébalo ahora

El triángulo ABC tiene lados de 2, 3 y 4 cm. El triángulo DEF tiene lados de 4, 6 y 8 cm. ¿Cuál es el factor de escala de ABC a DEF?

Ejemplos resueltos

El triángulo ABC tiene lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm. El triángulo DEF tiene lados de 6 cm, 8 cm y 10 cm. ¿Son estos triángulos semejantes?
1

Verifica si las razones de los lados son iguales

63=2\frac{6}{3} = 2, 84=2\frac{8}{4} = 2, 105=2\frac{10}{5} = 2 → Todas las razones son iguales a 2
2

Confirma el factor de escala

Cada lado de DEF es exactamente 2 veces el lado correspondiente de ABC → Factor de escala = 2
3

Concluye

Como todos los lados correspondientes tienen la misma razón, los triángulos son semejantes → △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

Errores comunes

Confundir semejante con congruente

Por qué está mal: Las figuras congruentes tienen exactamente el mismo tamaño Y forma. Las figuras semejantes tienen la misma forma pero pueden tener tamaños diferentes.

Correcto: Semejante = misma forma, tamaño diferente permitido. Congruente = misma forma Y mismo tamaño.

No emparejar correctamente los lados correspondientes

Por qué está mal: Al comparar figuras semejantes, debes emparejar los lados en el orden correcto según sus posiciones.

Correcto: Siempre empareja el lado más corto con el más corto, el más largo con el más largo, o usa las posiciones de los ángulos para identificar lados correspondientes.

Sumar en lugar de multiplicar por el factor de escala

Por qué está mal: El factor de escala es una relación multiplicativa, no aditiva.

Correcto: Si el factor de escala es 2, multiplica la longitud original por 2, no sumes 2.

Visual interactivo

Triángulos semejantes

534ABC1068DEF△ABC ∼ △DEF

LLLLos tres pares de lados están en la misma razón k.

  • DE : AB = 10 : 5 = 2
  • EF : BC = 6 : 3 = 2
  • FD : CA = 8 : 4 = 2

Mueve el control para cambiar la razón k. Los ángulos no cambian, cada lado se multiplica por k.

Gráfica de la función

0510152025300510xyA12B8C12D8E18F12G18H12

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
Dos figuras son semejantes si tienen la misma _____ pero no necesariamente el mismo _____.

Por qué es importante

Las figuras semejantes aparecen en todas partes en nuestro mundo:
  • Mapas y planos: Un mapa es semejante al terreno real que representa
  • Fotografía: Ampliar o reducir fotos mantiene la semejanza
  • Arquitectura: Los modelos de edificios son semejantes a las estructuras reales
  • Arte: Los artistas usan la semejanza para crear perspectiva y profundidad
  • Ingeniería: Los prototipos a escala ayudan a probar diseños antes de la producción final
Comprender la semejanza nos ayuda a trabajar con objetos de diferentes tamaños manteniendo las mismas proporciones.

Aplicaciones del mundo real

Lectura de mapas

Los mapas usan la semejanza para representar grandes áreas en papel pequeño. La escala te dice la razón entre la distancia en el mapa y la distancia real.

Ejemplo:

Si un mapa tiene una escala de 1:50.000, entonces 1 cm en el mapa representa 50.000 cm (o 500 m) en la vida real.

1Inténtalo tú mismo

En un mapa con escala 1:25.000, dos ciudades están a 8 cm de distancia.

¿Cuál es la distancia real entre las ciudades en kilómetros?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula: 8×250008 \times 25000 cm, luego convierte a km

Ampliación de fotos

Cuando amplías o reduces una foto, creas una figura semejante. La relación de aspecto permanece igual.

Ejemplo:

Una foto de 4 por 6 pulgadas ampliada por un factor de 2 se convierte en 8 por 12 pulgadas. La razón 4:6 = 8:12 = 2:3.

2Inténtalo tú mismo

Una foto mide 10 cm de ancho y 15 cm de alto. Quieres ampliarla a 24 cm de ancho.

¿Qué altura tendrá la foto ampliada?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Establece la proporción: 1015=24x\frac{10}{15} = \frac{24}{x}

Puntos clave

  • 1Las figuras semejantes tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño
  • 2Los ángulos correspondientes en figuras semejantes son iguales
  • 3Los lados correspondientes en figuras semejantes son proporcionales
  • 4El factor de escala es la razón entre lados correspondientes
  • 5Usa proporciones para encontrar medidas faltantes en figuras semejantes

Preguntas frecuentes

¡Sí! Todos los cuadrados tienen cuatro ángulos de 90 grados y cuatro lados iguales. Cualquier par de cuadrados tendrá ángulos coincidentes y lados proporcionales, haciéndolos semejantes.
¡Sí! Todos los cuadrados tienen cuatro ángulos de 90 grados y cuatro lados iguales. Cualquier par de cuadrados tendrá ángulos coincidentes y lados proporcionales, haciéndolos semejantes.
No. Aunque todos los rectángulos tienen cuatro ángulos de 90 grados, sus razones de lados pueden diferir. Un rectángulo de 2 por 4 no es semejante a un rectángulo de 2 por 6 porque las razones 2:4 y 2:6 no son iguales.
Mira la posición de los lados en relación con los ángulos. El lado más corto de una figura corresponde al lado más corto de la otra. También puedes usar nombres de ángulos coincidentes (por ejemplo, el lado AB corresponde al lado DE).

Glosario

Figuras semejantes
Figuras que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño
Lados correspondientes
Lados en figuras semejantes que están en la misma posición relativa
Ángulos correspondientes
Ángulos en figuras semejantes que están en la misma posición relativa
Factor de escala
La razón de lados correspondientes entre dos figuras semejantes
Proporción
Una ecuación que indica que dos razones son iguales

Tarjeta de fórmulas

Factor de escala

k=lado de la figura maˊs grandelado correspondiente de la figura maˊs pequen˜ak = \frac{\text{lado de la figura más grande}}{\text{lado correspondiente de la figura más pequeña}}

La razón entre lados correspondientes de figuras semejantes

Proporción

ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

Una ecuación que muestra que dos razones son iguales

Producto cruzado

a×d=b×ca \times d = b \times c

Si dos fracciones son iguales, sus productos cruzados son iguales

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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