Problemas de correlación

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Una encuesta a adolescentes da $r = -0{,}85$ entre el tiempo diario de pantalla y las horas de sueño. ¿Qué descripción es correcta?
1. a)Correlación positiva débil
2. b)Correlación negativa muy fuerte
3. c)Correlación negativa moderada
4. d)Ninguna correlación
Respuesta: Correlación negativa muy fuerte
$r$ es negativo, así que más tiempo de pantalla va con menos sueño. $|r| = 0{,}85$ está entre $0{,}80$ y $1{,}00$ , por lo que la correlación es muy fuerte.
2.
Cuatro estudios dan estas correlaciones. ¿Cuál muestra la relación lineal más fuerte?
1. a) $r = 0{,}78$
2. b) $r = 0{,}45$
3. c) $r = -0{,}91$
4. d) $r = 0{,}05$
Respuesta: $r = -0{,}91$
Los valores absolutos son $0{,}91$ , $0{,}45$ , $0{,}78$ y $0{,}05$ . El mayor es $0{,}91$ , así que $r = -0{,}91$ es la más fuerte (correlación negativa muy fuerte).
3.
Para un conjunto de datos, $S_{xy} = 27$ , $S_{xx} = 20$ y $S_{yy} = 45$ . Calcula $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}$ .
Respuesta: 0.9
$r = \frac{27}{\sqrt{20 \cdot 45}} = \frac{27}{\sqrt{900}} = \frac{27}{30} = 0{,}9$ , una correlación positiva muy fuerte.
4.
Cinco estudiantes ensayaron una canción durante 2, 3, 4, 5 y 6 horas y obtuvieron estas puntuaciones: $50$ , $55$ , $65$ , $70$ , $80$ . El primer paso para hallar $r$ son las medias. ¿Cuánto vale $\bar{y}$ , la puntuación media?
Respuesta: 64
$\bar{y} = \frac{50 + 55 + 65 + 70 + 80}{5} = \frac{320}{5} = 64$ .
5.
Una panadería anota las horas que abre durante cinco días: $2, 4, 6, 8, 10$ . Halla la media y las desviaciones que necesitas para $r$ .
Respuesta: 0
1. ¿Cuánto vale la media $\bar{x}$ ? 6
2. ¿Cuál es la desviación de $10$ , es decir, $10 - \bar{x}$ ? 4
3. ¿Cuál es la desviación de $2$ ? -4
4. ¿Cuánto suman las cinco desviaciones? 0
6.
Una cafetería encuentra $r = -0{,}72$ entre la temperatura exterior y el número de chocolates calientes vendidos al día. Interpreta este valor.
Respuesta: -0.72
1. ¿Cuánto vale $|r|$ ? 0.72
2. ¿Cuál es la dirección? negativa
3. ¿Qué tan fuerte es la correlación? fuerte
4. Cuando sube la temperatura, las ventas de chocolate caliente tienden a... bajar
7.
Los datos de muchas ciudades dan $r = 0{,}90$ entre el número de farmacias y el número de peluquerías de una ciudad. ¿Qué conclusión está justificada?
1. a)Las ciudades más grandes tienen más farmacias y más peluquerías, así que una afirmación causal no está justificada
2. b)Abrir una farmacia atrae más peluquerías
3. c)Una ciudad puede reducir sus peluquerías cerrando farmacias
4. d) $r = 0{,}90$ demuestra causalidad porque está cerca de $1$
Respuesta: Las ciudades más grandes tienen más farmacias y más peluquerías, así que una afirmación causal no está justificada
El tamaño de la ciudad (su población) es una variable de confusión: en las ciudades grandes vive más gente que necesita farmacias y peluquerías. La correlación es real, pero no demuestra que una cosa cause la otra, y ningún valor de $r$ por sí solo prueba causalidad.
8.
Una empresa quiere demostrar que su nuevo fertilizante causa un crecimiento más rápido de las plantas. ¿Qué estudio podría justificar esa afirmación causal?
1. a)Una encuesta preguntando a jardineros qué fertilizante usan
2. b)Asignar al azar plantas idénticas a recibir o no el fertilizante, manteniendo igual todo lo demás
3. c)Calcular $r$ para seis granjas que eligieron su propio fertilizante
4. d)Una encuesta en línea a los clientes
Respuesta: Asignar al azar plantas idénticas a recibir o no el fertilizante, manteniendo igual todo lo demás
Solo un experimento controlado y aleatorizado puede justificar una afirmación causal. La asignación al azar reparte las variables de confusión (suelo, luz, cuidados) por igual entre los dos grupos. Las granjas que eligen su fertilizante pueden diferir en muchas otras cosas.
9.
Para cinco puntos, las desviaciones son $x_i - \bar{x}$ : $-2, -1, 0, 1, 2$ y $y_i - \bar{y}$ : $-4, -2, 1, 3, 2$ . Calcula $S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ .
Respuesta: 17
$8 + 2 + 0 + 3 + 4 = 17$ . La suma es positiva, así que $r$ será positivo.
10.
Un estudio sobre la edad de los coches y su eficiencia de combustible da $S_{xy} = -36$ , $S_{xx} = 40$ y $S_{yy} = 45$ . Calcula $r$ y redondea a 2 decimales.
Respuesta: -0.85
$r = \frac{-36}{\sqrt{1800}} \approx \frac{-36}{42{,}43} \approx -0{,}85$ . Los coches más viejos tienden a ser menos eficientes (correlación negativa muy fuerte).
11.
Un entrenador de fútbol anota sesiones de entrenamiento y goles de cinco jugadores: $(1, 2)$ , $(2, 6)$ , $(3, 4)$ , $(4, 5)$ , $(5, 8)$ . Calcula $r$ con 2 decimales.
Respuesta: 0.78
1. ¿Cuánto vale $\bar{x}$ ? 3
2. ¿Cuánto vale $\bar{y}$ ? 5
3. Las desviaciones de $y$ son $-3, 1, -1, 0, 3$ . ¿Cuánto vale $S_{xy}$ ? 11
4. ¿Cuánto vale $S_{xx}$ ? 10
5. ¿Cuánto vale $S_{yy}$ ? 20
6. ¿Cuánto vale $r$ , redondeado a 2 decimales? 0.78
12.
Una profesora compara los días de ausencia con las notas (sobre 10) de cuatro estudiantes: $(1, 9)$ , $(3, 8)$ , $(5, 4)$ , $(7, 3)$ . Calcula $r$ con 2 decimales.
Respuesta: -0.96
1. ¿Cuánto vale $\bar{x}$ ? 4
2. ¿Cuánto vale $\bar{y}$ ? 6
3. Las desviaciones son $x$ : $-3, -1, 1, 3$ y $y$ : $3, 2, -2, -3$ . ¿Cuánto vale $S_{xy}$ ? -22
4. ¿Cuánto vale $S_{xx}$ ? 20
5. ¿Cuánto vale $S_{yy}$ ? 26
6. ¿Cuánto vale $r$ , redondeado a 2 decimales? -0.96
13.
En una escuela primaria con niños de 6 a 12 años, la talla de zapato y la puntuación de lectura tienen $r = 0{,}88$ . Un padre dice: "Tener los pies más grandes hace que los niños lean mejor." Juzga esta afirmación.
Respuesta: 0.88
1. ¿Cuál es la dirección de la correlación? positiva
2. ¿Qué tan fuerte es? muy fuerte
3. ¿Qué variable de confusión influye en la talla de zapato y en la lectura? la edad
4. ¿Está justificada la afirmación causal? no
14.
Cinco puntos están cerca de una recta creciente y tienen $r = 0{,}95$ . Se añade un sexto punto muy a la derecha y muy por debajo de la recta. ¿Qué le pasa a $r$ ?
1. a) $r$ se debilita mucho e incluso puede volverse negativo
2. b) $r$ sube a exactamente $1$
3. c) $r$ pasa a ser mayor que $1$
4. d) $r$ se queda en $0{,}95$ , un punto no importa
Respuesta: $r$ se debilita mucho e incluso puede volverse negativo
El nuevo punto tiene una desviación positiva grande en $x$ y una desviación negativa grande en $y$ , así que suma un producto negativo grande a $S_{xy}$ . $r$ se debilita mucho e incluso puede volverse negativo, como en la lección donde un valor atípico cambió $r$ de $1$ a $0$ . $r$ nunca puede superar $1$ .
15.
Una tienda vende cuatro modelos de paraguas y compara cada precio (en decenas de dólares) con el número vendido por semana: $(2, 9)$ , $(4, 7)$ , $(6, 3)$ , $(8, 1)$ . Calcula $r$ y redondea a 2 decimales.
Respuesta: -0.99
$\bar{x} = 5$ , $\bar{y} = 5$ . Desviaciones: $x$ : $-3, -1, 1, 3$ ; $y$ : $4, 2, -2, -4$ . $S_{xy} = -12 - 2 - 2 - 12 = -28$ , $S_{xx} = 20$ , $S_{yy} = 40$ . $r = \frac{-28}{\sqrt{800}} \approx \frac{-28}{28{,}28} \approx -0{,}99$ : una correlación negativa muy fuerte.
16.
Un entrenador de baloncesto anota las horas de práctica extra y los puntos de cinco jugadores: $(1, 2)$ , $(2, 4)$ , $(3, 6)$ , $(4, 8)$ , $(10, 0)$ . El último jugador se lesionó al principio del partido. Calcula $r$ con y sin ese jugador.
Respuesta: -0.45
1. ¿Cuánto vale $\bar{x}$ para los cinco jugadores? 4
2. ¿Cuánto vale $\bar{y}$ para los cinco jugadores? 4
3. Las desviaciones son $x$ : $-3, -2, -1, 0, 6$ y $y$ : $-2, 0, 2, 4, -4$ . ¿Cuánto vale $S_{xy}$ ? -20
4. ¿Cuánto vale $S_{xx}$ ? 50
5. ¿Cuánto vale $S_{yy}$ ? 40
6. ¿Cuánto vale $r$ con los cinco jugadores, redondeado a 2 decimales? -0.45
7. Los otros cuatro puntos están sobre $y = 2x$ . ¿Cuánto vale $r$ sin el jugador lesionado? 1
17.
Una urbanista compara la distancia al centro de la ciudad (km) con el número de cafeterías a las que se puede ir a pie: $(2, 8)$ , $(4, 10)$ , $(6, 5)$ , $(8, 5)$ . Calcula $r$ y redondea a 2 decimales.
Respuesta: -0.74
1. ¿Cuánto vale $\bar{x}$ ? 5
2. ¿Cuánto vale $\bar{y}$ ? 7
3. Las desviaciones son $x$ : $-3, -1, 1, 3$ y $y$ : $1, 3, -2, -2$ . ¿Cuánto vale $S_{xy}$ ? -14
4. ¿Cuánto vale $S_{xx}$ ? 20
5. ¿Cuánto vale $S_{yy}$ ? 18
6. ¿Cuánto vale $r$ , redondeado a 2 decimales? -0.74
18.
Para las horas de estudio y las notas de cinco estudiantes, $S_{xy} = 45$ , $S_{xx} = 10$ y $S_{yy} = 250$ . Calcula $r$ y luego mira qué pasa cuando se cambian los datos.
Respuesta: 0.9
1. ¿Cuánto vale $\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}$ ? 50
2. ¿Cuánto vale $r$ ? 0.9
3. El profesor suma 5 puntos extra a cada nota. ¿Cuánto vale el nuevo $r$ ? 0.9
4. Ahora el tiempo de estudio se anota en minutos en lugar de horas. ¿Cuánto vale el nuevo $r$ ? 0.9