Guía del profesor: Problemas de correlación

Resuelve problemas reales de correlación: calcula r paso a paso a partir de pocos datos, interprétalo en contexto, juzga afirmaciones causales y descubre cómo un valor atípico cambia r.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Correlación. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Calcular a mano el coeficiente de correlación $r$ para un conjunto de 4 a 6 puntos
Interpretar la dirección y la fuerza de $r$ en el contexto de un problema
Decidir si una afirmación causal está justificada y nombrar una posible variable de confusión
Describir cómo un valor atípico cambia $r$ y decidir cuándo se puede quitar
Comprobar los cálculos con la suma cero de las desviaciones y el intervalo $-1 \le r \le 1$

Requisitos previos

• Introducción a la correlación: correlación positiva, negativa y nula en diagramas de dispersión
• Coeficiente de correlación: la fórmula de $r$ y la escala de fuerza
• Calcular la media de un conjunto pequeño de datos
• Cuadrados y raíces cuadradas con calculadora

Iniciadores de discusión

1. La correlación entre las ventas de paraguas y los accidentes es $r = 0{,}95$ . ¿Cómo podrías comprobar si la explica la lluvia y no los paraguas?
2. Si midieras el tiempo de estudio en minutos en lugar de horas, ¿cambiaría $r$ ? ¿Por qué?
3. ¿Cuándo es honesto quitar un valor atípico y cuándo es hacer trampa?
4. ¿Por qué la correlación entre las mismas dos variables podría ser muy fuerte en un pueblo y débil en otro?

Conceptos erróneos comunes

Un $S_{xy}$ mayor siempre significa una correlación más fuerte

Remediación: Muestra dos conjuntos con el mismo $r$ pero unidades distintas: $S_{xy}$ crece con las unidades, $r$ no. Solo el cociente $\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$ mide la fuerza.

Si $r$ está cerca de $1$ , la afirmación de causa y efecto tiene que ser cierta

Remediación: Reúne ejemplos clásicos (paraguas y accidentes de tráfico, televisores y esperanza de vida, talla de zapato y lectura) y pide al alumnado que encuentre la variable de confusión de cada uno.

Un solo punto no puede importar mucho en un conjunto de datos

Remediación: Usa el ejemplo del fertilizante: calcula $r$ con cuatro puntos ( $r = 1$ ), añade el quinto punto y vuelve a calcular ( $r = 0$ ).

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar una tabla de desviaciones con las columnas ya rotuladas: $x_i - \bar{x}$ , $y_i - \bar{y}$ , producto, cuadrados
• Usar conjuntos de datos cuyas medias sean números enteros
• Dejar que comprueben cada paso con la calculadora antes de seguir

Para estudiantes de nivel:

• Calcular $r$ para 4 a 6 puntos y redondear a 2 decimales
• Escribir para cada $r$ una frase completa en contexto (dirección, fuerza, variables)
• Juzgar afirmaciones causales y nombrar una variable de confusión

Para estudiantes avanzados:

• Encontrar un quinto punto que vuelva negativo un $r$ positivo
• Demostrar que sumar una constante a cada valor de $y$ no cambia $r$
• Diseñar un experimento controlado que pueda comprobar una afirmación causal de las noticias

Alineación con estándares

HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)
Calcular (con tecnología) e interpretar el coeficiente de correlación de un ajuste lineal
HSS.ID.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.9)
Distinguir entre correlación y causalidad
HSS.ID.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6)
Representar datos de dos variables cuantitativas en un diagrama de dispersión y describir cómo se relacionan

Recursos de la lección

visualDiagramas de dispersión con línea de tendencia
Los datos de horas de estudio y el conjunto con valor atípico, con la línea de tendencia dibujada
activityCarrera de la tabla de desviaciones
Por parejas, el alumnado completa una tabla de desviaciones, productos y cuadrados para 5 puntos y compara su $r$
worksheetDetective de titulares
El alumnado juzga seis titulares basados en correlaciones y nombra una variable de confusión para cada uno

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un problema de correlación te da datos emparejados de una situación real y te pide medir, interpretar y juzgar la relación. Ya conoces la fórmula del coeficiente de correlación

r

de la lección *Coeficiente de correlación*. Aquí la usas como un método completo.

El método de cinco pasos para un conjunto pequeño de datos:

1.Halla las medias $\bar{x}$ y $\bar{y}$ .
2.Halla cada desviación $x_i - \bar{x}$ y $y_i - \bar{y}$ .
3.Suma los productos: $S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ .
4.Suma los cuadrados: $S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2$ y $S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2$ .
5.Divide:
$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}$

Después responde la pregunta en contexto:

Dirección: el signo de $r$ (positivo: las dos suben juntas; negativo: una sube mientras la otra baja).
Fuerza: el tamaño de $|r|$ (escala de abajo).
Causalidad: un $r$ fuerte por sí solo nunca demuestra que una variable cause la otra. Busca una variable de confusión y pregúntate si los datos vienen de un experimento controlado.
Valores atípicos: un solo punto raro puede hacer $r$ mucho más fuerte, mucho más débil o incluso cambiar su signo.

	r		Fuerza
$0{,}00$ a $0{,}19$	muy débil
$0{,}20$ a $0{,}39$	débil
$0{,}40$ a $0{,}59$	moderada
$0{,}60$ a $0{,}79$	fuerte
$0{,}80$ a $1{,}00$	muy fuerte

Ejemplos resueltos

Cinco estudiantes anotaron sus horas de estudio y sus notas:

(1, 64)

(2, 63)

(3, 77)

(4, 71)

(5, 75)

. Calcula

r

e interprétalo.

Halla las medias

\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3

\bar{y} = \frac{64+63+77+71+75}{5} = \frac{350}{5} = 70

→

\bar{x} = 3

\bar{y} = 70

Halla las desviaciones

x_i - \bar{x}

-2, -1, 0, 1, 2

y_i - \bar{y}

-6, -7, 7, 1, 5

→ Cada suma de desviaciones es

0

(una comprobación rápida)

Multiplica las desviaciones y suma

(-2)(-6) + (-1)(-7) + (0)(7) + (1)(1) + (2)(5) = 12 + 7 + 0 + 1 + 10

→

S_{xy} = 30

Eleva las desviaciones al cuadrado y suma

S_{xx} = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10

S_{yy} = 36 + 49 + 49 + 1 + 25 = 160

→

S_{xx} = 10

S_{yy} = 160

Aplica la fórmula

r = \frac{30}{\sqrt{10 \cdot 160}} = \frac{30}{\sqrt{1600}} = \frac{30}{40}

→

r = 0{,}75

Interpreta en contexto

Signo positivo,

|r| = 0{,}75

está en el intervalo de

0{,}60

0{,}79

→ Correlación positiva fuerte

Respuesta: $r = 0{,}75$ : una correlación positiva fuerte. Los estudiantes que estudiaron más tiempo tendieron a sacar mejores notas, aunque quien estudió 1 hora sacó más que quien estudió 2 horas, así que el patrón no es perfecto.

Errores comunes

Multiplicar los valores originales $x_i y_i$ en lugar de las desviaciones

Por qué está mal: La fórmula $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$ usa las distancias a las medias. Los productos originales siempre son grandes y positivos con datos positivos y dan un $r$ incorrecto.

Correcto: Resta primero las medias. Comprobación rápida: las desviaciones de cada variable suman $0$ .

Olvidar la raíz cuadrada o redondear demasiado pronto

Por qué está mal: $\frac{30}{10 \cdot 160} \approx 0{,}019$ no es $r$ . Redondear $\sqrt{520}$ a $23$ da $0{,}957$ en lugar de $0{,}965$ .

Correcto: Saca la raíz cuadrada de $S_{xx} \cdot S_{yy}$ y redondea solo la respuesta final a 2 decimales.

Tomar un $r$ fuerte como prueba de que una variable causa la otra

Por qué está mal: Los datos observacionales pueden mostrar una correlación fuerte porque una variable de confusión influye en ambas, como la lluvia influye en las ventas de paraguas y en los accidentes de tráfico.

Correcto: Di "está asociado con". Solo un experimento controlado y aleatorizado puede justificar una afirmación causal.

Ignorar un valor atípico o borrarlo sin motivo

Por qué está mal: Un solo punto puede cambiar $r$ de $1$ a $0$ . Ignorarlo oculta el problema; borrarlo solo porque molesta es deshonesto.

Correcto: Representa los datos, calcula $r$ con y sin el valor atípico y quítalo solo con un motivo claro (un error de medida, un caracol), diciendo que lo hiciste.

Por qué es importante

Los valores de correlación aparecen cada día en noticias, informes escolares y proyectos de ciencias, y muchos se leen mal:

Noticias de salud: "Quienes toman café viven más" suele ser una correlación de una encuesta, no una prueba.
Deporte: los entrenadores comprueban si más horas de entrenamiento van de verdad con mejores tiempos antes de cambiar un plan.
Comercio y energía: una tienda compara la temperatura con las ventas, una familia compara la temperatura exterior con la calefacción.
Proyectos de ciencias: una sola medida errónea (un valor atípico) puede arruinar un resultado si nadie mira el diagrama de dispersión.

Si sabes calcular

r

tú mismo, describirlo con palabras sencillas y detectar una afirmación causal falsa o un valor atípico engañoso, puedes juzgar las estadísticas en lugar de solo creerlas.

Aplicaciones del mundo real

Ciencias del deporte

Los entrenadores comparan las horas semanales de entrenamiento con los tiempos de carrera para ver si más entrenamiento va con carreras más rápidas.

Ejemplo:

Para un club de corredores las sumas son $S_{xy} = -45$ , $S_{xx} = 25$ y $S_{yy} = 100$ . Un $r$ negativo significa: más entrenamiento, tiempos más bajos (más rápidos).

1Inténtalo tú mismo

Un club de corredores registra las horas de entrenamiento por semana y los tiempos en 5 km (minutos) de sus miembros. Las sumas son $S_{xy} = -45$ , $S_{xx} = 25$ y $S_{yy} = 100$ .

¿Cuánto vale el coeficiente de correlación $r$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}$ :

Leer las noticias con espíritu crítico

Periodistas y lectores deben decidir si una correlación publicada respalda una afirmación de causa y efecto.

Ejemplo:

Un informe encuentra $r = 0{,}83$ entre el número de televisores por cada 100 habitantes de un país y la esperanza de vida, y un blog dice que los televisores alargan la vida.

2Inténtalo tú mismo

En muchos países, el número de televisores por cada 100 habitantes y la esperanza de vida tienen $r = 0{,}83$ . Un blog concluye que comprar más televisores hace que la gente viva más.

¿Está justificada la afirmación causal?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Elige tu veredicto:

Control de calidad de sensores

Los ingenieros revisan los datos de medición en busca de lecturas erróneas, porque un solo valor malo puede ocultar una relación perfecta.

Ejemplo:

Un sensor de temperatura se prueba con cinco ajustes: $(2, 10)$ , $(4, 14)$ , $(6, 18)$ , $(8, 22)$ y una lectura errónea $(10, 6)$ .

3Inténtalo tú mismo

Un sensor da las lecturas $(2, 10)$ , $(4, 14)$ , $(6, 18)$ , $(8, 22)$ , $(10, 6)$ . La última lectura es un error conocido. Las medias son $\bar{x} = 6$ y $\bar{y} = 14$ .

¿Cuánto vale $r$ cuando se quita la lectura errónea?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Compara $r$ con y sin el error:

Puntos clave

1Para calcular $r$ a mano: medias, desviaciones, $S_{xy}$ , $S_{xx}$ , $S_{yy}$ y luego $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$
2Comprueba tu trabajo: las desviaciones de cada variable suman $0$ y $r$ debe estar entre $-1$ y $1$
3Redondea solo el valor final de $r$ , normalmente a 2 decimales
4Interpreta $r$ en contexto: el signo da la dirección y $|r|$ da la fuerza
5Una correlación fuerte con datos observacionales no justifica una afirmación causal; busca variables de confusión
6Un solo valor atípico puede reforzar, debilitar o incluso invertir $r$ : representa los datos y compara $r$ con y sin él

Preguntas frecuentes

¿Por qué las desviaciones siempre suman cero?

La media es el punto de equilibrio de los datos: los valores por encima y por debajo se compensan exactamente. Si tus desviaciones no suman

0

, hay un error en la media o en alguna resta.

¿Cambia $r$ si sumo el mismo número a todos los valores?

No. Sumar una constante mueve todos los puntos a la vez, así que las desviaciones no cambian. Multiplicar por un número positivo (por ejemplo, pasar de horas a minutos) tampoco cambia

r

. Multiplicar una variable por un número negativo cambia el signo de

r

¿Cuándo se puede quitar un valor atípico?

Cuando tienes un motivo claro que no depende del resultado: un error de medida, un error al escribir, una planta comida por un caracol. Di siempre que lo quitaste y, si puedes, da

r

con y sin ese punto.

¿Cómo se puede demostrar la causalidad?

Con un experimento controlado y aleatorizado: asignas el tratamiento (por ejemplo, el fertilizante) al azar a unos sujetos y a otros no, mantienes todo lo demás igual y comparas. La asignación al azar reparte las variables de confusión por igual entre los dos grupos.

Glosario

Desviación: La distancia de un valor a la media, $x_i - \bar{x}$ ; puede ser positiva o negativa
$S_{xy}$: La suma de los productos de las desviaciones, $\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ ; su signo es el signo de $r$
$S_{xx}$ y $S_{yy}$: Las sumas de las desviaciones al cuadrado de $x$ y de $y$ ; nunca son negativas
Valor atípico: Un dato alejado del patrón de los demás; puede cambiar mucho $r$
Variable de confusión: Una variable que no está en el estudio, influye en las dos variables y puede crear una correlación engañosa
Experimento controlado: Un estudio en el que el investigador asigna el tratamiento al azar; el único tipo de estudio que puede justificar una afirmación causal

Tarjeta de fórmulas

Coeficiente de correlación

r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}

$S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$, $S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2$, $S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2$

Comprobaciones

\sum(x_i - \bar{x}) = 0, \quad -1 \le r \le 1

Si una suma de desviaciones no es $0$ o si $|r| > 1$, hay un error de cálculo

Escala de fuerza

|r|: \ 0{,}2 \ \text{débil}, \ 0{,}4 \ \text{moderada}, \ 0{,}6 \ \text{fuerte}, \ 0{,}8 \ \text{muy fuerte}

Cada nivel empieza en su valor; por debajo de $0{,}20$ la correlación es muy débil

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

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Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Ciencias del deporte

Leer las noticias con espíritu crítico

Control de calidad de sensores

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Coeficiente de correlación

Comprobaciones

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