Regresión lineal

Aprende a encontrar la recta de mejor ajuste para datos y a usarla para hacer predicciones.

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Definición

La regresión lineal es un método estadístico para encontrar la recta que mejor se ajusta a un conjunto de puntos de datos. Esta recta, llamada recta de mejor ajuste o recta de regresión, hace que las distancias verticales entre los puntos y la recta sean, en conjunto, lo más pequeñas posible.
La ecuación de la recta de regresión es:
y=mx+by = mx + b
Donde:
  • mm es la pendiente (cuánto cambia yy por cada aumento de una unidad en xx)
  • bb es la ordenada en el origen (el valor de yy cuando x=0x = 0)
El método de mínimos cuadrados encuentra la recta que minimiza la suma de las distancias al cuadrado (residuos) desde cada punto a la recta:
Suma de residuos al cuadrado=∑(yi−y^i)2\text{Suma de residuos al cuadrado} = \sum(y_i - \hat{y}_i)^2

Pruébalo ahora

¿Qué representa la pendiente en una recta de regresión y=mx+by = mx + b?

Ejemplos resueltos

Una cafetería registra la temperatura diaria (°C) y las ventas de café helado:
TemperaturaVentas
1520
2035
2545
3060
3570
 Encuentra la ecuación de la recta de regresión.
1

Calcula las medias

xˉ=15+20+25+30+355=25\bar{x} = \frac{15+20+25+30+35}{5} = 25 yˉ=20+35+45+60+705=46\bar{y} = \frac{20+35+45+60+70}{5} = 46 → xˉ=25\bar{x} = 25, yˉ=46\bar{y} = 46
2

Calcula la pendiente usando la fórmula

m=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2m = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2} Numerador: (−10)(−26)+(−5)(−11)+(0)(−1)+(5)(14)+(10)(24)=260+55+0+70+240=625(-10)(-26) + (-5)(-11) + (0)(-1) + (5)(14) + (10)(24) = 260 + 55 + 0 + 70 + 240 = 625 Denominador: 100+25+0+25+100=250100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250 → m=625250=2,5m = \frac{625}{250} = 2{,}5
3

Calcula la ordenada en el origen

b=yˉ−mxˉ=46−2,5(25)=46−62,5=−16,5b = \bar{y} - m\bar{x} = 46 - 2{,}5(25) = 46 - 62{,}5 = -16{,}5 → b=−16,5b = -16{,}5
4

Escribe la ecuación de regresión

y=2,5x−16,5y = 2{,}5x - 16{,}5 → Recta de regresión: y=2,5x−16,5y = 2{,}5x - 16{,}5

Errores comunes

Asumir que la recta de regresión pasa por todos los puntos de datos

Por qué está mal: La recta de mejor ajuste minimiza el error total pero rara vez pasa por cada punto. Los puntos por encima y por debajo de la recta son normales.

Correcto: Entiende que la recta de regresión representa la tendencia general, no los puntos de datos individuales.

Usar la ecuación de regresión para extrapolar muy lejos del rango de datos

Por qué está mal: La relación puede no mantenerse fuera del rango de datos observados. Predecir muy lejos de tus datos puede dar resultados poco realistas.

Correcto: Ten cuidado al predecir para valores de x muy fuera de tu rango de datos. Indica cuándo estás extrapolando.

Confundir correlación con causalidad

Por qué está mal: Una relación lineal fuerte no significa que una variable cause cambios en la otra. Pueden estar involucrados otros factores.

Correcto: Usa la regresión para describir relaciones y hacer predicciones, pero ten cuidado al afirmar causalidad.

Olvidar comprobar si un modelo lineal es apropiado

Por qué está mal: No todos los datos siguen un patrón lineal. Usar regresión lineal en datos no lineales da resultados engañosos.

Correcto: Representa siempre tus datos en una gráfica primero. Si el diagrama de dispersión muestra una curva, la regresión lineal puede no ser la mejor opción.

Visual interactivo

Diagrama de dispersión

Temperatura y ventas de café helado

1520253035203040506070Temperatura (°C)Ventas

ŷ = 2,5x − 16,5

r = 0,998 · correlación positiva fuerte

Toca un punto para ver sus coordenadas.

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

0510152025303540-20020406080100xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2.5x - 16.5

m=2,5, b=-16,5

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Qué representa la pendiente en una recta de regresión y=mx+by = mx + b?

Por qué es importante

La regresión lineal es una de las herramientas más importantes en el análisis de datos:
  • Negocios: Predecir ventas según gastos en publicidad o cambios de precio
  • Ciencia: Modelar relaciones entre variables en experimentos
  • Medicina: Predecir resultados de pacientes basándose en datos de tratamiento
  • Economía: Pronosticar indicadores económicos basados en tendencias históricas
  • Deportes: Analizar el rendimiento de jugadores y predecir estadísticas futuras
Entender la regresión te ayuda a hacer predicciones basadas en datos e identificar tendencias que serían imposibles de ver mirando solo los datos en bruto.

Aplicaciones del mundo real

Predecir precios de viviendas

Los analistas inmobiliarios usan la regresión lineal para estimar precios de casas basándose en características como metros cuadrados, número de habitaciones o distancia al centro.

Ejemplo:

Si y=2000x+30000y = 2000x + 30000, donde xx son los metros cuadrados e yy el precio en dólares, un piso de 100 m² costaría aproximadamente 2000(100) + 30000 = 230000 dólares.

1Inténtalo tú mismo

Un modelo inmobiliario muestra: Precio = 2500x + 20000 (donde x = metros cuadrados).

¿Qué precio predecirías para un piso de 120 m²?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sustituye en la ecuación:

Análisis del consumo de combustible

Los ingenieros automotrices usan la regresión para entender cómo el peso del coche afecta el consumo de combustible.

Ejemplo:

Si consumo (L/100km) = 0,004 × peso (kg) + 2, un coche de 1500 kg consumiría 0,004(1500) + 2 = 8 L/100km.

2Inténtalo tú mismo

Los datos de un fabricante de coches muestran: Combustible = 0,005p + 1,5 (donde p = peso en kg).

Predice el consumo de combustible para un vehículo de 1200 kg.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula:

Pronóstico de ventas comerciales

Las empresas usan la regresión para predecir ventas futuras basándose en gastos de publicidad, ayudándoles a asignar presupuestos de marketing eficazmente.

Ejemplo:

Si ventas mensuales = 3 × gasto en publicidad + 10000, gastar 5000 dólares en publicidad predice ventas de 3(5000) + 10000 = 25000 dólares.

3Inténtalo tú mismo

El modelo de una empresa: Ventas = 4 × PresupuestoPub + 8000.

Si gastan 3000 dólares en publicidad, ¿qué ventas pueden esperar?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula las ventas predichas:

Puntos clave

  • 1La regresión lineal encuentra la recta que mejor se ajusta a un conjunto de puntos de datos
  • 2La ecuación de la recta de regresión es y=mx+by = mx + b donde mm es la pendiente y bb la ordenada en el origen
  • 3La pendiente indica cuánto cambia yy por cada aumento de una unidad en xx
  • 4La ordenada en el origen es el valor predicho de yy cuando x=0x = 0
  • 5Usa la regresión para hacer predicciones, pero ten cuidado al extrapolar lejos de tus datos

Preguntas frecuentes

Si tu diagrama de dispersión muestra una curva en lugar de una línea recta, la regresión lineal puede no ser apropiada. Considera la regresión polinómica u otros modelos no lineales.
Si tu diagrama de dispersión muestra una curva en lugar de una línea recta, la regresión lineal puede no ser apropiada. Considera la regresión polinómica u otros modelos no lineales.
No. La regresión muestra relaciones (correlaciones) pero no puede demostrar causalidad. Dos variables pueden estar relacionadas por un tercer factor, no porque una cause la otra.
Un residuo es la diferencia entre un punto de datos real y el valor predicho por la recta de regresión: residuo = yreal−ypredichoy_{\text{real}} - y_{\text{predicho}}. Residuos positivos significan que el punto está por encima de la recta; negativos significan por debajo.

Glosario

Regresión lineal
Un método estadístico para encontrar la recta que mejor se ajusta a un conjunto de puntos de datos
Recta de mejor ajuste
La recta de regresión que minimiza la suma de los cuadrados de los residuos
Pendiente
La tasa de cambio; cuánto aumenta yy por cada aumento de una unidad en xx
Ordenada en el origen
El valor de yy cuando x=0x = 0; donde la recta cruza el eje y
Residuo
La diferencia entre un punto de datos real y su valor predicho en la recta de regresión
Mínimos cuadrados
El método que encuentra la recta que minimiza la suma de los cuadrados de los residuos
Extrapolación
Usar una ecuación de regresión para predecir valores fuera del rango de los datos originales

Tarjeta de fórmulas

Recta de regresión

y=mx+by = mx + b

La ecuación de la recta de mejor ajuste con pendiente m y ordenada b

Fórmula de la pendiente

m=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2m = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}

Calcula la pendiente usando los puntos de datos y las medias

Ordenada en el origen

b=yˉ−mxˉb = \bar{y} - m\bar{x}

Calcula la ordenada en el origen con la pendiente y las medias

Residuo

ei=yi−y^ie_i = y_i - \hat{y}_i

La diferencia entre el valor real y el valor predicho

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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