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Guía del profesor: Regresión lineal

Aprende a encontrar la recta de mejor ajuste para datos y a usarla para hacer predicciones.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Regresión. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Comprender el concepto de regresión lineal y recta de mejor ajuste
  • Calcular la pendiente y la ordenada en el origen usando el método de mínimos cuadrados
  • Interpretar el significado de la pendiente y la ordenada en el origen en contexto
  • Usar la ecuación de regresión para hacer predicciones
  • Reconocer las limitaciones de la regresión lineal incluyendo riesgos de extrapolación
Requisitos previos
  • • Comprensión de diagramas de dispersión y correlación
  • • Conocimiento de ecuaciones lineales de la forma y=mx+by = mx + b
  • • Comprensión básica de la media y notación de sumatorias
  • • Familiaridad con gráficos de coordenadas
Iniciadores de discusión
  • 1. ¿Por qué crees que el método se llama 'mínimos cuadrados'? ¿Qué estamos haciendo 'mínimo'?
  • 2. ¿Puedes pensar en una situación real donde dos variables están relacionadas pero una no causa la otra?
  • 3. ¿Cuándo sería peligroso extrapolar una recta de regresión muy lejos de tus datos?
  • 4. ¿Cómo decidirías si la regresión lineal es un buen ajuste para tus datos?
Conceptos erróneos comunes

La recta de regresión debe pasar por al menos dos puntos de datos

Remediación: Muestra ejemplos donde la recta no pasa por ningún punto. Enfatiza que la recta minimiza el error total, no las distancias individuales.

Una correlación fuerte significa que podemos predecir perfectamente

Remediación: Incluso con correlación fuerte, siempre hay algo de error. Comenta los residuos y por qué la predicción perfecta es raramente posible.

La ordenada en el origen siempre tiene una interpretación significativa

Remediación: Comenta casos donde x=0 no tiene sentido o está fuera del rango de datos. Por ejemplo, predecir altura a edad 0 o peso a altura 0.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Empezar con conjuntos de datos simples (3-4 puntos) con números fáciles
  • • Proporcionar una calculadora gráfica o un programa que calcule la regresión automáticamente
  • • Enfocarse en la interpretación antes del cálculo
  • • Usar representaciones visuales para mostrar qué significa 'mejor ajuste'

Para estudiantes de nivel:

  • • Calcular la regresión a mano para conjuntos de datos pequeños
  • • Hacer predicciones y comparar con valores reales
  • • Analizar residuos para evaluar la calidad del ajuste
  • • Aplicar la regresión a escenarios del mundo real

Para estudiantes avanzados:

  • • Explorar la deducción de las fórmulas de mínimos cuadrados
  • • Calcular e interpretar el coeficiente de determinación (r2r^2)
  • • Comparar rectas de regresión de diferentes conjuntos de datos
  • • Investigar cuándo los gráficos de residuos indican un mal ajuste lineal
Alineación con estándares
  • HSS.ID.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6)

    Representar datos de dos variables cuantitativas en un diagrama de dispersión y describir cómo se relacionan las variables

  • HSS.ID.B.6.C (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.C)

    Ajustar una función lineal a un diagrama de dispersión que sugiere una asociación lineal

  • HSS.ID.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.7)

    Interpretar la pendiente y la ordenada en el origen de un modelo lineal en el contexto de los datos

Recursos de la lección
  • visualHerramienta de regresión interactiva

    Los estudiantes trazan puntos y ven la recta de mejor ajuste calculada en tiempo real

  • activityProyecto de recogida de datos

    Recoger datos reales (altura vs. envergadura de brazos, tiempo de estudio vs. notas) y encontrar rectas de regresión

  • worksheetPráctica de cálculo de regresión

    Practicar el cálculo de pendiente, ordenada y hacer predicciones

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La regresión lineal es un método estadístico para encontrar la recta que mejor se ajusta a un conjunto de puntos de datos. Esta recta, llamada recta de mejor ajuste o recta de regresión, hace que las distancias verticales entre los puntos y la recta sean, en conjunto, lo más pequeñas posible.
La ecuación de la recta de regresión es:
y=mx+by = mx + b
Donde:
  • mm es la pendiente (cuánto cambia yy por cada aumento de una unidad en xx)
  • bb es la ordenada en el origen (el valor de yy cuando x=0x = 0)
El método de mínimos cuadrados encuentra la recta que minimiza la suma de las distancias al cuadrado (residuos) desde cada punto a la recta:
Suma de residuos al cuadrado=∑(yi−y^i)2\text{Suma de residuos al cuadrado} = \sum(y_i - \hat{y}_i)^2

Ejemplos resueltos

Una cafetería registra la temperatura diaria (°C) y las ventas de café helado:
TemperaturaVentas
1520
2035
2545
3060
3570
 Encuentra la ecuación de la recta de regresión.
1

Calcula las medias

xˉ=15+20+25+30+355=25\bar{x} = \frac{15+20+25+30+35}{5} = 25 yˉ=20+35+45+60+705=46\bar{y} = \frac{20+35+45+60+70}{5} = 46 → xˉ=25\bar{x} = 25, yˉ=46\bar{y} = 46
2

Calcula la pendiente usando la fórmula

m=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2m = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2} Numerador: (−10)(−26)+(−5)(−11)+(0)(−1)+(5)(14)+(10)(24)=260+55+0+70+240=625(-10)(-26) + (-5)(-11) + (0)(-1) + (5)(14) + (10)(24) = 260 + 55 + 0 + 70 + 240 = 625 Denominador: 100+25+0+25+100=250100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250 → m=625250=2,5m = \frac{625}{250} = 2{,}5
3

Calcula la ordenada en el origen

b=yˉ−mxˉ=46−2,5(25)=46−62,5=−16,5b = \bar{y} - m\bar{x} = 46 - 2{,}5(25) = 46 - 62{,}5 = -16{,}5 → b=−16,5b = -16{,}5
4

Escribe la ecuación de regresión

y=2,5x−16,5y = 2{,}5x - 16{,}5 → Recta de regresión: y=2,5x−16,5y = 2{,}5x - 16{,}5

Errores comunes

Asumir que la recta de regresión pasa por todos los puntos de datos

Por qué está mal: La recta de mejor ajuste minimiza el error total pero rara vez pasa por cada punto. Los puntos por encima y por debajo de la recta son normales.

Correcto: Entiende que la recta de regresión representa la tendencia general, no los puntos de datos individuales.

Usar la ecuación de regresión para extrapolar muy lejos del rango de datos

Por qué está mal: La relación puede no mantenerse fuera del rango de datos observados. Predecir muy lejos de tus datos puede dar resultados poco realistas.

Correcto: Ten cuidado al predecir para valores de x muy fuera de tu rango de datos. Indica cuándo estás extrapolando.

Confundir correlación con causalidad

Por qué está mal: Una relación lineal fuerte no significa que una variable cause cambios en la otra. Pueden estar involucrados otros factores.

Correcto: Usa la regresión para describir relaciones y hacer predicciones, pero ten cuidado al afirmar causalidad.

Olvidar comprobar si un modelo lineal es apropiado

Por qué está mal: No todos los datos siguen un patrón lineal. Usar regresión lineal en datos no lineales da resultados engañosos.

Correcto: Representa siempre tus datos en una gráfica primero. Si el diagrama de dispersión muestra una curva, la regresión lineal puede no ser la mejor opción.

Por qué es importante

La regresión lineal es una de las herramientas más importantes en el análisis de datos:
  • Negocios: Predecir ventas según gastos en publicidad o cambios de precio
  • Ciencia: Modelar relaciones entre variables en experimentos
  • Medicina: Predecir resultados de pacientes basándose en datos de tratamiento
  • Economía: Pronosticar indicadores económicos basados en tendencias históricas
  • Deportes: Analizar el rendimiento de jugadores y predecir estadísticas futuras
Entender la regresión te ayuda a hacer predicciones basadas en datos e identificar tendencias que serían imposibles de ver mirando solo los datos en bruto.

Aplicaciones del mundo real

Predecir precios de viviendas

Los analistas inmobiliarios usan la regresión lineal para estimar precios de casas basándose en características como metros cuadrados, número de habitaciones o distancia al centro.

Ejemplo:

Si y=2000x+30000y = 2000x + 30000, donde xx son los metros cuadrados e yy el precio en dólares, un piso de 100 m² costaría aproximadamente 2000(100) + 30000 = 230000 dólares.

1Inténtalo tú mismo

Un modelo inmobiliario muestra: Precio = 2500x + 20000 (donde x = metros cuadrados).

¿Qué precio predecirías para un piso de 120 m²?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sustituye en la ecuación:

Análisis del consumo de combustible

Los ingenieros automotrices usan la regresión para entender cómo el peso del coche afecta el consumo de combustible.

Ejemplo:

Si consumo (L/100km) = 0,004 × peso (kg) + 2, un coche de 1500 kg consumiría 0,004(1500) + 2 = 8 L/100km.

2Inténtalo tú mismo

Los datos de un fabricante de coches muestran: Combustible = 0,005p + 1,5 (donde p = peso en kg).

Predice el consumo de combustible para un vehículo de 1200 kg.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula:

Pronóstico de ventas comerciales

Las empresas usan la regresión para predecir ventas futuras basándose en gastos de publicidad, ayudándoles a asignar presupuestos de marketing eficazmente.

Ejemplo:

Si ventas mensuales = 3 × gasto en publicidad + 10000, gastar 5000 dólares en publicidad predice ventas de 3(5000) + 10000 = 25000 dólares.

3Inténtalo tú mismo

El modelo de una empresa: Ventas = 4 × PresupuestoPub + 8000.

Si gastan 3000 dólares en publicidad, ¿qué ventas pueden esperar?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula las ventas predichas:

Puntos clave

  • 1La regresión lineal encuentra la recta que mejor se ajusta a un conjunto de puntos de datos
  • 2La ecuación de la recta de regresión es y=mx+by = mx + b donde mm es la pendiente y bb la ordenada en el origen
  • 3La pendiente indica cuánto cambia yy por cada aumento de una unidad en xx
  • 4La ordenada en el origen es el valor predicho de yy cuando x=0x = 0
  • 5Usa la regresión para hacer predicciones, pero ten cuidado al extrapolar lejos de tus datos

Preguntas frecuentes

¿Qué pasa si mis datos no parecen lineales?

Si tu diagrama de dispersión muestra una curva en lugar de una línea recta, la regresión lineal puede no ser apropiada. Considera la regresión polinómica u otros modelos no lineales.

¿Puede la regresión demostrar que una cosa causa otra?

No. La regresión muestra relaciones (correlaciones) pero no puede demostrar causalidad. Dos variables pueden estar relacionadas por un tercer factor, no porque una cause la otra.

¿Qué es un residuo?

Un residuo es la diferencia entre un punto de datos real y el valor predicho por la recta de regresión: residuo = yreal−ypredichoy_{\text{real}} - y_{\text{predicho}}. Residuos positivos significan que el punto está por encima de la recta; negativos significan por debajo.

Glosario

Regresión lineal
Un método estadístico para encontrar la recta que mejor se ajusta a un conjunto de puntos de datos
Recta de mejor ajuste
La recta de regresión que minimiza la suma de los cuadrados de los residuos
Pendiente
La tasa de cambio; cuánto aumenta yy por cada aumento de una unidad en xx
Ordenada en el origen
El valor de yy cuando x=0x = 0; donde la recta cruza el eje y
Residuo
La diferencia entre un punto de datos real y su valor predicho en la recta de regresión
Mínimos cuadrados
El método que encuentra la recta que minimiza la suma de los cuadrados de los residuos
Extrapolación
Usar una ecuación de regresión para predecir valores fuera del rango de los datos originales

Tarjeta de fórmulas

Recta de regresión

y=mx+by = mx + b

La ecuación de la recta de mejor ajuste con pendiente m y ordenada b

Fórmula de la pendiente

m=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2m = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}

Calcula la pendiente usando los puntos de datos y las medias

Ordenada en el origen

b=yˉ−mxˉb = \bar{y} - m\bar{x}

Calcula la ordenada en el origen con la pendiente y las medias

Residuo

ei=yi−y^ie_i = y_i - \hat{y}_i

La diferencia entre el valor real y el valor predicho

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