Coeficiente de determinación (R²)

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
El coeficiente de correlación de un conjunto de datos es $r = 0{,}6$ . ¿Cuánto vale $R^2$ ?
1. a)1,2
2. b)0,36
3. c)0,6
4. d)0,06
Respuesta: 0,36
$R^2 = 0{,}6^2 = 0{,}36$ . Un error frecuente es dejar $0{,}6$ o multiplicarlo por 2; hay que elevar $r$ al cuadrado.
2.
La correlación entre dos variables es $r = -0{,}5$ . ¿Cuánto vale $R^2$ ? Da tu respuesta como número decimal (por ejemplo 0,3).
Respuesta: 0.25
$R^2 = (-0{,}5)^2 = 0{,}25$ . $R^2$ nunca es negativo, aunque $r$ lo sea.
3.
Una regresión de la altura de una planta sobre las horas de sol tiene $R^2 = 0{,}72$ . ¿Qué afirmación es correcta?
1. a)El sol causa el 72 % de la altura de una planta
2. b)El 72 % de los puntos está exactamente sobre la recta de regresión
3. c)El 72 % de la variación de la altura se explica por la relación lineal con las horas de sol
4. d)La pendiente de la recta de regresión es 0,72
Respuesta: El 72 % de la variación de la altura se explica por la relación lineal con las horas de sol
El 72 % de la variación de la altura se explica por la relación lineal con las horas de sol. $R^2$ no cuenta puntos sobre la recta, no demuestra causalidad y no es la pendiente.
4.
Para una recta de regresión, $SS_{\text{tot}} = 200$ y $SS_{\text{res}} = 50$ . ¿Cuánto vale $R^2$ ? Da tu respuesta como número decimal.
Respuesta: 0.75
$R^2 = 1 - \frac{50}{200} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$ , así que la recta explica el 75 % de la variación.
5.
La correlación entre las horas de práctica y los puntos conseguidos es $r = 0{,}9$ . Halla $R^2$ y el porcentaje de variación explicada.
Respuesta: 81
1. ¿Cuánto es $R^2 = 0{,}9^2$ ? (número decimal) 0.81
2. ¿Qué porcentaje de la variación se explica? (solo el número, por ejemplo 25) 81
6.
En la regresión de las ventas diarias de pan de una panadería sobre la temperatura, $SS_{\text{tot}} = 60$ y $SS_{\text{res}} = 21$ . Halla $R^2$ .
Respuesta: 0.65
1. ¿Cuánto es $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = \frac{21}{60}$ como número decimal? 0.35
2. ¿Cuánto es $R^2 = 1 - 0{,}35$ ? 0.65
7.
¿Cuál de estos valores NO es posible para el $R^2$ de una recta de regresión por mínimos cuadrados?
1. a)1
2. b)0,5
3. c)0
4. d)1,2
Respuesta: 1,2
$R^2$ siempre está entre $0$ y $1$ . $0$ (ningún ajuste lineal) y $1$ (ajuste perfecto) son posibles, pero $1{,}2$ significaría que se explica más del 100 % de la variación, lo cual es imposible.
8.
Una recta de regresión tiene pendiente negativa y $R^2 = 0{,}49$ . ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación $r$ ? Da tu respuesta como número decimal.
Respuesta: -0.7
$\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ , y como la pendiente es negativa, $r = -0{,}7$ .
9.
Un modelo tiene $R^2 = 0{,}64$ . ¿Qué porcentaje de la variación de $y$ NO se explica por la relación lineal con $x$ ? Da el porcentaje solo como número (por ejemplo 25).
Respuesta: 36
Se explica el $0{,}64 = 64\,\%$ , así que el $100\,\% - 64\,\% = 36\,\%$ no se explica.
10.
Una regresión de la carga de la batería de un móvil sobre las horas de uso tiene pendiente $-2{,}5$ y $R^2 = 0{,}36$ . Halla el coeficiente de correlación $r$ .
Respuesta: -0.6
1. ¿Cuánto es $\sqrt{0{,}36}$ ? 0.6
2. La pendiente es negativa. ¿Cuánto vale $r$ ? -0.6
11.
Los valores de $y$ de un conjunto de datos son $5, 9, 6, 12, 8$ . La recta de regresión sobre $x$ tiene $SS_{\text{res}} = 12$ . Halla $R^2$ .
Respuesta: 0.6
1. ¿Cuánto vale la media $\bar{y}$ ? 8
2. ¿Cuánto vale $SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2$ ? 30
3. ¿Cuánto es $R^2 = 1 - \frac{12}{30}$ ? (número decimal) 0.6
12.
Los residuos de una recta de regresión son $2, -2, 1, 0, -1$ y $SS_{\text{tot}} = 40$ . Halla $R^2$ .
Respuesta: 0.75
1. ¿Cuánto vale $SS_{\text{res}}$ , la suma de los cuadrados de los residuos? 10
2. ¿Cuánto es $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ como número decimal? 0.25
3. ¿Cuánto vale $R^2$ ? 0.75
13.
En un estudio de verano en 30 pueblos, una regresión de los casos de quemaduras de sol sobre las ventas de helados da $R^2 = 0{,}85$ . ¿Cuál es la mejor conclusión?
1. a)La recta explica el 85 % de la variación, pero una tercera variable como el tiempo soleado puede influir en ambas
2. b)Vender menos helados evitaría las quemaduras de sol
3. c)Comer helados causa el 85 % de las quemaduras de sol
4. d)El 85 % de los pueblos está exactamente sobre la recta de regresión
Respuesta: La recta explica el 85 % de la variación, pero una tercera variable como el tiempo soleado puede influir en ambas
La recta explica el 85 % de la variación, pero $R^2$ no puede mostrar causalidad. El tiempo caluroso y soleado es una variable de confusión que aumenta tanto las ventas de helados como las quemaduras.
14.
Los residuos de una recta de regresión son $3, -1, -2, 1, -1$ y $SS_{\text{tot}} = 80$ . ¿Cuánto vale $R^2$ ? Da tu respuesta como número decimal.
Respuesta: 0.8
$SS_{\text{res}} = 9 + 1 + 4 + 1 + 1 = 16$ , así que $R^2 = 1 - \frac{16}{80} = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$ .
15.
Una recta ajustada a unos datos tiene $R^2 = 0{,}95$ , pero el gráfico de residuos muestra una U clara. ¿Qué debes concluir?
1. a)La recta es un modelo perfecto porque $R^2$ es muy alto
2. b)El cálculo de $R^2$ tiene que estar mal
3. c) $x$ causa el 95 % de los cambios de $y$
4. d)Los datos siguen una curva, así que un modelo no lineal se ajustaría mejor
Respuesta: Los datos siguen una curva, así que un modelo no lineal se ajustaría mejor
Un gráfico de residuos en U significa que los datos son curvos, así que un modelo no lineal se ajustaría mejor, aunque $R^2$ sea alto. $R^2$ no sustituye la revisión de los residuos y nunca demuestra causalidad.
16.
Los datos $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(3, 6)$ , $(4, 10)$ , $(5, 9)$ tienen la recta de regresión $\hat{y} = 2x$ . Calcula $R^2$ .
Respuesta: 0.8
1. ¿Cuánto vale la media $\bar{y}$ ? 6
2. ¿Cuánto vale $SS_{\text{tot}}$ ? 50
3. ¿Cuánto vale $SS_{\text{res}}$ ? 10
4. ¿Cuánto vale $R^2$ ? (número decimal) 0.8
17.
El modelo A tiene $r = -0{,}8$ y el modelo B tiene $r = 0{,}7$ para la misma variable respuesta. ¿Qué modelo explica más variación de $y$ y por cuántos puntos porcentuales?
Respuesta: 15
1. ¿Cuánto vale $R^2$ para el modelo A? (número decimal) 0.64
2. ¿Cuánto vale $R^2$ para el modelo B? (número decimal) 0.49
3. El modelo A explica más. ¿Por cuántos puntos porcentuales? (solo el número) 15
18.
Una regresión tiene $SS_{\text{tot}} = 250$ y $R^2 = 0{,}92$ . Halla $SS_{\text{res}}$ y la variación explicada $SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}$ .
Respuesta: 230
1. ¿Cuánto es $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = 1 - R^2$ ? (número decimal) 0.08
2. ¿Cuánto vale $SS_{\text{res}}$ ? 20
3. ¿Cuánto vale la variación explicada $SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}$ ? 230