Guía del profesor: Coeficiente de determinación (R²)

Aprende qué te dice R² sobre una recta de regresión, cómo calcularlo a partir de r o de sumas de cuadrados y por qué un R² alto no demuestra causalidad.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Regresión. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Calcular $R^2$ a partir del coeficiente de correlación con $R^2 = r^2$
Calcular $R^2$ a partir de $SS_{\text{res}}$ y $SS_{\text{tot}}$ con $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$
Interpretar $R^2$ en contexto como el porcentaje de la variación de $y$ explicado por la relación lineal con $x$
Hallar $r$ a partir de $R^2$ usando el signo de la pendiente
Explicar por qué un $R^2$ alto no demuestra causalidad ni un modelo correcto, y usar los residuos para comprobar el ajuste

Requisitos previos

• Coeficiente de correlación: qué mide $r$ y por qué $-1 \le r \le 1$
• Regresión lineal: hallar y usar una recta de mejor ajuste $\hat{y} = mx + b$
• Residuos: valores observados menos valores predichos y gráficos de residuos
• Diagramas de dispersión, y además cuadrados de decimales, raíces cuadradas y porcentajes

Iniciadores de discusión

1. Dos modelos tienen $R^2 = 0{,}64$ , uno con $r = 0{,}8$ y otro con $r = -0{,}8$ . ¿En qué se parecen y en qué se diferencian?
2. ¿Por qué crees que elevamos los residuos al cuadrado antes de sumarlos en lugar de sumarlos sin más?
3. Un modelo con $R^2 = 0{,}30$ , ¿es inútil? ¿Cuándo podría seguir siendo útil?
4. Las ventas de helados y las quemaduras de sol tienen un $R^2$ alto. ¿Los helados causan quemaduras? ¿Qué otra cosa podría explicarlo?
5. ¿Cómo pueden unos datos curvos dar aun así un $R^2$ alto para una recta?

Conceptos erróneos comunes

$R^2$ es el porcentaje de puntos que están sobre la recta de regresión

Remediación: Muestra un conjunto de datos en el que ningún punto está exactamente sobre la recta pero $R^2 = 0{,}81$ . Explica que $R^2$ compara la variación que queda con la variación total, no cuenta puntos.

$R^2 = r$ , así que $r = 0{,}7$ significa que se explica el 70 %

Remediación: Pide a los estudiantes que calculen $0{,}7^2 = 0{,}49$ y comparen 49 % con 70 %. Repite con $r = 0{,}3$ ( $R^2 = 0{,}09$ ) para mostrar lo rápido que baja la parte explicada.

Un $R^2$ alto significa que $x$ causa $y$ y que la recta es el modelo correcto

Remediación: Usa los datos curvos $y = x^2$ ( $R^2$ alto, residuos en U) y un ejemplo con variable de confusión como los helados y las quemaduras de sol. Pregunta qué es lo que $R^2$ no puede ver.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar solo con $R^2 = r^2$ , usando la calculadora para los cuadrados
• Usar una frase modelo: "El ___ % de la variación de ___ se explica por la relación lineal con ___"
• Dar $SS_{\text{res}}$ y $SS_{\text{tot}}$ directamente antes de pedir que los calculen

Para estudiantes de nivel:

• Calcular $SS_{\text{tot}}$ , $SS_{\text{res}}$ y $R^2$ para conjuntos pequeños de 5 puntos
• Volver de $R^2$ a $r$ usando el signo de la pendiente
• Comparar dos modelos de los mismos datos y decidir cuál explica más variación

Para estudiantes avanzados:

• Demostrar que para la recta de mínimos cuadrados $SS_{\text{tot}} = SS_{\text{res}} + SS_{\text{reg}}$ y que $R^2 = \frac{SS_{\text{reg}}}{SS_{\text{tot}}}$
• Investigar cómo cambia $R^2$ con un solo valor atípico
• Ajustar una curva a los datos $y = x^2$ y comparar su $R^2$ y sus residuos con los de la recta

Alineación con estándares

HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)
Calcular (con tecnología) e interpretar el coeficiente de correlación de un ajuste lineal
HSS.ID.B.6.B (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.B)
Evaluar de manera informal el ajuste de una función representando y analizando los residuos
HSS.ID.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.9)
Distinguir entre correlación y causalidad

Recursos de la lección

visualDiagramas de dispersión: ajuste fuerte y débil
Dos diagramas de dispersión con línea de tendencia y residuos: uno con $r = 0{,}9$ ( $R^2 = 0{,}81$ ) y otro con $r = 0{,}3$ ( $R^2 = 0{,}09$ )
activity¿Explicado o no?
Los estudiantes recogen datos de la clase (envergadura y estatura, talla de zapato y nota), hallan $R^2$ con la calculadora y argumentan qué relación es más fuerte
worksheetPráctica de R²
Pasar de $r$ a $R^2$ y al revés, calcular $R^2$ a partir de sumas de cuadrados y redactar interpretaciones en contexto

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

El coeficiente de determinación, que se escribe

R^2

, te dice qué parte de la variación de la variable respuesta

y

se explica por la relación lineal con la variable explicativa

x

En la regresión lineal simple (un

x

, un

y

), es el cuadrado del coeficiente de correlación:

R^2 = r^2

También se puede calcular a partir de dos sumas de cuadrados:

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

$SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2$ es la variación total de los valores de $y$ alrededor de su media
$SS_{\text{res}} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ es la variación que queda después de usar la recta de regresión (la suma de los cuadrados de los residuos, llamada SCR en la lección Residuos)

R^2

siempre está entre

0

1

. Si

R^2 = 0{,}81

, entonces **el 81 % de la variación de

y

se explica por la relación lineal con

x

**, y el 19 % restante no lo explica la recta.

Ejemplos resueltos

En un grupo de estudiantes, la correlación entre el tiempo diario de pantalla (

x

, horas) y las horas de sueño (

y

) es

r = -0{,}7

. Halla

R^2

e interprétalo.

Eleva al cuadrado el coeficiente de correlación

R^2 = r^2 = (-0{,}7)^2 = 0{,}49

→

R^2 = 0{,}49

Escríbelo como porcentaje

0{,}49 = 49\,\%

→ 49 %

Interpreta en el contexto

El 49 % de la variación de las horas de sueño se explica por la relación lineal con el tiempo de pantalla. El 51 % restante se debe a otros factores. → 49 % explicado, 51 % sin explicar

Respuesta: $R^2 = 0{,}49$ : el 49 % de la variación del sueño se explica por la relación lineal con el tiempo de pantalla. Al elevar al cuadrado desaparece el signo menos, por eso $R^2$ nunca es negativo.

Errores comunes

Usar $r$ como porcentaje: " $r = 0{,}5$ , así que se explica el 50 % de la variación"

Por qué está mal: El porcentaje de variación explicada sale de $R^2$ , no de $r$ . Primero hay que elevar al cuadrado.

Correcto: $R^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$ , así que solo se explica el 25 % de la variación.

Olvidar el signo al pasar de $R^2$ a $r$

Por qué está mal: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ siempre es positivo, pero $r$ puede ser negativo. $R^2$ oculta el sentido de la relación.

Correcto: Toma el signo de la pendiente: si la pendiente es negativa, $r = -\sqrt{R^2}$ , por ejemplo $r = -0{,}7$ .

Creer que un $R^2$ alto demuestra que $x$ causa $y$

Por qué está mal: $R^2$ solo mide lo bien que una recta se ajusta a los datos. Una variable de confusión puede influir a la vez en $x$ y en $y$ .

Correcto: Di "el 81 % de la variación de $y$ se explica por la relación lineal con $x$ ", nunca " $x$ causa el 81 % de $y$ ". Para la causalidad hace falta un experimento controlado.

Creer que un $R^2$ alto significa que una recta es el modelo correcto

Por qué está mal: Unos datos curvos también pueden dar $R^2 = 0{,}96$ . $R^2$ no muestra los patrones de los residuos.

Correcto: Mira siempre el gráfico de residuos. Una dispersión al azar apoya la recta; una U u otro patrón indica que otro modelo se ajusta mejor.

Por qué es importante

Cuando ya tienes una recta de regresión, la siguiente pregunta es: ¿qué tan buena es?

R^2

lo responde con un solo número.

Ciencia: los investigadores indican $R^2$ para mostrar lo bien que un modelo describe sus mediciones
Empresa: los analistas comparan modelos de ventas y se quedan con el que explica más variación
Deporte: los entrenadores comprueban qué parte de la variación de los tiempos de esprint se explica por las horas de entrenamiento
Medicina: los médicos ven con qué fuerza una dosis está relacionada con un cambio de la tensión arterial

Saber lo que

R^2

no dice es igual de importante: un

R^2

alto no demuestra que

x

cause

y

, ni demuestra que una recta sea el modelo correcto. Aun así tienes que mirar los residuos.

Aplicaciones del mundo real

Análisis deportivo

Los entrenadores comparan los datos de entrenamiento con los resultados en competición para ver qué parte de la diferencia de rendimiento está relacionada con el entrenamiento.

Ejemplo:

Si la correlación entre las horas de entrenamiento semanales y el tiempo en 100 m es $r = -0{,}85$ , entonces $R^2 = 0{,}7225$ : cerca del 72 % de la variación de los tiempos se explica por la relación lineal con las horas de entrenamiento.

1Inténtalo tú mismo

En un club de natación, la correlación entre las horas de entrenamiento semanales y el tiempo en 50 m es $r = -0{,}9$ .

¿Cuánto vale $R^2$ ? Dalo como número decimal.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Eleva al cuadrado el coeficiente de correlación:

Precios de la vivienda

Los analistas inmobiliarios construyen modelos de regresión para el precio de las viviendas y usan $R^2$ para juzgar si un modelo es lo bastante bueno para hacer tasaciones.

Ejemplo:

Un modelo del precio sobre la superficie con $R^2 = 0{,}70$ explica el 70 % de la variación de los precios; el 30 % restante se debe a la ubicación, el estado y otros factores.

2Inténtalo tú mismo

En un modelo del precio de los pisos sobre la superficie, la variación total es $SS_{\text{tot}} = 500$ y la suma de los cuadrados de los residuos es $SS_{\text{res}} = 75$ (ambas en miles de dólares al cuadrado).

¿Cuánto vale $R^2$ ? Dalo como número decimal.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ :

Medicina y dosis

En los estudios clínicos, los investigadores comprueban con qué fuerza la dosis de un medicamento está relacionada con el cambio de una medida como la tensión arterial.

Ejemplo:

Si una dosis mayor va con una tensión más baja (pendiente negativa) y $R^2 = 0{,}36$ , entonces $r = -0{,}6$ : una relación lineal negativa moderada.

3Inténtalo tú mismo

Un estudio muestra que una dosis mayor va con una tensión arterial más baja. La recta de regresión tiene pendiente negativa y $R^2 = 0{,}64$ .

¿Cuánto vale el coeficiente de correlación $r$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula la raíz cuadrada y elige el signo según la pendiente:

Puntos clave

1El coeficiente de determinación $R^2$ es la parte de la variación de $y$ que se explica por la relación lineal con $x$
2En la regresión lineal simple, $R^2 = r^2$ : al elevar al cuadrado el coeficiente de correlación se obtiene $R^2$
3 $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ compara la variación que queda con la variación total
4 $R^2$ está entre $0$ y $1$ : $R^2 = 0{,}81$ significa que se explica el 81 % de la variación de $y$
5Para volver de $R^2$ a $r$ , toma $\sqrt{R^2}$ con el signo de la pendiente
6Un $R^2$ alto no demuestra causalidad ni que el modelo sea correcto: revisa siempre el gráfico de residuos

Preguntas frecuentes

¿Puede R² ser negativo?

No para una recta de regresión por mínimos cuadrados como las de esta lección:

SS_{\text{res}}

nunca es mayor que

SS_{\text{tot}}

, así que

R^2

se queda entre

0

1

. Elevar

r

al cuadrado también da siempre un número igual a

0

o mayor.

¿Qué se considera un buen R²?

Depende del campo. En experimentos de física son habituales valores por encima de

0{,}95

. Cuando se estudian personas (conducta, salud, economía), un

R^2

0{,}30

ya puede ser útil, porque a las personas les influyen muchos factores.

¿R² es siempre igual a r²?

Sí en la regresión lineal simple con una sola variable explicativa, que es lo que trata esta lección. Con varias variables explicativas no hay un único

r

, pero

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

sigue funcionando.

¿Por qué R² no dice nada sobre el sentido de la relación?

Porque al elevar al cuadrado se pierde el signo:

r = 0{,}8

r = -0{,}8

dan los dos

R^2 = 0{,}64

. Para saber el sentido, mira la pendiente de la recta de regresión o el propio

r

Glosario

Coeficiente de determinación ( $R^2$ ): La parte de la variación de $y$ que se explica por la relación lineal con $x$ ; un número de $0$ a $1$
Suma total de cuadrados ( $SS_{\text{tot}}$ ): $\sum (y_i - \bar{y})^2$ : la variación total de los valores de $y$ alrededor de su media
Suma de los cuadrados de los residuos ( $SS_{\text{res}}$ , también SCR): $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ : la variación que queda después de usar la recta de regresión
Residuo: La diferencia entre un valor observado y un valor predicho: $y_i - \hat{y}_i$
Variación explicada: La parte de la variación total de $y$ que recoge la recta de regresión: $SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}$

Tarjeta de fórmulas

R² a partir de r

R^2 = r^2

En la regresión lineal simple, eleva al cuadrado el coeficiente de correlación

R² a partir de sumas de cuadrados

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

Uno menos la parte de la variación que queda

Suma total de cuadrados

SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2

Cuadrados de las distancias de los valores de y a su media

Suma de los cuadrados de los residuos

SS_{\text{res}} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2

Cuadrados de las distancias de los valores de y a la recta de regresión

r a partir de R²

r = \pm\sqrt{R^2}

Usa el signo de la pendiente de la recta de regresión

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Para estudiantes de nivel:

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Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Análisis deportivo

Precios de la vivienda

Medicina y dosis

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

R² a partir de r

R² a partir de sumas de cuadrados

Suma total de cuadrados

Suma de los cuadrados de los residuos

r a partir de R²

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