Problemas de regresión

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
El modelo $\hat{y} = 6x + 48$ predice la nota del examen $\hat{y}$ (puntos) a partir de las horas de estudio semanales $x$ . ¿Qué significa la pendiente $6$ ?
1. a)Un estudiante que estudia 0 horas saca 6 puntos
2. b)Cada hora extra de estudio a la semana va unida a unos 6 puntos más, en promedio
3. c)En el estudio participaron 6 estudiantes
4. d)La nota es siempre 6 veces el número de horas
Respuesta: Cada hora extra de estudio a la semana va unida a unos 6 puntos más, en promedio
La pendiente es una tasa: por cada hora extra de estudio a la semana, la nota predicha sube unos $6$ puntos, en promedio. El número $48$ es la ordenada en el origen, no la pendiente.
2.
Con $\hat{y} = 6x + 48$ (nota del examen según las horas de estudio semanales $x$ ), predice la nota de un estudiante que estudia $4$ horas a la semana.
Respuesta: 72
$\hat{y} = 6 \times 4 + 48 = 24 + 48 = 72$ puntos.
3.
Se ajustó una recta de regresión a datos con valores de $x$ de $2$ a $10$ . ¿Para qué valor de $x$ una predicción es una extrapolación?
1. a)5
2. b)15
3. c)7,5
4. d)9
Respuesta: 15
Solo $15$ está fuera del intervalo de $2$ a $10$ , así que predecir ahí es una extrapolación. $5$ , $7{,}5$ y $9$ están dentro de los datos (interpolación).
4.
Un punto de datos tiene valor real $y = 80$ y la recta de regresión predice $\hat{y} = 74$ para él. ¿Cuál es su residuo?
Respuesta: 6
$e = y - \hat{y} = 80 - 74 = 6$ . El residuo es positivo, así que el punto está $6$ unidades por encima de la recta.
5.
Una regresión de la nota del examen sobre el tiempo de estudio tiene $R^2 = 0{,}64$ . ¿Qué afirmación es correcta?
1. a)El 64 % de los puntos está exactamente sobre la recta
2. b)El 64 % de la variación de las notas se explica por la relación lineal con el tiempo de estudio
3. c)El coeficiente de correlación es r = 0,64
4. d)Cada hora extra de estudio suma 0,64 puntos
Respuesta: El 64 % de la variación de las notas se explica por la relación lineal con el tiempo de estudio
$R^2 = 0{,}64$ significa que el $64\,\%$ de la variación de las notas se explica por la relación lineal con el tiempo de estudio. No dice nada de cuántos puntos están sobre la recta, y $r = \pm 0{,}8$ , no $0{,}64$ .
6.
La correlación entre los pasos diarios y las calorías quemadas es $r = 0{,}7$ . ¿Cuánto vale $R^2$ ? Exprésalo como decimal.
Respuesta: 0.49
$R^2 = r^2 = 0{,}7^2 = 0{,}49$ : alrededor del $49\,\%$ de la variación de las calorías quemadas se explica por el número de pasos.
7.
El modelo de un concesionario para coches usados es $\hat{y} = 18000 - 1500x$ , donde $\hat{y}$ es el precio en dólares y $x$ la antigüedad en años (datos de coches de 0 a 8 años). ¿Qué significa la ordenada en el origen $18000$ ?
1. a)Para un coche nuevo (antigüedad 0) se predice un precio de unos 18000 dólares
2. b)Un coche nuevo vale 1500 dólares
3. c)Después de 18000 años el coche no vale nada
4. d)El coche pierde 18000 dólares cada año
Respuesta: Para un coche nuevo (antigüedad 0) se predice un precio de unos 18000 dólares
Con $x = 0$ (un coche nuevo) el modelo predice $\hat{y} = 18000$ dólares. La antigüedad $0$ forma parte de los datos, así que la interpretación tiene sentido. El $1500$ es la pendiente: el valor predicho baja unos $1500$ dólares por año.
8.
Una cafetería usa $\hat{y} = 110 - 3x$ para predecir el número de bebidas calientes vendidas a partir de la temperatura de la mañana $x$ en °C (datos de $0$ a $20$ °C). ¿Cuántas bebidas calientes predice para $12$ °C?
Respuesta: 74
$\hat{y} = 110 - 3 \times 12 = 110 - 36 = 74$ bebidas calientes. Como $12$ °C está dentro del rango de los datos, es una interpolación.
9.
En un modelo de tiempos de entrega, una entrega tiene un residuo de $-5$ minutos. ¿Qué significa?
1. a)La entrega tardó 5 minutos más de lo predicho
2. b)El modelo predijo un tiempo de 5 minutos
3. c)La pendiente del modelo es -5
4. d)La entrega tardó 5 minutos menos de lo predicho
Respuesta: La entrega tardó 5 minutos menos de lo predicho
$e = y - \hat{y} = -5$ significa $y = \hat{y} - 5$ : la entrega tardó $5$ minutos menos de lo predicho, así que el punto está por debajo de la recta.
10.
La altura de una planta se modela con $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ (cm, $x$ en semanas). ¿Cuántos cm aumenta la altura predicha en $4$ semanas más?
Respuesta: 10
Cambio de $\hat{y}$ = pendiente $\times$ cambio de $x$ = $2{,}5 \times 4 = 10$ cm.
11.
El modelo de la cafetería es $\hat{y} = 110 - 3x$ (bebidas calientes, $x$ en °C). En una mañana a $15$ °C la cafetería vendió $75$ bebidas calientes. Halla el residuo de esa mañana.
Respuesta: 10
1. ¿Cuánto es $3 \times 15$ ? 45
2. ¿Cuál es el número predicho de bebidas calientes $\hat{y}$ ? 65
3. ¿Cuál es el residuo $y - \hat{y}$ ? 10
12.
Para los datos de horas de estudio, la suma de los cuadrados de los residuos es $SS_{\text{res}} = 40$ y la variación total de las notas es $SS_{\text{tot}} = 400$ . Halla $R^2$ y di qué porcentaje de la variación de las notas explica la recta.
Respuesta: 0.9
1. ¿Cuánto es $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = \frac{40}{400}$ ? 0.1
2. ¿Cuánto vale $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ ? 0.9
3. ¿Qué porcentaje de la variación explica la recta (solo el número)? 90
13.
El modelo $\hat{y} = 6x + 48$ se ajustó con estudiantes que estudian de $1$ a $5$ horas a la semana (exámenes sobre $100$ puntos). Predice la nota para $12$ horas y decide qué tipo de predicción es.
Respuesta: 120
1. ¿Cuánto es $6 \times 12$ ? 72
2. ¿Qué nota predice el modelo para 12 horas? 120
3. ¿Esta predicción es una interpolación o una extrapolación? extrapolación
14.
El modelo del concesionario es $\hat{y} = 18000 - 1500x$ (precio en dólares, $x$ = antigüedad en años, datos de 0 a 8 años). Un coche de $4$ años se vendió por 13000 dólares. Halla el precio predicho y el residuo. ¿Se vendió el coche por encima o por debajo del precio predicho?
Respuesta: 1000
1. ¿Cuánto es $1500 \times 4$ ? 6000
2. ¿Cuál es el precio predicho $\hat{y}$ (solo el número)? 12000
3. ¿Cuál es el residuo (solo el número)? 1000
4. ¿Se vendió el coche por encima o por debajo del precio predicho? por encima
15.
Una estudiante cuenta las flexiones $y$ que logra hacer tras $x$ semanas de entrenamiento:
$x$ 1 2 3 4
$y$ 3 5 6 10
Halla la recta de regresión $\hat{y} = mx + b$ por mínimos cuadrados.
Respuesta: y = 2.2x + 0.5
1. ¿Cuánto vale la media $\bar{x}$ ? 2.5
2. ¿Cuánto vale la media $\bar{y}$ ? 6
3. ¿Cuánto vale $\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})$ ? 11
4. ¿Cuánto vale $\sum(x-\bar{x})^2$ ? 5
5. ¿Cuánto vale la pendiente $m$ ? 2.2
6. ¿Cuánto vale la ordenada en el origen $b = \bar{y} - m\bar{x}$ ? 0.5
16.
El modelo de la cafetería es $\hat{y} = 110 - 3x$ (bebidas calientes, $x$ en °C, datos de $0$ a $20$ °C), con $R^2 = 0{,}9$ . En una mañana a $8$ °C la cafetería vendió $90$ bebidas calientes. Halla la predicción, el residuo, el coeficiente de correlación $r$ y el porcentaje de variación explicada.
Respuesta: -0.95
1. ¿Qué predice el modelo para $8$ °C? 86
2. ¿Cuál es el residuo de esa mañana? 4
3. ¿Cuánto vale $r$ , redondeado a dos decimales? -0.95
4. ¿Qué porcentaje de la variación de las bebidas calientes vendidas se explica (solo el número)? 90
17.
Un puesto de helados recogió datos para temperaturas de $10$ a $30$ °C. La recta de regresión de los helados vendidos por hora frente a la temperatura tiene pendiente $1{,}5$ , y las medias son $\bar{x} = 20$ °C y $\bar{y} = 50$ helados. Halla la ordenada en el origen, predice las ventas a $30$ °C y halla el residuo de una hora a $30$ °C con $61$ helados vendidos.
Respuesta: -4
1. ¿Cuánto es $1{,}5 \times 20$ ? 30
2. ¿Cuánto vale la ordenada en el origen $b = \bar{y} - m\bar{x}$ ? 20
3. ¿Qué predice la recta a $30$ °C? 65
4. ¿Cuál es el residuo de la hora con $61$ helados? -4
18.
Con $\hat{y} = 6x + 48$ (nota según las horas de estudio semanales, datos de $1$ a $5$ horas), ¿cuántas horas de estudio hacen falta según el modelo para una nota predicha de $84$ ? ¿Se puede confiar en esta respuesta?
Respuesta: 6
1. Resta la ordenada en el origen: ¿cuánto es $84 - 48$ ? 36
2. Divide entre la pendiente: ¿cuánto vale $x$ ? 6
3. ¿ $x = 6$ es una interpolación o una extrapolación? extrapolación