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Guía del profesor: Problemas de regresión

Resuelve problemas completos de regresión: interpretar la pendiente y la ordenada en el origen, predecir, detectar extrapolaciones, calcular residuos y explicar r y R².

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Regresión. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Interpretar la pendiente y la ordenada en el origen de una recta de regresión en el contexto y las unidades de un problema
  • Usar una ecuación de regresión para hacer predicciones y clasificarlas como interpolación o extrapolación
  • Calcular e interpretar residuos como valor real menos valor predicho
  • Calcular la recta de mínimos cuadrados para un conjunto pequeño de datos y usarla en un problema completo
  • Explicar r y R² en contexto sin afirmar causalidad
Requisitos previos
  • • Diagramas de dispersión y recta de mejor ajuste
  • • Hacer predicciones con una recta de regresión
  • • Residuos y coeficiente de determinación R²
  • • Coeficiente de correlación (r)
Iniciadores de discusión
  • 1. Un modelo predice una nota de 120 sobre 100. ¿Qué falló, el cálculo o el uso del modelo?
  • 2. ¿Cuándo tiene sentido la ordenada en el origen y cuándo es solo un número que coloca la recta?
  • 3. Dos estudiantes tienen un residuo de 4 puntos. ¿Les fue igual de bien en el examen?
  • 4. Un modelo tiene R² = 0,9. ¿Significa eso que la temperatura hace que la gente compre menos bebidas calientes? ¿Qué más podría estar pasando?
Conceptos erróneos comunes

La pendiente dice exactamente cuánto aumenta y por cada x

Remediación: Muestra el diagrama de dispersión: los puntos se dispersan alrededor de la recta. Exige las palabras "predicho" o "en promedio" en cada interpretación de la pendiente.

Una ecuación de regresión sirve para cualquier valor de x

Remediación: Sustituye un valor muy lejos de los datos (12 horas de estudio, 50 °C) y deja que la clase valore el resultado imposible. Marca el rango de los datos en el eje x antes de cada predicción.

R² es el porcentaje de puntos que están cerca de la recta

Remediación: Calcula R² = 1 - SS_res/SS_tot con la clase para que vean que se compara la variación que queda con la variación total, no se cuentan puntos.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Dar la ecuación de regresión y centrarse solo en predicciones y frases de interpretación
  • • Usar plantillas de frases: "Por cada ___ más, el valor predicho de ___ cambia ___"
  • • Marcar el rango de los datos en el diagrama de dispersión antes de predecir

Para estudiantes de nivel:

  • • Calcular la recta de mínimos cuadrados para 4 o 5 puntos con medias enteras
  • • Calcular los residuos de varios puntos y decir cuáles se sobrestiman o se subestiman
  • • Explicar R² en una frase completa con las unidades del problema

Para estudiantes avanzados:

  • • Demostrar que la recta de regresión siempre pasa por el punto de las medias
  • • Comparar dos modelos para los mismos datos mediante R² y los residuos
  • • Buscar un conjunto de datos real en internet, ajustar una recta con tecnología y escribir un informe crítico sobre sus límites
Alineación con estándares
  • HSS.ID.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6)

    Representar datos de dos variables cuantitativas en un diagrama de dispersión y describir cómo se relacionan

  • HSS.ID.B.6.B (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.B)

    Valorar de forma informal el ajuste de una función representando y analizando los residuos

  • HSS.ID.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.7)

    Interpretar la pendiente (tasa de cambio) y la ordenada en el origen (término constante) de un modelo lineal en el contexto de los datos

  • HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)

    Calcular (con tecnología) e interpretar el coeficiente de correlación de un ajuste lineal

  • HSS.ID.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.9)

    Distinguir entre correlación y causalidad

Recursos de la lección
  • visualDiagramas de dispersión interactivos

    Dos conjuntos de datos con la recta de regresión, su ecuación, r y el residuo del punto que se toca

  • activityFicha técnica de un modelo

    Los grupos reciben un conjunto de datos y escriben un breve informe: pendiente, ordenada en el origen, una interpolación, un aviso de extrapolación, un residuo y R²

  • worksheetRegresión en contexto

    Problemas variados de ciencias, deporte y economía con respuestas en frases completas

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un problema de regresión te da datos reales (o una ecuación de regresión ya ajustada) y te pregunta qué dice el modelo sobre la situación. Todos estos problemas usan la misma caja de herramientas:
y^=mx+b\hat{y} = mx + b
  • **Pendiente mm en contexto**: por cada aumento de 1 unidad en xx, el valor predicho de yy cambia mm unidades, en promedio.
  • **Ordenada en el origen bb en contexto**: el valor predicho de yy cuando x=0x = 0. Solo tiene un significado real si x=0x = 0 tiene sentido y está cerca de los datos.
  • Predicción: sustituye xx en la ecuación para obtener el valor predicho y^\hat{y}.
  • Interpolación o extrapolación: una predicción para un xx dentro del rango de los datos es una interpolación (normalmente fiable); fuera de ese rango es una extrapolación (arriesgada).
  • Residuo: e=y−y^e = y - \hat{y} (valor real menos valor predicho). Positivo significa que el punto está por encima de la recta.
  • r y R²: rr indica la dirección y la fuerza de la relación lineal; R2=r2R^2 = r^2 es la parte de la variación de yy que explica la relación lineal con xx.
Una buena respuesta siempre usa las unidades y las palabras del enunciado, no solo números.

Ejemplos resueltos

Una cafetería anotó durante cinco mañanas la temperatura exterior xx (en °C, de 00 a 2020) y el número yy de bebidas calientes vendidas. La recta de regresión es y^=110−3x\hat{y} = 110 - 3x. Interpreta la pendiente y la ordenada en el origen.
1

Identificar la pendiente y la ordenada en el origen

y^=−3x+110\hat{y} = -3x + 110, así que m=−3m = -3 y b=110b = 110 → m=−3m = -3, b=110b = 110
2

Interpretar la pendiente con unidades

Por cada grado más, el número predicho de bebidas calientes cambia en −3-3 → Unas 3 bebidas calientes menos por cada grado extra, en promedio
3

Interpretar la ordenada en el origen con unidades

Con x=0x = 0 °C el modelo predice y^=110−3×0=110\hat{y} = 110 - 3 \times 0 = 110 → Unas 110 bebidas calientes en una mañana a 0 °C
4

Comprobar que la ordenada en el origen tiene sentido

00 °C es una temperatura real y está dentro del rango de los datos, de 00 a 2020 → Aquí la ordenada en el origen tiene un significado real

Errores comunes

Dar la pendiente como un número suelto: "la pendiente es 6"

Por qué está mal: Un número sin contexto no responde a la pregunta. La pendiente es una tasa de cambio: necesita unidades y la palabra "predicho" o "en promedio", porque los puntos reales se dispersan alrededor de la recta.

Correcto: Di: "Por cada hora extra de estudio a la semana, la nota predicha sube unos 6 puntos."

Confiar en una predicción muy fuera de los datos (extrapolación)

Por qué está mal: La recta se ajustó solo al rango observado. Fuera de él, el patrón puede cambiar y la recta puede dar valores imposibles, como una nota de 120 sobre 100 o un número de ventas negativo.

Correcto: Comprueba primero el rango de xx. Dentro: interpolación. Fuera: extrapolación, así que di que la predicción no es fiable.

Calcular el residuo al revés: y^−y\hat{y} - y

Por qué está mal: Entonces el signo cambia y "por encima de la recta" se convierte en "por debajo de la recta". Por convención, el residuo es el valor real menos el valor predicho.

Correcto: Usa siempre e=y−y^e = y - \hat{y}: positivo significa que el modelo se quedó corto, negativo que se pasó.

Leer R2=0,9R^2 = 0{,}9 como "el 90 % de los puntos está sobre la recta" o "el modelo acierta el 90 % de las veces"

Por qué está mal: R2R^2 mide qué parte de la variación de yy explica la relación lineal. Todos los puntos pueden estar fuera de la recta y aun así R2R^2 puede valer 0,9.

Correcto: Di: "El 90 % de la variación de yy se explica por la relación lineal con xx."

Por qué es importante

La regresión es la forma de convertir datos en decisiones:
  • Tiendas y cafeterías predicen cuánto pedir a partir del pronóstico del tiempo.
  • Los institutos estudian cómo se relaciona el tiempo de estudio con las notas y qué alumnos rinden más o menos de lo previsto.
  • Médicos y científicos usan la regresión para estimar dosis, ritmos de crecimiento y riesgos.
  • Concesionarios y bancos estiman cuánto baja cada año el valor de un coche.
En todos estos casos, lo difícil no es la aritmética sino la interpretación: decir qué significa la pendiente, saber cuándo se puede confiar en una predicción y explicar lo bien que se ajusta la recta. Eso es justo lo que piden los exámenes y los trabajos reales, y lo que entrena esta lección.

Aplicaciones del mundo real

Laboratorio de biología: crecimiento de una planta

En clase de biología se mide una plántula cada semana y se ajusta una recta de regresión de la altura frente al tiempo para describir su ritmo de crecimiento.

Ejemplo:

Con y^=2,5x+4\hat{y} = 2{,}5x + 4 (altura en cm, xx en semanas, datos de la semana 0 a la semana 8), la pendiente dice que la planta crece unos 2,5 cm por semana y la ordenada en el origen, que medía unos 4 cm al empezar las mediciones.

1Inténtalo tú mismo

El modelo de la clase es y^=2,5x+4\hat{y} = 2{,}5x + 4, con la altura y^\hat{y} en cm y el tiempo xx en semanas (datos de la semana 0 a la semana 8).

¿Qué altura predice el modelo en la semana 6?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sustituye x=6x = 6 en la ecuación:

Tiempos de entrega de una tienda online

Las empresas de reparto modelan el tiempo de entrega según la distancia para dar a los clientes una hora estimada de llegada y detectar rutas más lentas de lo esperado.

Ejemplo:

Con y^=12+3x\hat{y} = 12 + 3x (minutos, xx = distancia en km, datos de 1 a 10 km), se predice que una entrega de 4 km tarda 12+12=2412 + 12 = 24 minutos.

2Inténtalo tú mismo

El modelo es y^=12+3x\hat{y} = 12 + 3x (tiempo en minutos, xx = distancia en km). Una entrega de 6 km tardó en realidad 33 minutos.

¿Cuál es el residuo de esta entrega?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Residuo = tiempo real menos tiempo predicho:

Pruebas de batería de móviles

Los analistas de tecnología relacionan el tiempo de pantalla con el consumo de batería e indican la fuerza de esa relación, para que los lectores sepan cuánto pueden fiarse de la recta de regresión.

Ejemplo:

Si el tiempo de pantalla y la batería consumida tienen r=0,8r = 0{,}8, entonces R2=0,64R^2 = 0{,}64: el 64 % de la variación del consumo se explica por el tiempo de pantalla.

3Inténtalo tú mismo

En una prueba de batería, la correlación entre la temperatura de la habitación y la duración de la batería es r=−0,9r = -0{,}9.

¿Qué porcentaje de la variación de la duración de la batería se explica por la relación lineal con la temperatura de la habitación?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Eleva r al cuadrado y pásalo a porcentaje:

Puntos clave

  • 1Interpreta la pendiente como una tasa con unidades: por cada aumento de 1 en xx, el valor predicho de yy cambia mm, en promedio
  • 2La ordenada en el origen es el valor predicho de yy en x=0x = 0; solo significa algo si x=0x = 0 tiene sentido y está cerca de los datos
  • 3Para predecir, sustituye xx en y^=mx+b\hat{y} = mx + b; dentro del rango de los datos es interpolación, fuera es una extrapolación arriesgada
  • 4Un residuo es el valor real menos el predicho, e=y−y^e = y - \hat{y}: positivo por encima de la recta, negativo por debajo
  • 5rr indica dirección y fuerza; R2=r2R^2 = r^2 es la parte de la variación de yy que explica la recta
  • 6Un buen ajuste muestra una relación, no una causa: responde siempre con las palabras y unidades del enunciado

Preguntas frecuentes

¿La ordenada en el origen siempre tiene significado?

No. Es el valor predicho de yy cuando x=0x = 0. Si x=0x = 0 es imposible (una persona de 0 cm) o está muy lejos de los datos (un piso de 0 m²), la ordenada en el origen es solo un número que coloca la recta, no algo que interpretar.

¿Hasta dónde puedo predecir fuera de los datos?

No hay una distancia segura. Un poco fuera del rango puede funcionar si el patrón continúa claramente, pero toda extrapolación debe señalarse como incierta, y las predicciones lejanas (o los valores imposibles) no deben usarse.

¿Cuál es la diferencia entre r y R²?

rr está entre −1-1 y 11 e indica la dirección (signo) y la fuerza de una relación lineal. R2=r2R^2 = r^2 está entre 00 y 11 e indica qué parte de la variación de yy explica la recta. R2R^2 pierde el signo, así que mira la pendiente para saber la dirección.

Si R² es alto, ¿x causa y?

No necesariamente. Un R2R^2 alto solo dice que la recta se ajusta bien a los datos. Una variable de confusión o el azar pueden crear el patrón; solo un experimento controlado puede demostrar causa y efecto.

Glosario

Valor predicho y^\hat{y}
El valor de yy que da la recta de regresión para un xx elegido
Pendiente en contexto
El cambio predicho de yy, en las unidades de yy, por cada aumento de 1 unidad en xx
Ordenada en el origen en contexto
El valor predicho de yy cuando x=0x = 0; solo tiene sentido si x=0x = 0 es realista y está cerca de los datos
Interpolación
Predecir yy para un xx dentro del rango de los datos
Extrapolación
Predecir yy para un xx fuera del rango de los datos; a menudo poco fiable
Coeficiente de determinación R²
La parte de la variación de yy que explica la relación lineal con xx; para una recta es igual a r2r^2

Tarjeta de fórmulas

Recta de regresión

y^=mx+b\hat{y} = mx + b

Sustituye x para obtener el valor predicho

Pendiente por mínimos cuadrados

m=∑(x−xˉ)(y−yˉ)∑(x−xˉ)2m = \frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sum(x-\bar{x})^2}

Se calcula con las desviaciones respecto a las medias

Ordenada en el origen por mínimos cuadrados

b=yˉ−mxˉb = \bar{y} - m\bar{x}

La recta siempre pasa por el punto de las medias

Residuo

e=y−y^e = y - \hat{y}

Real menos predicho; positivo por encima de la recta

Coeficiente de determinación

R2=r2=1−SSresSStotR^2 = r^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

$SS_{\text{res}}$ es la suma de los cuadrados de los residuos, $SS_{\text{tot}}$ la suma de las desviaciones de y respecto a su media al cuadrado

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