Residuos

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Un punto de datos está por debajo de la recta de regresión. ¿Qué signo tiene su residuo?
1. a)negativo
2. b)depende de la pendiente
3. c)cero
4. d)positivo
Respuesta: negativo
Por debajo de la recta, $y < \hat{y}$ , así que $e = y - \hat{y}$ es negativo.
2.
¿Qué fórmula da el residuo de un punto de datos?
1. a) $y \cdot \hat{y}$
2. b) $y + \hat{y}$
3. c) $\hat{y} - y$
4. d) $y - \hat{y}$
Respuesta: $y - \hat{y}$
El residuo es siempre observado menos predicho: $e = y - \hat{y}$ . El orden importa, porque $\hat{y} - y$ tiene el signo contrario.
3.
Un gráfico de residuos muestra una curva en U muy clara. ¿Qué te indica esto?
1. a)No hay ninguna relación entre x e y
2. b)Los residuos no suman 0
3. c)Un modelo curvo se ajustaría mejor que una recta
4. d)El modelo lineal se ajusta bien
Respuesta: Un modelo curvo se ajustaría mejor que una recta
Un patrón curvo en los residuos significa que los datos se curvan y una recta no capta esa curva, así que un modelo curvo se ajustaría mejor. Los residuos de la recta de mínimos cuadrados siguen sumando $0$ .
4.
¿Qué se cumple para la suma de los residuos de la recta de regresión de mínimos cuadrados?
1. a)Es distinta para cada conjunto de datos
2. b)Siempre es 0
3. c)Es igual a la suma de los cuadrados de los residuos
4. d)Siempre es positiva
Respuesta: Siempre es 0
Para la recta de mínimos cuadrados, los residuos positivos y negativos siempre se compensan exactamente: $\sum e = 0$ , para cualquier conjunto de datos. Por eso una suma pequeña no dice nada del ajuste.
5.
Se trazaron cuatro rectas en el mismo diagrama de dispersión. Abajo aparecen sus sumas de los cuadrados de los residuos. ¿Cuál es la recta de regresión de mínimos cuadrados?
1. a)Recta B (SCR = 34)
2. b)Recta A (SCR = 40)
3. c)Recta D (SCR = 61)
4. d)Recta C (SCR = 53)
Respuesta: Recta B (SCR = 34)
La recta de mínimos cuadrados es la que tiene la menor suma de los cuadrados de los residuos. $34$ es el valor más pequeño, así que la recta B es la recta de mínimos cuadrados.
6.
La recta de regresión es $\hat{y} = 5x + 50$ . Un punto de datos es $(2, 58)$ . ¿Cuál es su residuo?
Respuesta: -2
$\hat{y} = 5(2) + 50 = 60$ , así que $e = 58 - 60 = -2$ . El punto está 2 unidades por debajo de la recta.
7.
La nota observada de una estudiante es $80$ y la recta de regresión predice $74{,}5$ . ¿Cuál es el residuo?
Respuesta: 5.5
$e = 80 - 74{,}5 = 5{,}5$ . El residuo es positivo, así que la estudiante sacó $5{,}5$ puntos más de lo predicho.
8.
Un punto tiene un residuo de $-4$ y su valor predicho es $\hat{y} = 30$ . ¿Cuál es el valor observado $y$ ?
Respuesta: 26
$y = \hat{y} + e = 30 + (-4) = 26$ . Un residuo negativo significa que el valor observado está por debajo de la predicción.
9.
Se ajustó una recta de mínimos cuadrados a $5$ puntos. Cuatro de los residuos son $3$ , $-1$ , $2$ y $-5$ . ¿Cuál es el quinto residuo?
Respuesta: 1
$3 + (-1) + 2 + (-5) = -1$ . Los cinco deben sumar $0$ , así que el quinto residuo es $1$ .
10.
Los residuos de una recta de regresión son $1$ , $-3$ , $2$ , $0$ , $-1$ y $1$ . ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los residuos?
Respuesta: 16
$1^2 + (-3)^2 + 2^2 + 0^2 + (-1)^2 + 1^2 = 1 + 9 + 4 + 0 + 1 + 1 = 16$ .
11.
La recta de regresión es $\hat{y} = 3x + 4$ . Calcula el residuo del punto $(5, 21)$ .
Respuesta: 2
1. ¿Cuánto es $3 \times 5$ ? 15
2. ¿Cuál es el valor predicho $\hat{y}$ ? 19
3. ¿Cuál es el residuo $e = y - \hat{y}$ ? 2
12.
La recta de regresión es $\hat{y} = 2x + 10$ . Calcula el residuo del punto $(6, 19)$ y di dónde está el punto.
Respuesta: -3
1. ¿Cuál es el valor predicho $\hat{y}$ ? 22
2. ¿Cuál es el residuo $e = y - \hat{y}$ ? -3
3. ¿Dónde está el punto? por debajo
13.
Una cafetería modela sus ventas de chocolate caliente con $\hat{y} = 0{,}5x + 20$ , donde $x$ es el número de clientes. Un día con $40$ clientes vendió $38$ chocolates calientes. Calcula el residuo.
Respuesta: -2
1. ¿Cuánto es $0{,}5 \times 40$ ? 20
2. ¿Cuál es el valor predicho $\hat{y}$ ? 40
3. ¿Cuál es el residuo $e = y - \hat{y}$ ? -2
14.
La recta de mínimos cuadrados para los puntos $(1, 6)$ , $(2, 7)$ y $(3, 14)$ es $\hat{y} = 4x + 1$ . Calcula cada residuo y su suma.
Respuesta: 0
1. ¿Residuo de $(1, 6)$ ? 1
2. ¿Residuo de $(2, 7)$ ? -2
3. ¿Residuo de $(3, 14)$ ? 1
4. ¿Cuál es la suma de los tres residuos? 0
15.
Para los puntos $(1, 4)$ , $(2, 4)$ y $(3, 8)$ y la recta $\hat{y} = 2x + 1$ , calcula la suma de los cuadrados de los residuos.
Respuesta: 3
1. ¿Residuo de $(1, 4)$ ? 1
2. ¿Residuo de $(2, 4)$ ? -1
3. ¿Residuo de $(3, 8)$ ? 1
4. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los residuos? 3
16.
Para los puntos $(1, 3)$ , $(2, 5)$ y $(3, 4)$ , compara la recta A: $\hat{y} = 0{,}5x + 3$ y la recta B: $\hat{y} = x + 2$ . ¿Cuál es la recta de mínimos cuadrados?
Respuesta: A
1. Recta A: ¿cuál es el residuo de $(2, 5)$ ? 1
2. Recta A: ¿cuál es la suma de los cuadrados de los residuos? 1.5
3. Recta B: ¿cuál es la suma de los cuadrados de los residuos? 2
4. ¿Qué recta es la recta de mínimos cuadrados? A
17.
La recta de mínimos cuadrados para cuatro puntos es $\hat{y} = 2x + 5$ . Los residuos de los tres primeros puntos son $2$ , $-1$ y $-3$ . El cuarto punto tiene $x = 8$ . ¿Cuál es su valor observado $y$ ?
Respuesta: 23
1. ¿Cuál es la suma de los tres primeros residuos? -2
2. ¿Cuánto debe valer el cuarto residuo? 2
3. ¿Cuánto vale $\hat{y}$ para $x = 8$ ? 21
4. ¿Cuál es el valor observado $y$ ? 23
18.
Las descargas de una aplicación (en miles) en los meses $1$ a $6$ fueron $20, 24, 31, 41, 54, 70$ . La recta de mínimos cuadrados es $\hat{y} = 10x + 5$ . Comprueba con los residuos si una recta se ajusta.
Respuesta: 5, -1, -4, -4, -1, 5
1. ¿Residuo del mes $1$ ? 5
2. ¿Residuo del mes $3$ ? -4
3. ¿Residuo del mes $6$ ? 5
4. Los seis residuos son $5, -1, -4, -4, -1, 5$ . ¿Qué patrón forman en el gráfico de residuos? curva en U