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Guía del profesor: Residuos

Aprende qué es un residuo, cómo calcular residuos en una tabla y cómo un gráfico de residuos muestra si una recta se ajusta a los datos.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Regresión. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Calcular un residuo como valor observado menos valor predicho
  • Interpretar el signo de un residuo como un punto por encima o por debajo de la recta de regresión
  • Organizar residuos en una tabla y comprobar que suman cero para la recta de mínimos cuadrados
  • Usar un gráfico de residuos para decidir si un modelo lineal es adecuado
  • Explicar los mínimos cuadrados como la minimización de la suma de los cuadrados de los residuos
Requisitos previos
  • • Diagramas de dispersión y lectura de puntos como pares (x, y)
  • • Recta de mejor ajuste y su ecuación y^=mx+b\hat{y} = mx + b
  • • Hacer predicciones sustituyendo xx en la recta de regresión
  • • Sumar y elevar al cuadrado números negativos
Iniciadores de discusión
  • 1. Si tu residuo en un modelo de notas es −5-5, ¿lo hiciste mejor o peor de lo que esperaba el modelo?
  • 2. ¿Por qué los residuos de una recta mala pueden sumar cero de todos modos?
  • 3. ¿Cómo sería un gráfico de residuos si todos los puntos estuvieran exactamente sobre la recta?
  • 4. ¿Por qué elevar al cuadrado castiga más un error grande que varios pequeños?
Conceptos erróneos comunes

El residuo es predicho menos observado

Remediación: Fija el orden con un dibujo: un punto por encima de la recta debe ser positivo. Pide a los alumnos que comprueben el signo en el gráfico cada vez.

Si los residuos suman cero, la recta se ajusta bien

Remediación: Muestra los datos de descargas: la suma es 00, pero el gráfico de residuos forma una U muy clara. Después compara la SCR de dos rectas.

Una correlación fuerte significa que una recta siempre es el modelo correcto

Remediación: Los datos curvos también pueden tener una rr alta. Dibuja siempre el gráfico de residuos y busca un patrón antes de fiarte de un modelo lineal.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Empezar con un solo residuo cada vez y un gráfico para comprobar el signo
  • • Dar una tabla con los valores predichos ya rellenados
  • • Usar solo residuos enteros

Para estudiantes de nivel:

  • • Completar tablas de residuos enteras y comprobar que la suma es cero
  • • Dibujar gráficos de residuos a mano y describir el patrón
  • • Comparar dos rectas con la suma de los cuadrados de los residuos

Para estudiantes avanzados:

  • • Demostrar que subir la recta de mínimos cuadrados cc unidades añade nc2n c^2 a la SCR
  • • Explicar por qué la recta de mínimos cuadrados siempre pasa por (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y})
  • • Buscar datos reales con un gráfico de residuos curvo y proponer un modelo mejor
Alineación con estándares
  • HSS.ID.B.6.B (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.B)

    Evaluar de forma informal el ajuste de una función representando y analizando los residuos

  • HSS.ID.B.6.C (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.C)

    Ajustar una función lineal a un diagrama de dispersión que sugiere una relación lineal

  • HSS.ID.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.7)

    Interpretar la pendiente y la ordenada en el origen de un modelo lineal en el contexto de los datos

Recursos de la lección
  • visualDiagrama de dispersión con residuos

    Los alumnos tocan los puntos y leen cada residuo como un segmento discontinuo entre el punto y la recta

  • activityGráfico de residuos humano

    Los alumnos miden su estatura y su envergadura, calculan su residuo respecto a una recta de la clase y se colocan en una recta numérica en el suelo según su residuo

  • worksheetTablas de residuos

    Completar valores predichos, residuos y cuadrados de residuos para conjuntos de datos pequeños y comparar dos rectas

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un residuo es la distancia vertical entre un punto de datos y la recta de regresión. Indica cuánto se equivocó la predicción de la recta respecto al valor real:
e=y−y^e = y - \hat{y}
  • yy es el valor observado (lo que pasó de verdad)
  • y^\hat{y} es el valor predicho por la recta (se lee "y gorro")
  • ee es el residuo, siempre observado menos predicho
El signo de un residuo te dice dónde está el punto:
  • e>0e > 0: el punto está por encima de la recta (la recta predijo demasiado poco)
  • e<0e < 0: el punto está por debajo de la recta (la recta predijo demasiado)
  • e=0e = 0: el punto está justo sobre la recta
Un residuo tiene la misma unidad que yy. Para la recta de regresión de mínimos cuadrados, la suma de los residuos siempre es cero: ∑e=0\sum e = 0.

Ejemplos resueltos

La recta de regresión entre horas de estudio (xx) y nota del examen (yy) es y^=5x+50\hat{y} = 5x + 50. Mía estudió 44 horas y sacó 7272. Calcula su residuo.
1

Calcula la nota predicha

y^=5(4)+50=20+50\hat{y} = 5(4) + 50 = 20 + 50 → y^=70\hat{y} = 70
2

Resta: observado menos predicho

e=y−y^=72−70e = y - \hat{y} = 72 - 70 → e=2e = 2
3

Interpreta el signo

e>0e > 0, así que el punto de Mía está por encima de la recta → Sacó 2 puntos más de lo predicho

Errores comunes

Calcular predicho menos observado (y^−y\hat{y} - y)

Por qué está mal: Así se invierten todos los signos: los puntos por encima de la recta tendrían residuos negativos y los de abajo, positivos.

Correcto: Usa siempre observado menos predicho: e=y−y^e = y - \hat{y}. Positivo significa por encima de la recta.

Juzgar una recta por la simple suma de sus residuos

Por qué está mal: Para la recta de mínimos cuadrados la suma siempre es 00, aunque la recta se ajuste mal, porque los residuos positivos y negativos se compensan.

Correcto: Eleva primero los residuos al cuadrado y súmalos (SCR), o mira el gráfico de residuos.

Creer que un gráfico de residuos curvo está bien porque los puntos están cerca de cero en promedio

Por qué está mal: Una curva clara (en U, en forma de colina) significa que los datos siguen una curvatura que una recta no puede seguir.

Correcto: Un modelo lineal solo se ajusta cuando el gráfico de residuos parece una dispersión aleatoria alrededor de 00, sin ningún patrón.

Olvidar la unidad o el tamaño de un residuo

Por qué está mal: Un residuo de −3-3 en una nota significa 3 puntos, no un 3 %. Su tamaño solo tiene sentido en la unidad de yy.

Correcto: Dilo en contexto: "La recta sobrestimó la nota de Leo en 3 puntos."

Por qué es importante

Con los residuos, los estadísticos comprueban un modelo en lugar de fiarse de él sin más:
  • ¿Es buena la recta? Residuos pequeños significan que las predicciones se acercan a la realidad.
  • ¿Es una recta la forma correcta? Un gráfico de residuos (los residuos frente a x) muestra una nube aleatoria cuando una recta se ajusta y una curva cuando no.
  • ¿Qué recta es la mejor? La recta de mínimos cuadrados es la que tiene la menor suma de los cuadrados de los residuos.
  • Casos raros: un residuo muy grande señala un punto que no sigue el patrón, por ejemplo un error al escribir los datos o un caso especial.
Los servicios meteorológicos, las aplicaciones de reparto, los médicos y los científicos del deporte comparan continuamente predicciones con lo que pasó de verdad, y cada una de esas comparaciones es un residuo.

Aplicaciones del mundo real

Tiempos de entrega estimados

Las aplicaciones de reparto predicen el tiempo de un pedido a partir de la distancia. Después de cada entrega, el residuo muestra si la estimación se quedó corta o larga.

Ejemplo:

Con y^=2x+10\hat{y} = 2x + 10 minutos para xx km, a un pedido de 5 km se le predicen 2020 minutos. Si tardó 1818 minutos, el residuo es 18−20=−218 - 20 = -2.

1Inténtalo tú mismo

El modelo de la aplicación es y^=2x+10\hat{y} = 2x + 10 (minutos, xx en km). Un pedido de 66 km tardó 2525 minutos.

¿Cuál es el residuo de este pedido?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Observado menos predicho:

Experimentos de crecimiento de plantas

Los biólogos ajustan una recta a la altura de las plantas a lo largo del tiempo. A una planta con un residuo negativo grande quizá le falte luz o agua.

Ejemplo:

Con y^=1,5x+4\hat{y} = 1{,}5x + 4 cm después de xx semanas, se espera que una planta mida 1010 cm a las 4 semanas.

2Inténtalo tú mismo

El modelo de crecimiento es y^=1,5x+4\hat{y} = 1{,}5x + 4 (cm, xx en semanas). A las 88 semanas una planta mide 14,514{,}5 cm.

¿Cuál es el residuo de esta planta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Observado menos predicho:

Modelos en ciencias del deporte

Los entrenadores predicen la altura de salto de un deportista a partir de datos de entrenamiento y juzgan el modelo por su suma de los cuadrados de los residuos: cuanto más pequeña, mejor.

Ejemplo:

Si un modelo falla por 33 cm y por −3-3 cm con dos deportistas, los residuos suman 00, pero los cuadrados de los residuos suman 9+9=189 + 9 = 18.

3Inténtalo tú mismo

Un modelo de mínimos cuadrados para la altura de salto tiene residuos de 22, −1-1 y −1-1 cm para tres deportistas.

¿Cuál es la suma de los cuadrados de los residuos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Eleva cada residuo al cuadrado y suma:

Puntos clave

  • 1Un residuo es observado menos predicho: e=y−y^e = y - \hat{y}
  • 2Un residuo positivo significa que el punto está por encima de la recta; uno negativo, que está por debajo
  • 3Los residuos tienen la misma unidad que yy y se organizan fácilmente en una tabla: xx, yy, y^\hat{y}, ee
  • 4Los residuos de la recta de mínimos cuadrados siempre suman 00
  • 5Un gráfico de residuos con dispersión aleatoria alrededor de 00 significa que una recta se ajusta; un patrón curvo significa que no
  • 6La recta de mínimos cuadrados es la recta con la menor suma de los cuadrados de los residuos

Preguntas frecuentes

¿Por qué se llama residuo?

"Residuo" significa "lo que sobra". Es la parte de yy que la recta no explica: el valor que queda cuando le quitas la predicción.

¿Por qué elevamos los residuos al cuadrado en lugar de sumarlos sin más?

Los residuos simples se compensan (para la recta de mínimos cuadrados su suma siempre es 00). Al elevarlos al cuadrado, cada error cuenta como positivo y los errores grandes pesan mucho más.

¿Un residuo grande es un error?

No necesariamente. Solo significa que el punto no sigue bien el patrón. Revisa si hay un error al escribir los datos, pero los datos reales también pueden tener casos raros.

¿En qué se diferencia un gráfico de residuos de un diagrama de dispersión?

Un diagrama de dispersión muestra yy frente a xx. Un gráfico de residuos muestra el residuo ee frente a xx, así que la recta de regresión se convierte en la recta horizontal e=0e = 0 y cualquier patrón que la recta no captó se ve fácilmente.

Glosario

Residuo
Valor observado menos valor predicho: e=y−y^e = y - \hat{y}
Valor observado
El valor real de yy de un punto de datos, medido o recogido
Valor predicho
El valor y^\hat{y} que da la recta de regresión para un xx concreto
Gráfico de residuos
Un gráfico de los residuos frente a xx, con una recta horizontal en 00
Suma de los cuadrados de los residuos (SCR)
La suma ∑(y−y^)2\sum (y - \hat{y})^2; la recta de mínimos cuadrados la hace lo más pequeña posible
Recta de mínimos cuadrados
La recta de regresión con la menor suma de los cuadrados de los residuos

Tarjeta de fórmulas

Residuo

e=y−y^e = y - \hat{y}

Observado menos predicho; positivo por encima de la recta, negativo por debajo

Suma de los residuos

∑e=0\sum e = 0

Siempre se cumple para la recta de regresión de mínimos cuadrados

Suma de los cuadrados de los residuos

SCR=∑(y−y^)2\text{SCR} = \sum (y - \hat{y})^2

La recta de mínimos cuadrados hace este valor lo más pequeño posible (también se escribe $SS_{\text{res}}$)

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