Calcular la desviación estándar

Domina el proceso paso a paso para calcular la desviación estándar de cualquier conjunto de datos.

Avanzado25 minLección
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Definición

Calcular la desviación estándar sigue un proceso sistemático de 5 pasos que mide qué tan dispersos están los valores de los datos respecto a su media.
La fórmula:
σ=∑(xi−xˉ)2n\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}}
El proceso de 5 pasos:
  1. 1.Calcular la media (xˉ\bar{x}): Sumar todos los valores y dividir entre el número total
  2. 2.Encontrar cada desviación: Restar la media de cada valor (xi−xˉx_i - \bar{x})
  3. 3.Elevar al cuadrado cada desviación: (xi−xˉ)2(x_i - \bar{x})^2
  4. 4.Calcular el promedio de las desviaciones al cuadrado (varianza): ∑(xi−xˉ)2n\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}
  5. 5.Sacar la raíz cuadrada: σ=varianza\sigma = \sqrt{\text{varianza}}
¿Por qué elevamos al cuadrado las desviaciones? Elevar al cuadrado hace que todas las desviaciones sean positivas (para que los negativos no cancelen los positivos) y enfatiza las desviaciones mayores.

Pruébalo ahora

¿Cuál es el PRIMER paso al calcular la desviación estándar?

Ejemplos resueltos

Encuentra la desviación estándar de estas calificaciones: 72,78,80,84,8672, 78, 80, 84, 86
1

Calcular la media

xˉ=72+78+80+84+865=4005=80\bar{x} = \frac{72 + 78 + 80 + 84 + 86}{5} = \frac{400}{5} = 80 → Media = 8080
2

Encontrar cada desviación de la media

72−80=−872 - 80 = -8 78−80=−278 - 80 = -2 80−80=080 - 80 = 0 84−80=484 - 80 = 4 86−80=686 - 80 = 6 → Desviaciones: −8,−2,0,4,6-8, -2, 0, 4, 6
3

Elevar al cuadrado cada desviación

(−8)2=64(-8)^2 = 64 (−2)2=4(-2)^2 = 4 (0)2=0(0)^2 = 0 (4)2=16(4)^2 = 16 (6)2=36(6)^2 = 36 → Desviaciones al cuadrado: 64,4,0,16,3664, 4, 0, 16, 36
4

Calcular la varianza (promedio de desviaciones al cuadrado)

Varianza=64+4+0+16+365=1205=24\text{Varianza} = \frac{64 + 4 + 0 + 16 + 36}{5} = \frac{120}{5} = 24 → Varianza = 2424
5

Sacar la raíz cuadrada

σ=24≈4,90\sigma = \sqrt{24} \approx 4,90 → DE ≈4,90\approx 4,90

Errores comunes

Olvidar elevar al cuadrado las desviaciones

Por qué está mal: Sin elevar al cuadrado, las desviaciones negativas y positivas se cancelan, dando una suma cercana a cero independientemente de la dispersión real.

Correcto: Siempre eleva al cuadrado cada desviación. La suma de desviaciones al cuadrado para un conjunto disperso será grande.

Dividir entre n−1n-1 en lugar de nn (o viceversa)

Por qué está mal: La DE de población usa nn; la DE de muestra usa n−1n-1. Usar la fórmula incorrecta da resultados erróneos.

Correcto: Usa nn cuando tienes todos los datos (población). Usa n−1n-1 cuando tienes una muestra de una población mayor.

Olvidar sacar la raíz cuadrada al final

Por qué está mal: Quedarse en la varianza da unidades que están al cuadrado (como 'puntos al cuadrado'), lo cual es difícil de interpretar.

Correcto: Siempre saca la raíz cuadrada de la varianza para obtener la desviación estándar en las unidades originales.

Cometer errores aritméticos al sumar las desviaciones al cuadrado

Por qué está mal: Con muchos valores, es fácil cometer errores de cálculo.

Correcto: Crea una tabla con columnas: Valor, Desviación, Desviación al cuadrado. Verifica cada cálculo.

Visual interactivo

Diagrama de puntos

Calificaciones: 72, 78, 80, 84, 86

7274767880828486

Cada punto es un valor (5 valores en total).

Media = 80

Toca una columna para contar sus puntos.

Diagrama de puntos

Conjunto B: 2, 6, 10, 14, 18

24681012141618

Cada punto es un valor (5 valores en total).

Media = 10

Toca una columna para contar sus puntos.

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Problemas de práctica

15 problemas
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¿Cuál es el PRIMER paso al calcular la desviación estándar?

Por qué es importante

Saber calcular la desviación estándar a mano es esencial para:
  • Comprender el concepto: El cálculo revela POR QUÉ la desviación estándar mide la dispersión
  • Verificar resultados de la calculadora: Comprobar que la tecnología da respuestas correctas
  • Exámenes y pruebas: Muchas pruebas estandarizadas requieren cálculo manual
  • Conjuntos de datos pequeños: Cálculo mental rápido sin tecnología
Aplicaciones reales:
  • Control de calidad: Una fábrica calcula la DE para verificar si los productos tienen tamaño consistente
  • Análisis deportivo: Comparar la consistencia de jugadores calculando la DE del rendimiento
  • Finanzas: Calcular el riesgo de inversión encontrando la DE de los rendimientos

Aplicaciones del mundo real

Control de calidad en la fabricación

Los gerentes de fábrica calculan la desviación estándar para asegurar que los productos cumplan las especificaciones consistentemente.

Ejemplo:

Una fábrica produce tornillos que deben medir 1010 mm de largo. Si σ=0,1\sigma = 0,1 mm, el 95% de los tornillos están dentro de ±0,2\pm 0,2 mm del objetivo. Si σ=0,5\sigma = 0,5 mm, hay demasiada variación.

1Inténtalo tú mismo

Cinco tornillos medidos: 9,8;10,1;10,0;9,9;10,29,8; 10,1; 10,0; 9,9; 10,2 mm. El objetivo es 1010 mm.

Calcula la desviación estándar. ¿Es consistente la producción?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Primero encuentra la media de las mediciones:

Comparar el rendimiento de los estudiantes

Los profesores calculan la DE para entender cuánto varían las calificaciones de los estudiantes en los exámenes.

Ejemplo:

Si una clase tiene una media de 75 con DE = 5, la mayoría de los estudiantes obtienen entre 70 y 80. Si DE = 15, las calificaciones van de 60 a 90.

2Inténtalo tú mismo

Calificaciones del quiz: 8,6,9,7,108, 6, 9, 7, 10. Calcula la desviación estándar.

¿Cuánto varían típicamente las calificaciones respecto al promedio?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Media = (8+6+9+7+10)/5(8+6+9+7+10)/5:

Puntos clave

  • 1El cálculo de la desviación estándar sigue 5 pasos: media → desviaciones → cuadrado → promedio → raíz cuadrada
  • 2Elevar al cuadrado las desviaciones evita que los valores negativos cancelen los positivos
  • 3La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado; la DE es su raíz cuadrada
  • 4La DE de población divide entre nn; la DE de muestra divide entre n−1n-1
  • 5Una DE mayor significa más dispersión; DE = 0 significa que todos los valores son idénticos

Preguntas frecuentes

Usa nn (DE de población) cuando tus datos incluyen todo el grupo que estás estudiando. Usa n−1n-1 (DE de muestra) cuando tus datos son una muestra de una población mayor. La corrección n−1n-1 da una mejor estimación de la dispersión real de la población.
Usa nn (DE de población) cuando tus datos incluyen todo el grupo que estás estudiando. Usa n−1n-1 (DE de muestra) cuando tus datos son una muestra de una población mayor. La corrección n−1n-1 da una mejor estimación de la dispersión real de la población.
Elevar al cuadrado tiene ventajas matemáticas: es derivable (útil en cálculo), da más peso a desviaciones mayores, y se conecta con el teorema de Pitágoras y la distancia euclidiana. Los valores absolutos funcionan pero no tienen estas propiedades.
¡No! Como estamos sacando la raíz cuadrada de una suma de números al cuadrado, la desviación estándar siempre es cero o positiva. DE = 0 solo ocurre cuando todos los valores son idénticos.

Glosario

Desviación estándar
Una medida de qué tan dispersos están los datos respecto a la media
Varianza
El promedio de las desviaciones al cuadrado; el cuadrado de la desviación estándar
Desviación
La diferencia entre un valor y la media: xi−xˉx_i - \bar{x}
Media
El promedio de todos los valores: suma dividida entre la cantidad
Población
El conjunto completo de todos los individuos o elementos que se estudian
Muestra
Un subconjunto de una población usado para representar el todo

Tarjeta de fórmulas

Desviación estándar de población

σ=∑(xi−xˉ)2n\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}}

Usar cuando los datos representan toda la población

Desviación estándar de muestra

s=∑(xi−xˉ)2n−1s = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}

Usar cuando los datos son una muestra de una población mayor

Varianza

σ2=∑(xi−xˉ)2n\sigma^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}

El cuadrado de la desviación estándar (antes de sacar la raíz)

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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