Graficando la función coseno

Aprende a graficar la función coseno, comprende sus características clave y explora las transformaciones.

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Definición

La función coseno se escribe como y=cos⁡(x)y = \cos(x) y crea una curva suave en forma de onda llamada sinusoide.
**Características clave de y=cos⁡(x)y = \cos(x):**
PropiedadValor
Amplitud11
Período2π2\pi (aproximadamente 6,286{,}28)
Máximo11 en x=0,2π,4π,…x = 0, 2\pi, 4\pi, \ldots
Mínimo−1-1 en x=π,3π,5π,…x = \pi, 3\pi, 5\pi, \ldots
Cerosx=π2,3π2,5π2,…x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots
La gráfica del coseno comienza en su máximo cuando x=0x = 0:
cos⁡(0)=1\cos(0) = 1
Esta es la diferencia clave con el seno, que comienza en cero.

Pruébalo ahora

¿Cuál es el valor de cos⁡(0)\cos(0)?

Ejemplos resueltos

Grafica un ciclo completo de y=cos⁡(x)y = \cos(x) desde x=0x = 0 hasta x=2πx = 2\pi.
1

Encuentra el punto inicial

cos⁡(0)=1\cos(0) = 1 → Punto: (0,1)(0, 1)
2

Encuentra el primer cero

cos⁡(π2)=0\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 → Punto: (π2,0)\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)
3

Encuentra el mínimo

cos⁡(π)=−1\cos(\pi) = -1 → Punto: (π,−1)(\pi, -1)
4

Encuentra el segundo cero

cos⁡(3π2)=0\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 → Punto: (3π2,0)\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)
5

Encuentra el punto final (regreso al máx)

cos⁡(2π)=1\cos(2\pi) = 1 → Punto: (2π,1)(2\pi, 1)

Errores comunes

Confundir los puntos de inicio del seno y coseno

Por qué está mal: El seno comienza en 00 (subiendo), mientras que el coseno comienza en su máximo 11. Ambos son sinusoides pero con diferentes puntos de inicio.

Correcto: Recuerda: cos⁡(0)=1\cos(0) = 1 (comienza en el máx), sin⁡(0)=0\sin(0) = 0 (comienza en cero)

Equivocarse en la dirección del desfase

Por qué está mal: La ecuación y=cos⁡(x−C)y = \cos(x - C) desplaza a la DERECHA por CC, no a la izquierda. El signo menos es contraintuitivo.

Correcto: y=cos⁡(x−C)y = \cos(x - C) desplaza a la DERECHA; y=cos⁡(x+C)y = \cos(x + C) desplaza a la IZQUIERDA

Olvidar dividir 2π2\pi entre BB para el período

Por qué está mal: Los estudiantes a veces piensan que y=cos⁡(2x)y = \cos(2x) tiene período 22, pero período =2πB= \frac{2\pi}{B}.

Correcto: Para y=cos⁡(Bx)y = \cos(Bx), período =2πB= \frac{2\pi}{B}, no BB

Visual interactivo

Gráfica de la función

-2π-π0π2π-4-2024xy(-4,71; 0)(-1,57; 0)(1,57; 0)(4,71; 0)(-3,14; -1)(0; 1)(3,14; -1)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

  • Amplitud = 1
  • Período = 2π
  • Desfase = 0
  • Línea media y = 0
y = A·cos(B(x − C)) + D
  • Cero (corte con el eje x): (-4,71; 0)
  • Cero (corte con el eje x): (-1,57; 0)
  • Cero (corte con el eje x): (1,57; 0)
  • Cero (corte con el eje x): (4,71; 0)
  • Mínimo: (-3,14; -1)
  • Máximo: (0; 1)
  • Mínimo: (3,14; -1)

Círculo unitario

Grados

0°

Radianes

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordenadas (cos, sin)

(1, 0)

Haz clic y arrastra para rotar el ángulo alrededor del círculo unitario.

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-3π-2π-π0π2π3π-4-2024xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

cos(x)

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Cuál es el valor de cos⁡(0)\cos(0)?

Por qué es importante

La función coseno modela innumerables fenómenos del mundo real:
  • Ondas sonoras: Las variaciones de presión en el sonido siguen patrones cosenoidales
  • Corriente alterna: La corriente eléctrica en tu hogar oscila como una onda coseno
  • Temperaturas estacionales: Las temperaturas promedio a lo largo del año siguen una curva coseno
  • Movimiento del péndulo: La posición horizontal de un péndulo oscilante sigue x=Acos⁡(ωt)x = A\cos(\omega t)
  • Ondas de luz: La radiación electromagnética puede modelarse usando funciones coseno
¡Entender las gráficas del coseno te ayuda a analizar cualquier fenómeno periódico!

Aplicaciones del mundo real

Modelando la temperatura diaria

La temperatura diaria sigue un patrón cosenoidal, con temperatura máxima en la tarde y mínima en la noche.

Ejemplo:

Si la temperatura promedio es 20 grados Celsius con una variación de 10 grados, y el máximo ocurre a las 3 PM, el modelo es: T(t)=20+10cos⁡(π12(t−15))T(t) = 20 + 10\cos\left(\frac{\pi}{12}(t - 15)\right) donde tt es horas después de medianoche.

1Inténtalo tú mismo

Una ciudad tiene temperatura promedio de 25 grados Celsius con variación de 8 grados. El máximo es a las 2 PM (14:00).

¿Cuál es la temperatura a medianoche (t = 0)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa T(t)=25+8cos⁡(π12(t−14))T(t) = 25 + 8\cos\left(\frac{\pi}{12}(t - 14)\right) y encuentra T(0)T(0):

Sonido y música

Las notas musicales son producidas por ondas sonoras que siguen patrones sinusoidales. La función coseno modela la variación de presión.

Ejemplo:

La nota La4 (440 Hz) puede modelarse como P(t)=Acos⁡(880πt)P(t) = A\cos(880\pi t) donde tt es el tiempo en segundos y AA es la amplitud.

2Inténtalo tú mismo

Una onda sonora está modelada por P(t)=2cos⁡(1000πt)P(t) = 2\cos(1000\pi t).

¿Cuál es la frecuencia de esta onda sonora?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa la fórmula: frecuencia =B2π= \frac{B}{2\pi} donde B=1000πB = 1000\pi:

Puntos clave

  • 1La función coseno y=cos⁡(x)y = \cos(x) crea una onda que comienza en su máximo cuando x=0x = 0
  • 2Propiedades básicas: amplitud =1= 1, período =2π= 2\pi, rango =[−1,1]= [-1, 1]
  • 3Para y=Acos⁡(Bx−C)+Dy = A\cos(Bx - C) + D: amplitud =∣A∣= |A|, período =2πB= \frac{2\pi}{B}, desfase =CB= \frac{C}{B}, desplazamiento vertical =D= D
  • 4El coseno es un desplazamiento horizontal del seno: cos⁡(x)=sin⁡(x+π2)\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

Preguntas frecuentes

El coseno y el seno tienen la misma forma pero diferentes puntos de inicio. El coseno comienza en su máximo (cos⁡(0)=1\cos(0) = 1), mientras que el seno comienza en cero (sin⁡(0)=0\sin(0) = 0). Matemáticamente, cos⁡(x)=sin⁡(x+π2)\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right).
El coseno y el seno tienen la misma forma pero diferentes puntos de inicio. El coseno comienza en su máximo (cos⁡(0)=1\cos(0) = 1), mientras que el seno comienza en cero (sin⁡(0)=0\sin(0) = 0). Matemáticamente, cos⁡(x)=sin⁡(x+π2)\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right).
El período es 2π2\pi porque el coseno se define usando el círculo unitario, y dar una vuelta completa al círculo (360 grados o 2π2\pi radianes) te regresa al punto de partida.
Una amplitud negativa como y=−2cos⁡(x)y = -2\cos(x) refleja la gráfica sobre el eje xx. La onda está invertida: comienza en −2-2 (mínimo) en lugar de 22 (máximo).

Glosario

Amplitud
La altura desde la línea media hasta el máximo (o mínimo). Para y=Acos⁡(x)y = A\cos(x), amplitud =∣A∣= |A|.
Período
La longitud horizontal de un ciclo completo. Para y=cos⁡(Bx)y = \cos(Bx), período =2πB= \frac{2\pi}{B}.
Desfase
Una traslación horizontal de la gráfica. Para y=cos⁡(x−C)y = \cos(x - C), el desplazamiento es CC unidades a la derecha.
Desplazamiento vertical
Mover toda la gráfica hacia arriba o abajo. Para y=cos⁡(x)+Dy = \cos(x) + D, la línea media se convierte en y=Dy = D.
Sinusoide
Una curva en forma de onda como el seno o el coseno.
Reto de hoyUn problema, tres intentos

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