Graficar la función seno

Aprende a graficar la función seno y a comprender sus propiedades clave como amplitud, período y fase.

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Definición

La función seno y=sin⁡(x)y = \sin(x) crea una curva suave y ondulada llamada onda sinusoidal. Oscila entre −1-1 y 11 y se repite cada 2π2\pi radianes (360 grados).
**Propiedades clave de y=sin⁡(x)y = \sin(x):**
PropiedadValor
Amplitud11 (altura desde el centro hasta el pico)
Período2π2\pi (un ciclo completo)
DominioTodos los números reales
Recorrido[−1,1][-1, 1]
Cerosx=nπx = n\pi donde nn es cualquier entero
**Puntos críticos en un período [0,2π][0, 2\pi]:**
sin⁡(0)=0(comienza en el origen)sin⁡(π2)=1(maˊximo)sin⁡(π)=0(cruza el eje x)sin⁡(3π2)=−1(mıˊnimo)sin⁡(2π)=0(ciclo completo)\begin{aligned} \sin(0) &= 0 \quad \text{(comienza en el origen)} \\ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) &= 1 \quad \text{(máximo)} \\ \sin(\pi) &= 0 \quad \text{(cruza el eje x)} \\ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) &= -1 \quad \text{(mínimo)} \\ \sin(2\pi) &= 0 \quad \text{(ciclo completo)} \end{aligned}

Pruébalo ahora

¿Cuál es la amplitud de y=sin⁡(x)y = \sin(x)?

Ejemplos resueltos

Grafica y=sin⁡(x)y = \sin(x) para 0≤x≤2π0 \leq x \leq 2\pi
1

Crea una tabla de valores clave

Identifica los cinco puntos clave: x=0,π2,π,3π2,2πx = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi → Valores x clave identificados
2

Calcula los valores y

sin⁡(0)=0\sin(0)=0, sin⁡(π2)=1\sin(\frac{\pi}{2})=1, sin⁡(π)=0\sin(\pi)=0, sin⁡(3π2)=−1\sin(\frac{3\pi}{2})=-1, sin⁡(2π)=0\sin(2\pi)=0 → Puntos: (0,0)(0,0), (π2,1)(\frac{\pi}{2},1), (π,0)(\pi,0), (3π2,−1)(\frac{3\pi}{2},-1), (2π,0)(2\pi,0)
3

Marca los puntos

Marca cada punto en el plano cartesiano → Cinco puntos marcados
4

Conecta con una curva suave

Dibuja una onda suave conectando todos los puntos → Una onda sinusoidal completa

Errores comunes

Confundir grados y radianes en el eje x

Por qué está mal: El gráfico sinusoidal estándar usa radianes. π≈3,14\pi \approx 3,14 radianes equivale a 180 grados.

Correcto: Siempre verifica si tu calculadora y gráfico están en el mismo modo. Para cálculo y matemáticas superiores, los radianes son estándar.

Equivocarse en la dirección del desfase

Por qué está mal: En y=sin⁡(x−c)y = \sin(x - c), el desplazamiento es hacia la DERECHA, no hacia la izquierda. El menos dentro crea un comportamiento opuesto.

Correcto: y=sin⁡(x−π2)y = \sin(x - \frac{\pi}{2}) desplaza hacia la DERECHA π2\frac{\pi}{2}. y=sin⁡(x+π2)y = \sin(x + \frac{\pi}{2}) desplaza hacia la IZQUIERDA π2\frac{\pi}{2}.

Confundir amplitud con recorrido

Por qué está mal: La amplitud es la distancia desde la línea media hasta el pico, no la altura total.

Correcto: Para y=3sin⁡(x)y = 3\sin(x), la amplitud es 3, pero la altura total (recorrido) es 6 (de −3-3 a 33).

Olvidar que el coeficiente de xx afecta el período, no la amplitud

Por qué está mal: En y=sin⁡(Bx)y = \sin(Bx), BB comprime o estira horizontalmente, cambiando el período.

Correcto: Período =2π∣B∣= \frac{2\pi}{|B|}. Mayor BB significa período más corto (oscilación más rápida).

Visual interactivo

Gráfica de la función

-2π-π0π2π-4-2024xy(-6,28; 0)(-3,14; 0)(0; 0)(3,14; 0)(6,28; 0)(-4,71; 1)(-1,57; -1)(1,57; 1)(4,71; -1)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

  • Amplitud = 1
  • Período = 2π
  • Desfase = 0
  • Línea media y = 0
y = A·sin(B(x − C)) + D
  • Cero (corte con el eje x): (-6,28; 0)
  • Cero (corte con el eje x): (-3,14; 0)
  • Cero (corte con el eje x): (0; 0)
  • Cero (corte con el eje x): (3,14; 0)
  • Cero (corte con el eje x): (6,28; 0)
  • Máximo: (-4,71; 1)
  • Mínimo: (-1,57; -1)
  • Máximo: (1,57; 1)
  • Mínimo: (4,71; -1)

Círculo unitario

Grados

0°

Radianes

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordenadas (cos, sin)

(1, 0)

Haz clic y arrastra para rotar el ángulo alrededor del círculo unitario.

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-3π-2π-π0π2π3π-4-2024xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

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sin(x)

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Cuál es la amplitud de y=sin⁡(x)y = \sin(x)?

Por qué es importante

La función seno está en todas partes en el mundo físico:
  • Ondas sonoras: La música y el habla viajan como ondas de presión sinusoidales
  • Electricidad: La corriente alterna (CA) sigue un patrón de onda sinusoidal
  • Mareas: El ascenso y descenso de las mareas puede modelarse con funciones seno
  • Péndulos: Un péndulo oscilante traza una curva sinusoidal con el tiempo
  • Estaciones: Las variaciones de temperatura a lo largo del año siguen un patrón sinusoidal
Ingenieros, físicos y músicos dependen de la comprensión de las ondas sinusoidales para diseñar de todo, desde puentes hasta sintetizadores.

Aplicaciones del mundo real

Ondas sonoras y música

Los tonos musicales puros son ondas sinusoidales. Un diapasón vibra a 440 Hz (nota La), creando una onda sinusoidal en la presión del aire.

Ejemplo:

La ecuación y=sin⁡(880πt)y = \sin(880\pi t) modela una onda sonora de 440 Hz, donde tt es el tiempo en segundos.

1Inténtalo tú mismo

Una cuerda de guitarra produce una nota a 330 Hz.

¿Cuál es el período de esta onda sonora en segundos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa Período =1frecuencia= \frac{1}{\text{frecuencia}}:

Ingeniería eléctrica - Corriente alterna

La electricidad doméstica usa corriente alterna que sigue un patrón de onda sinusoidal.

Ejemplo:

Los enchufes europeos proporcionan 230V a 50 Hz: V(t)=325sin⁡(100πt)V(t) = 325\sin(100\pi t) donde el voltaje pico es aproximadamente 325V.

2Inténtalo tú mismo

La electricidad estadounidense opera a 60 Hz con voltaje pico de 170V.

Escribe la ecuación para el voltaje doméstico estadounidense.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa V(t)=Asin⁡(2πf⋅t)V(t) = A\sin(2\pi f \cdot t) donde AA es el voltaje pico y ff es la frecuencia:

Mareas oceánicas

Las alturas de las mareas siguen un patrón aproximadamente sinusoidal debido a la atracción gravitacional de la luna.

Ejemplo:

Si la marea alta es a las 6:00 con una altura de 3 metros y la marea baja es a las 12:00 con una altura de 1 metro, la marea puede modelarse con una función seno.

3Inténtalo tú mismo

Un puerto tiene marea alta de 4 metros a medianoche y marea baja de 0 metros 6 horas después.

¿Cuál es el período de esta función de marea, en horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

El período es el doble del tiempo entre la marea alta y la marea baja:

Puntos clave

  • 1La función seno y=sin⁡(x)y = \sin(x) crea una onda suave que oscila entre −1-1 y 11
  • 2Los puntos clave ocurren en x=0,π2,π,3π2,2πx = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi (valores: 0,1,0,−1,00, 1, 0, -1, 0)
  • 3El período de la función seno básica es 2π2\pi (un ciclo completo)
  • 4En y=Asin⁡(Bx−C)+Dy = A\sin(Bx - C) + D: ∣A∣|A| = amplitud, 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|} = período, CB\frac{C}{B} = desfase, DD = traslación vertical
  • 5La amplitud es la distancia desde la línea media hasta el pico, no la altura total

Preguntas frecuentes

En el círculo unitario, el seno representa la coordenada y. En el ángulo 0 (apuntando hacia la derecha en el eje x), la coordenada y es 0. Por eso sin⁡(0)=0\sin(0) = 0.
En el círculo unitario, el seno representa la coordenada y. En el ángulo 0 (apuntando hacia la derecha en el eje x), la coordenada y es 0. Por eso sin⁡(0)=0\sin(0) = 0.
El gráfico del coseno tiene la misma forma que el seno, pero desplazado hacia la izquierda π2\frac{\pi}{2}. De hecho, cos⁡(x)=sin⁡(x+π2)\cos(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2}). El coseno comienza en su máximo (1) mientras que el seno comienza en 0.
Un coeficiente negativo refleja el gráfico respecto al eje x. La amplitud sigue siendo ∣−2∣=2|-2| = 2. La onda que normalmente sube primero ahora baja primero: los máximos pasan a ser mínimos y los mínimos, máximos.

Glosario

Amplitud
La distancia desde la línea media hasta el máximo (o mínimo) de la onda. Para y=Asin⁡(x)y = A\sin(x), la amplitud es ∣A∣|A|.
Período
La longitud horizontal de un ciclo completo. Para y=sin⁡(Bx)y = \sin(Bx), el período es 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|}.
Desfase
Una traslación horizontal del gráfico. En y=sin⁡(x−C)y = \sin(x - C), el desfase es CC unidades hacia la derecha.
Línea media
La línea horizontal a mitad de camino entre los valores máximo y mínimo. Para y=sin⁡(x)+Dy = \sin(x) + D, la línea media es y=Dy = D.
Sinusoidal
Que tiene la forma de una curva sinusoidal; cualquier función que pueda escribirse como una función seno o coseno transformada.

Tarjeta de fórmulas

Forma general

y=Asin⁡(Bx−C)+Dy = A\sin(Bx - C) + D

Fórmula completa de transformación del seno

Amplitud

∣A∣|A|

Altura desde la línea media hasta el pico

Período

2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|}

Longitud de un ciclo completo

Desfase

CB\frac{C}{B}

Desplazamiento horizontal (a la derecha si es positivo); en la forma $y = A\sin(B(x - h)) + D$ es simplemente $h$

Traslación vertical

DD

Mueve la línea media hacia arriba o abajo

Puntos clave

(0,0),(π2,1),(π,0),(3π2,−1),(2π,0)(0,0), (\frac{\pi}{2},1), (\pi,0), (\frac{3\pi}{2},-1), (2\pi,0)

Cinco puntos críticos para un ciclo

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