Desfase

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cómo está desplazada la gráfica de $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ respecto a $y = \sin(x)$ ?
1. a) $\frac{\pi}{6}$ hacia arriba
2. b) $\frac{\pi}{6}$ a la derecha
3. c) $\frac{\pi}{6}$ a la izquierda
4. d) $6$ a la derecha
Respuesta: $\frac{\pi}{6}$ a la derecha
$y = \sin(x - C)$ con $C = \frac{\pi}{6} > 0$ mueve la gráfica $\frac{\pi}{6}$ a la derecha. El número $6$ no es el desplazamiento, y un desplazamiento hacia arriba sería un número sumado fuera del seno.
2.
¿Qué ecuación es $y = \cos(x)$ desplazada $\frac{\pi}{4}$ a la izquierda?
1. a) $y = \cos(x) - \frac{\pi}{4}$
2. b) $y = \cos(x) + \frac{\pi}{4}$
3. c) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$
4. d) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$
Respuesta: $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$
Izquierda significa $C = -\frac{\pi}{4}$ , así que $\cos\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ . Sumar o restar $\frac{\pi}{4}$ fuera del coseno mueve la gráfica hacia arriba o hacia abajo.
3.
¿Cuál es el desfase de $y = \sin(3x - \pi)$ ?
1. a) $\frac{\pi}{3}$ a la izquierda
2. b) $\pi$ a la derecha
3. c) $3\pi$ a la derecha
4. d) $\frac{\pi}{3}$ a la derecha
Respuesta: $\frac{\pi}{3}$ a la derecha
$3x - \pi = 3\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ , así que $C = \frac{\pi}{3}$ : la gráfica se mueve $\frac{\pi}{3}$ a la derecha. El desplazamiento es $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{3}$ , no $\pi$ .
4.
¿Qué ecuación tiene exactamente la misma gráfica que $y = \cos(x)$ ?
1. a) $y = \sin(x + \pi)$
2. b) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
3. c) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
4. d) $y = \sin(x - \pi)$
Respuesta: $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
El coseno es el seno desplazado $\frac{\pi}{2}$ a la izquierda: $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(x)$ . En $x = 0$ las otras opciones dan $-1$ , $0$ y $0$ .
5.
Una curva senoidal tiene período $\pi$ y empieza un ciclo (subiendo por su línea media) en $x = \frac{\pi}{3}$ . ¿Qué ecuación encaja?
1. a) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
2. b) $y = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$
3. c) $y = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$
4. d) $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$
Respuesta: $y = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$
El período $\pi$ da $B = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ , y el inicio da $C = \frac{\pi}{3}$ . Así que $y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right) = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$ . La opción $\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ empieza solo en $\frac{\pi}{6}$ .
6.
En $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{5}\right)$ , ¿cuál es el desfase $C$ ? (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.)
Respuesta: pi/5
$x - \frac{\pi}{5}$ es $x - C$ con $C = \frac{\pi}{5}$ : un desplazamiento de $\frac{\pi}{5}$ a la derecha.
7.
En $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ , ¿cuál es el desfase $C$ ? Da un número negativo para un desplazamiento a la izquierda. (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo -3pi/4.)
Respuesta: -pi/2
$x + \frac{\pi}{2} = x - \left(-\frac{\pi}{2}\right)$ , así que $C = -\frac{\pi}{2}$ : el coseno se mueve $\frac{\pi}{2}$ a la izquierda.
8.
¿Cuál es el desfase $C$ de $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ ? (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.)
Respuesta: pi/6
$2x - \frac{\pi}{3} = 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ , así que $C = \frac{\pi}{6}$ a la derecha, no $\frac{\pi}{3}$ .
9.
¿Cuál es el desfase $C$ de $y = \cos(4x + \pi)$ ? Da un número negativo para un desplazamiento a la izquierda. (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo -3pi/4.)
Respuesta: -pi/4
$4x + \pi = 4\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 4\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ , así que $C = -\frac{\pi}{4}$ : $\frac{\pi}{4}$ a la izquierda.
10.
¿Cuál es el desfase $C$ de $y = \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ ? (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.)
Respuesta: pi/2
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ , así que $C = \frac{\pi/4}{1/2} = \frac{\pi}{2}$ a la derecha. Aquí el desplazamiento es mayor que $c$ porque $B < 1$ .
11.
Para $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ , halla dónde empieza el primer ciclo y dónde está su máximo. (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.)
Respuesta: 5pi/6
1. ¿Cuál es el desfase $C$ ? pi/3
2. ¿En qué $x$ empieza el primer ciclo? pi/3
3. $\sin(x)$ tiene su máximo en $\frac{\pi}{2}$ . ¿En qué $x$ está el nuevo máximo? 5pi/6
12.
Para $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ , halla el desfase y la nueva posición del máximo que $\cos(x)$ tiene en $x = 0$ . (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo -3pi/4.)
Respuesta: -pi/6
1. Escribe $x + \frac{\pi}{6}$ como $x - C$ . ¿Cuánto vale $C$ ? -pi/6
2. ¿En qué $x$ está el nuevo máximo? -pi/6
3. ¿Cuál es el valor máximo $y$ ? 1
13.
Para $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ , halla el desfase, el período y dónde termina el primer ciclo. (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.)
Respuesta: 5pi/4
1. ¿Cuánto vale $B$ ? 2
2. Factoriza: $2x - \frac{\pi}{2} = 2(x - C)$ . ¿Cuánto vale $C$ ? pi/4
3. ¿Cuál es el período? pi
4. El ciclo empieza en $x = C$ . ¿En qué $x$ termina? 5pi/4
14.
Para $y = \cos\left(3x + \frac{\pi}{2}\right)$ , halla el desfase y el período. (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo -3pi/4.)
Respuesta: 2pi/3
1. ¿Cuánto vale $B$ ? 3
2. Divide: ¿cuánto es $\frac{\pi}{2} \div 3$ ? pi/6
3. ¿Cuál es el desfase $C$ ? (Negativo para la izquierda.) -pi/6
4. ¿Cuál es el período? 2pi/3
15.
Halla $c$ para que $y = \sin(2x - c)$ sea la gráfica de $y = \sin(2x)$ desplazada $\frac{\pi}{6}$ a la derecha. (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.)
Respuesta: pi/3
1. ¿Cuál es el desfase $C$ ? pi/6
2. ¿Cuánto vale $B$ ? 2
3. $\sin(2(x - C)) = \sin(2x - 2C)$ . ¿Cuánto vale $c = 2C$ ? pi/3
16.
Halla $C$ con $-\pi \le C \le \pi$ tal que $\sin(x - C) = \cos(x)$ para todo $x$ . (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo -3pi/4.)
Respuesta: -pi/2
1. ¿En qué $x$ tiene $\cos(x)$ un máximo (el más cercano a $0$ )? 0
2. ¿En qué $x$ tiene $\sin(x)$ su primer máximo positivo? pi/2
3. El pico del seno debe ir de $\frac{\pi}{2}$ a $0$ . ¿Cuánto vale $C$ ? (Negativo para la izquierda.) -pi/2
4. Comprobación: ¿cuánto vale $\sin\left(0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$ ? 1
17.
La altura de una cabina de una noria sobre el eje es $h(t) = 10\sin\left(\frac{\pi}{15}(t - 5)\right)$ metros, con $t$ en segundos. ¿En qué momento $t$ llega la cabina por primera vez a su punto más alto después de $t = 0$ ?
Respuesta: 12.5
1. ¿Cuál es el desfase $C$ en segundos? 5
2. ¿Cuál es el período en segundos? 30
3. ¿Cuánto es un cuarto del período? 7.5
4. ¿En qué momento $t$ está la cabina arriba? 12.5
18.
Demuestra que $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ y $y = \sin\left(x + \frac{7\pi}{4}\right)$ tienen la misma gráfica: ¿en cuántos períodos completos se diferencian sus desplazamientos? (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo -3pi/4.)
Respuesta: 1
1. ¿Cuál es el desplazamiento $C_1$ de $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ ? pi/4
2. ¿Cuál es el desplazamiento $C_2$ de $\sin\left(x + \frac{7\pi}{4}\right)$ ? -7pi/4
3. ¿Cuánto vale $C_1 - C_2$ ? 2pi
4. El período de $\sin(x)$ es $2\pi$ . ¿Cuántos períodos completos son? 1