Guía del profesor: Desfase

Aprende cómo un desfase desplaza las gráficas del seno y el coseno a la izquierda o a la derecha, por qué un signo menos significa derecha y cómo hallar el desplazamiento en sin(Bx - c).

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Gráficas trigonométricas. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Identificar el desfase $C$ y su sentido en $y = \sin(B(x - C))$ y $y = \cos(B(x - C))$
Factorizar $Bx - c$ como $B\left(x - \frac{c}{B}\right)$ y hallar el desfase $\frac{c}{B}$
Distinguir el efecto de $B$ (período) del efecto de $C$ (desplazamiento)
Hallar dónde empieza y termina un ciclo de una gráfica desplazada
Escribir el coseno como un seno desplazado y al revés

Requisitos previos

• Graficar la función seno $y = \sin(x)$ (lección Graficar la función seno)
• Graficar la función coseno $y = \cos(x)$ (lección Graficando la función coseno)
• Amplitud y período, incluido el período $\frac{2\pi}{|B|}$ (lección Amplitud y período)
• Radianes y fracciones de $\pi$
• Sacar factor común en una expresión

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué $\sin(x - 1)$ se mueve a la derecha aunque haya un signo menos?
2. Si dos amigos empiezan la misma vuelta corriendo en momentos distintos, ¿en qué se parece eso a un desfase?
3. ¿ $\sin(2x - \pi)$ está desplazada $\pi$ o $\frac{\pi}{2}$ ? ¿Cómo convencerías a alguien que no está de acuerdo?
4. ¿Cuántos desplazamientos distintos convierten un seno en un coseno? ¿Por qué hay tantos?

Conceptos erróneos comunes

El signo indica directamente el sentido: menos significa izquierda

Remediación: Haz una tabla de valores de $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ : el valor $1$ que $\sin(x)$ tiene en $\frac{\pi}{2}$ aparece solo en $x = \pi$ . La curva llega más tarde, así que se movió a la derecha.

El desplazamiento de $\sin(Bx - c)$ es $c$

Remediación: Representa juntas $\sin(2x - \pi)$ y $\sin(2(x - \pi))$ . Son distintas, y solo la forma factorizada muestra el desplazamiento real $\frac{\pi}{2}$ .

El seno y el coseno son funciones totalmente distintas

Remediación: Usa la actividad del objetivo: los alumnos mueven un seno hasta cubrir un coseno y descubren $C = -\frac{\pi}{2}$ .

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar solo con $B = 1$ y desplazamientos como $\frac{\pi}{2}$ y $\pi$
• Seguir un único punto especial (el inicio del ciclo) en lugar de toda la curva
• Decir la regla en voz alta: menos significa derecha, más significa izquierda

Para estudiantes de nivel:

• Factorizar $Bx - c$ y hallar el desplazamiento $\frac{c}{B}$
• Hallar el inicio y el fin de un ciclo en gráficas desplazadas
• Relacionar ecuaciones con gráficas desplazadas

Para estudiantes avanzados:

• Hallar todos los desplazamientos entre $-2\pi$ y $2\pi$ que convierten $\sin(x)$ en $\cos(x)$
• Modelar la hora de la pleamar o el día más caluroso con un desfase
• Explicar por qué $\sin(x - \pi) = -\sin(x)$ y cómo lo usa la cancelación de ruido

Alineación con estándares

HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Identificar el efecto sobre la gráfica de sustituir f(x) por f(x + k), k f(x), f(kx) y f(x) + k para valores concretos de k
HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Elegir funciones trigonométricas para modelar fenómenos periódicos con amplitud, frecuencia y línea media dadas
HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Representar funciones trigonométricas mostrando el período, la línea media y la amplitud

Recursos de la lección

visualComparar sin(x) y sin(x - C)
Mueve el deslizador C y observa cómo la segunda curva se desliza a la izquierda o a la derecha mientras su forma sigue igual
gameAlcanza el objetivo
Ajusta B y C hasta que la curva cubra un objetivo discontinuo, incluido un coseno alcanzado con un seno desplazado
visualLa trampa de c/B
Cambia c y B en sin(Bx - c) y lee el desplazamiento real c/B
worksheetPráctica de desfase
Ecuaciones para leer, factorizar y esbozar, con el inicio y el fin de un ciclo

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un desfase (o traslación horizontal) mueve una gráfica del seno o del coseno hacia la izquierda o hacia la derecha sin cambiar su forma. En la forma

y = \sin(B(x - C)) \quad \text{o} \quad y = \cos(B(x - C))

el **desfase es

C

**:

$C > 0$ : la gráfica se mueve $C$ unidades hacia la derecha
$C < 0$ : la gráfica se mueve $|C|$ unidades hacia la izquierda

¿Por qué un signo menos significa derecha? El seno normal empieza un ciclo donde su argumento vale

0

. En

\sin(x - C)

el argumento es

x - C

, que vale

0

x = C

. Así que cada punto de la curva llega

C

unidades más tarde, es decir, más a la derecha. Por ejemplo,

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

y = \sin(x)

desplazada

\frac{\pi}{3}

a la derecha, y

y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)

está desplazada

\frac{\pi}{4}

a la izquierda.

Cuidado: primero saca factor común $B$

Cuando la ecuación está escrita como

y = \sin(Bx - c)

, el desplazamiento no es

c

. Saca factor común

B

\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right) \quad \Rightarrow \quad \text{desfase} = \frac{c}{B}

Ejemplo:

\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)

está desplazada

\frac{\pi}{4}

a la derecha, no

\frac{\pi}{2}

Desplazamiento y período son cosas distintas

	Qué cambia	Fórmula
$B$	el ancho de un ciclo	período $= \frac{2\pi}{	B	}$
$C$	dónde empieza el ciclo	desplazamiento $= C$

Un ciclo de

y = \sin(B(x - C))

empieza en

x = C

y termina en

x = C + \frac{2\pi}{B}

. Desplazar un período completo da otra vez la misma gráfica:

\sin(x - 2\pi) = \sin(x)

El seno y el coseno son desplazamientos el uno del otro

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \qquad \sin(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

El coseno es un seno desplazado

\frac{\pi}{2}

a la izquierda. En la forma completa

y = A\sin(B(x - C)) + D

A

B

vienen de la lección de amplitud y período,

C

es esta lección y

D

(la traslación vertical) viene después.

Ejemplos resueltos

Describe la gráfica de

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)

comparada con

y = \sin(x)

. ¿Dónde empieza el primer ciclo y dónde está su máximo?

Compara con $y = \sin(B(x - C))$

x - \frac{\pi}{4}

ya tiene la forma

1 \cdot (x - C)

→

B = 1

C = \frac{\pi}{4}

Lee el sentido

C

es positivo → Desplazamiento de

\frac{\pi}{4}

a la derecha

Halla el inicio del ciclo

El argumento vale

0

cuando

x - \frac{\pi}{4} = 0

→ El ciclo empieza en

x = \frac{\pi}{4}

Mueve el máximo

\sin(x)

tiene su máximo en

\frac{\pi}{2}

, así que suma

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}

→ Máximo en

x = \frac{3\pi}{4}

Respuesta: La gráfica es $y = \sin(x)$ desplazada $\frac{\pi}{4}$ a la derecha. El primer ciclo empieza en $x = \frac{\pi}{4}$ y su máximo $1$ está en $x = \frac{3\pi}{4}$ .

Errores comunes

Leer $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ como un desplazamiento a la izquierda

Por qué está mal: El signo menos parece apuntar a la izquierda, como en la recta numérica. Pero la curva alcanza cada valor más tarde, cuando $x - \frac{\pi}{3}$ vale lo que antes valía $x$ .

Correcto: Un menos dentro del paréntesis significa derecha: $\sin(x - C)$ se mueve $C$ a la derecha y $\sin(x + C)$ se mueve $C$ a la izquierda.

Decir que el desplazamiento de $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ es $\frac{\pi}{2}$

Por qué está mal: El número $\frac{\pi}{2}$ se resta de $2x$ , no de $x$ . El desplazamiento corresponde solo a $x$ .

Correcto: Saca factor común $B$ : $\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$ . El desplazamiento es $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{4}$ a la derecha.

Pensar que un desfase cambia el período o la altura

Por qué está mal: Mover una gráfica de lado no la estira. Solo $B$ cambia el período y solo $A$ cambia la amplitud.

Correcto: Después de un desfase la curva tiene la misma forma, el mismo período y la misma amplitud. Solo cambia el lugar donde empieza cada ciclo.

Pensar que $y = \sin(x - 2\pi)$ es una gráfica distinta de $y = \sin(x)$

Por qué está mal: El seno se repite cada $2\pi$ , así que moverlo un período completo coloca cada onda exactamente sobre la siguiente.

Correcto: Desplazamientos que se diferencian en un período completo dan la misma gráfica: $\sin(x - 2\pi) = \sin(x)$ y $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$ .

Por qué es importante

Un desfase te dice cuándo ocurre un fenómeno que se repite, no solo lo grande o lo rápido que es:

Mareas: dos puertos tienen mareas con el mismo período, pero la pleamar llega a horas distintas. La diferencia es un desfase.
Electricidad: los tres cables de una línea trifásica llevan la misma onda senoidal, desplazada cada vez un tercio de período.
Auriculares con cancelación de ruido: reproducen el ruido desplazado medio período, y las dos ondas se anulan.
Estaciones: el día más caluroso del año llega aproximadamente un mes después del día más largo. La curva de temperatura es la curva de horas de luz con un desfase.
Música y sonido: dos altavoces que emiten el mismo tono desfasados pueden debilitar el sonido en algunos lugares.

Leer bien el desfase (sentido y tamaño) es lo que te permite predecir el siguiente máximo.

Aplicaciones del mundo real

Predecir la pleamar

En los puertos se modela el nivel del agua con un seno desplazado. El desfase indica cuándo el agua pasa por el nivel medio, y a partir de ahí se halla la pleamar.

Ejemplo:

Si el nivel del agua es $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ metros sobre el nivel medio, con $t$ en horas después de medianoche, el agua sube por el nivel medio en $t = 2$ , a las 2:00.

1Inténtalo tú mismo

El nivel del agua en un puerto es $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ metros sobre el nivel medio, donde $t$ es el tiempo en horas después de medianoche.

¿En qué momento $t$ (en horas después de medianoche) es la primera pleamar?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Inicio del ciclo más un cuarto del período:

Corriente alterna

Las redes eléctricas de Europa funcionan a 50 Hz. Dos tensiones con la misma frecuencia pueden estar desfasadas, y los ingenieros miden esa diferencia como un desfase en segundos.

Ejemplo:

La tensión $V_1 = \sin(100\pi t)$ tiene período $\frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50}$ de segundo. Una segunda tensión $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ alcanza cada máximo un poco más tarde.

2Inténtalo tú mismo

Dos tensiones son $V_1 = \sin(100\pi t)$ y $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ , con $t$ en segundos.

¿Cuántos segundos está desplazada $V_2$ a la derecha respecto a $V_1$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Divide $c$ entre $B$ :

Auriculares con cancelación de ruido

Un micrófono capta el ruido y los auriculares reproducen la misma onda desplazada medio período. Donde el ruido sube, la copia baja, y las dos se anulan.

Ejemplo:

Para el ruido $y = \sin(x)$ la copia es $y = \sin(x - \pi)$ , que es igual a $-\sin(x)$ . Su suma es $0$ en todas partes.

3Inténtalo tú mismo

Un ruido se modela con $y = \sin(2x)$ . Los auriculares reproducen $y = \sin(2(x - C))$ .

¿Qué desplazamiento $C$ , entre $0$ y un período, hace que la copia sea exactamente la opuesta del ruido?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

La mitad del período:

Puntos clave

1En $y = \sin(B(x - C))$ y $y = \cos(B(x - C))$ el desfase es $C$
2Un menos dentro del paréntesis significa derecha y un más significa izquierda: $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ se mueve $\frac{\pi}{4}$ a la izquierda
3Para $\sin(Bx - c)$ saca primero factor común $B$ : el desplazamiento es $\frac{c}{B}$ , no $c$
4El período $\frac{2\pi}{|B|}$ y la amplitud no cambian cuando la gráfica se desplaza
5Un ciclo empieza en $x = C$ y termina en $x = C + \frac{2\pi}{B}$ ; desplazar un período completo da la misma gráfica
6El coseno es un seno desplazado: $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Preguntas frecuentes

¿Por qué se llama desfase?

La fase es la posición dentro de un ciclo (inicio, pico, cero, valle). Un desfase mueve cada punto del ciclo la misma cantidad, así que toda la onda empieza antes o después.

¿El desfase de $\sin(2x - \pi)$ es $\pi$ o $\frac{\pi}{2}$ ?

\frac{\pi}{2}

a la derecha. Saca factor común

2

\sin(2x - \pi) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)

. Algunos libros llaman a

\pi

la fase inicial, pero la gráfica se mueve

\frac{\pi}{2}

sobre el eje

x

¿Puede una gráfica tener más de un desfase correcto?

Sí. Sumar o restar un período completo da la misma gráfica, así que

\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

\sin\left(x + \frac{5\pi}{3}\right)

son idénticas. Normalmente se da el desplazamiento de menor tamaño.

¿Importa el orden entre estirar y desplazar?

Sí.

\sin(2(x - 1))

\sin(2x - 1)

son distintas: la primera está desplazada

1

a la derecha y la segunda solo

\frac{1}{2}

. Escribir la función como

\sin(B(x - C))

evita la confusión.

Glosario

Desfase: La traslación horizontal de una gráfica del seno o del coseno; es igual a $C$ en $y = \sin(B(x - C))$
Traslación horizontal: Mover toda una gráfica a la izquierda o a la derecha sin cambiar su forma
Fase: La posición dentro de un ciclo de una onda, como el inicio, el pico o el valle
Período: La longitud de un ciclo completo; es igual a $\frac{2\pi}{|B|}$
Forma factorizada: Escribir el argumento de la función como $B(x - C)$ para poder leer directamente el desplazamiento $C$

Tarjeta de fórmulas

Seno y coseno desplazados

y = \sin(B(x - C))

y = \cos(B(x - C))

Desfase $C$: a la derecha si $C > 0$, a la izquierda si $C < 0$

Desplazamiento desde la forma desarrollada

\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right)

El desfase es $\frac{c}{B}$

Un ciclo

C \le x \le C + \frac{2\pi}{B}

Dónde empieza y dónde termina un ciclo completo de la gráfica desplazada

Seno y coseno

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

El coseno es el seno desplazado $\frac{\pi}{2}$ a la izquierda

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

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Definición

Cuidado: primero saca factor común BBB

Desplazamiento y período son cosas distintas

El seno y el coseno son desplazamientos el uno del otro

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Predecir la pleamar

Corriente alterna

Auriculares con cancelación de ruido

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Seno y coseno desplazados

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