Transformaciones de gráficas trigonométricas

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuál es la amplitud de $y = -4\sin(2x) + 1$ ?
1. a) $5$
2. b) $-4$
3. c) $2$
4. d) $4$
Respuesta: $4$
$A = -4$ , así que la amplitud es $|-4| = 4$ . El signo menos solo refleja la onda respecto a su línea media.
2.
¿Cuál es el período de $y = 3\cos(4x) - 2$ ? (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.)
Respuesta: pi/2
$B = 4$ , así que el período es $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ . $A = 3$ y $D = -2$ no cambian el período.
3.
¿Cómo está trasladada la gráfica de $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ respecto a $y = \cos(x)$ ?
1. a) $\frac{\pi}{3}$ hacia abajo
2. b) $\frac{\pi}{3}$ a la derecha
3. c) $\frac{\pi}{3}$ a la izquierda
4. d) $\frac{\pi}{3}$ hacia arriba
Respuesta: $\frac{\pi}{3}$ a la izquierda
$x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$ , así que $C = -\frac{\pi}{3}$ : la gráfica se mueve $\frac{\pi}{3}$ a la izquierda. Un desplazamiento dentro del paréntesis nunca es vertical.
4.
La línea media de $y = 2\sin(x - \pi) + 5$ es la recta $y = D$ . ¿Cuánto vale $D$ ?
Respuesta: 5
La traslación vertical es $D = 5$ , así que la línea media es $y = 5$ y la onda va de $5 - 2 = 3$ a $5 + 2 = 7$ .
5.
Halla el máximo y el mínimo de $y = 3\sin(x) + 2$ .
Respuesta: 5, -1
1. ¿Cuál es la amplitud $|A|$ ? 3
2. ¿Cuál es el valor de la línea media $D$ ? 2
3. ¿Cuál es el máximo $D + |A|$ ? 5
4. ¿Cuál es el mínimo $D - |A|$ ? -1
6.
Para $y = \sin(4x)$ , halla el período, el paso de los puntos clave y el valor de x del primer máximo después de $x = 0$ . (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.)
Respuesta: pi/8
1. ¿Cuál es el período $\frac{2\pi}{B}$ ? pi/2
2. ¿Cuál es el paso $\frac{\text{período}}{4}$ ? pi/8
3. ¿En qué x está el primer máximo? pi/8
7.
¿Cuál es el desfase de $y = \sin(2x - \frac{\pi}{2})$ ?
1. a) $\frac{\pi}{4}$ a la izquierda
2. b) $\frac{\pi}{4}$ a la derecha
3. c) $\frac{\pi}{2}$ a la derecha
4. d) $\pi$ a la derecha
Respuesta: $\frac{\pi}{4}$ a la derecha
$2x - \frac{\pi}{2} = 2(x - \frac{\pi}{4})$ , así que $C = \frac{\pi}{4}$ : un desplazamiento de $\frac{\pi}{4}$ a la derecha, no de $\frac{\pi}{2}$ .
8.
Para $y = -2\cos(x) + 3$ , halla la amplitud, el máximo, el mínimo y el valor de y en $x = 0$ .
Respuesta: 1
1. ¿Cuál es la amplitud? 2
2. ¿Cuál es el máximo $D + |A|$ ? 5
3. ¿Cuál es el mínimo $D - |A|$ ? 1
4. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 0$ ? 1
9.
Los puntos clave de $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{6}))$ empiezan en $x = \frac{\pi}{6}$ . ¿Cuál es el valor de x del máximo (el segundo punto clave)? (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.)
Respuesta: 5pi/12
Período $\frac{2\pi}{2} = \pi$ , paso $\frac{\pi}{4}$ . Máximo en $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$ .
10.
Usa los puntos clave de $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{2}) - 1$ para hallar su primer máximo y su valor mínimo. (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.)
Respuesta: -4
1. ¿Dónde empieza el ciclo ( $x = C$ )? pi/2
2. ¿Cuál es el paso (período dividido entre 4)? pi/2
3. ¿En qué x está el primer máximo? pi
4. ¿Cuál es el valor máximo? 2
5. ¿Cuál es el valor mínimo? -4
11.
Escribe $y = \cos(3x + \pi)$ en la forma $y = \cos(B(x - C))$ y halla el desfase y el período. (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo -3pi/4.)
Respuesta: 2pi/3
1. ¿Cuánto vale $B$ ? 3
2. ¿Cuánto vale $C$ ? (un valor negativo significa un desplazamiento a la izquierda) -pi/3
3. ¿Cuál es el período? 2pi/3
12.
¿Qué ecuación tiene amplitud $2$ , período $\pi$ y línea media $y = -1$ ?
1. a) $y = 2\sin(\frac{1}{2}x) - 1$
2. b) $y = 2\sin(\pi x) - 1$
3. c) $y = 2\sin(2x) - 1$
4. d) $y = -\sin(2x) + 2$
Respuesta: $y = 2\sin(2x) - 1$
$\frac{2\pi}{B} = \pi$ da $B = 2$ , con $A = 2$ y $D = -1$ : $y = 2\sin(2x) - 1$ . $\sin(\pi x)$ tiene período $2$ y $\sin(\frac{1}{2}x)$ tiene período $4\pi$ .
13.
Halla los valores de y de los puntos clave de $y = -2\sin(x) + 1$ en $x = 0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ y $\frac{3\pi}{2}$ .
Respuesta: 3
1. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 0$ ? 1
2. ¿Cuánto vale $y$ en $x = \frac{\pi}{2}$ ? -1
3. ¿Cuánto vale $y$ en $x = \pi$ ? 1
4. ¿Cuánto vale $y$ en $x = \frac{3\pi}{2}$ ? 3
14.
Representa $y = 4\cos(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2})) - 1$ con puntos clave: halla el período, el paso, el valor de x del mínimo y el valor mínimo. (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.)
Respuesta: -5
1. ¿Cuál es el período? 4pi
2. ¿Cuál es el paso? pi
3. El ciclo empieza en $x = \frac{\pi}{2}$ . ¿En qué x está el mínimo (dos pasos después)? 5pi/2
4. ¿Cuál es el valor mínimo? -5
15.
Para $y = 3\sin(2x + \frac{\pi}{3}) + 1$ , halla dónde empieza el ciclo, el paso y el primer máximo. (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo -3pi/4.)
Respuesta: 4
1. ¿En qué x empieza el ciclo ( $C$ )? -pi/6
2. ¿Cuál es el paso? pi/4
3. ¿En qué x está el primer máximo? pi/12
4. ¿Cuál es el valor máximo? 4
16.
Para $y = -3\sin(\frac{\pi}{4}(x - 1)) + 2$ , ¿cuál es el valor de x del primer mínimo a la derecha de $x = 1$ ?
Respuesta: 3
Período $8$ , paso $2$ , inicio $x = 1$ . El seno está reflejado ( $A = -3$ ), así que el patrón es línea media, mínimo, ...: el primer mínimo está en $x = 1 + 2 = 3$ , donde $y = -3\sin(\frac{\pi}{2}) + 2 = -1$ .
17.
La gráfica de $y = \sin(x)$ se traslada primero $\frac{\pi}{2}$ a la derecha y DESPUÉS se comprime horizontalmente por el factor $2$ . ¿Qué ecuación resulta?
1. a) $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$
2. b) $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$
3. c) $y = \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}))$
4. d) $y = \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2})$
Respuesta: $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$
Tras la traslación: $\sin(x - \frac{\pi}{2})$ . Comprimir sustituye $x$ por $2x$ : $\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$ . La compresión también reduce el desplazamiento a la mitad.
18.
¿Cuál es el valor de $y = 5\cos(2(x + \frac{\pi}{8})) - 2$ en $x = \frac{\pi}{8}$ ?
Respuesta: -2
$x = \frac{\pi}{8} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}$ es el segundo punto clave; en el coseno está sobre la línea media, así que $y = D = -2$ . Directamente: $5\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - 2 = 5\cos(\frac{\pi}{2}) - 2 = 0 - 2 = -2$ .