Guía del profesor: Transformaciones de gráficas trigonométricas

Representa cualquier función seno o coseno de la forma y = A sin(B(x - C)) + D: qué hace cada parámetro, el orden correcto de las transformaciones y el método de los cinco puntos clave.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Gráficas trigonométricas. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Identificar amplitud, período, desfase y línea media en $y = A\sin(B(x - C)) + D$ y en la forma del coseno
Sacar $B$ factor común para hallar el desfase correcto
Aplicar las transformaciones en el orden correcto: primero estirar, después trasladar
Representar un seno o coseno transformado con el método de los cinco puntos clave, también con $A < 0$
Indicar el dominio y el recorrido de una función seno o coseno transformada

Requisitos previos

• Graficar la función seno y graficar la función coseno (las gráficas base y sus puntos clave)
• Amplitud y período ( $|A|$ y $\frac{2\pi}{B}$ )
• Radianes y múltiplos de $\pi$ en el eje x
• Sacar un número factor común de un paréntesis, por ejemplo $2x - \pi = 2(x - \frac{\pi}{2})$

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué un signo más en $\sin(x + \frac{\pi}{3})$ mueve la gráfica hacia la izquierda?
2. Si primero trasladas y después comprimes, ¿qué le pasa al tamaño del desplazamiento?
3. ¿Cómo puedes convertir una gráfica de seno en una de coseno usando solo un desfase?
4. Una noria y una tabla de mareas son ondas. ¿Qué significan $A$ , $B$ , $C$ y $D$ en cada caso?

Conceptos erróneos comunes

Leer directamente el desplazamiento de $\sin(Bx - k)$ como $k$

Remediación: Pide igualar el paréntesis a $0$ y resolver: $2x - \pi = 0$ da $x = \frac{\pi}{2}$ . Después muestra que coincide con sacar $B$ factor común.

Pensar que el máximo es igual a la amplitud

Remediación: Representa $y = 2\sin(x) + 3$ : amplitud $2$ , pero el máximo es $5$ . La amplitud se mide desde la línea media, no desde el eje x.

Creer que un $A$ negativo hace negativa la amplitud

Remediación: Compara $y = 2\sin(x)$ e $y = -2\sin(x)$ en los mismos ejes: misma altura, reflejadas. La amplitud es una distancia, así que es $|A|$ .

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Cambiar un solo parámetro cada vez, empezando solo con $D$ y $A$
• Dar una tabla de puntos clave con los valores de x ya rellenados
• Superar los tres primeros objetivos del visual con deslizadores antes de esbozar

Para estudiantes de nivel:

• Representar ecuaciones con los cuatro parámetros, incluido sacar $B$ factor común
• Esbozar la misma onda como seno y como coseno
• Indicar el dominio y el recorrido de cada gráfica

Para estudiantes avanzados:

• Reescribir $y = 2\cos(2(x - \frac{\pi}{3})) + 1$ como un seno con otro desfase
• Tratar un $B$ negativo con la paridad de las funciones
• Construir un modelo para datos reales (mareas, horas de luz) y representarlo

Alineación con estándares

HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Identificar el efecto sobre la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k)
HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Representar funciones trigonométricas mostrando período, línea media y amplitud
HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Elegir funciones trigonométricas para modelar fenómenos periódicos con amplitud, frecuencia y línea media dadas

Recursos de la lección

visualAlcanza el objetivo
Mueve los deslizadores A, B, C y D hasta que la onda cubra seis curvas objetivo discontinuas de dificultad creciente
activityRelevo de puntos clave
En equipos, cada estudiante completa un paso: parámetros, período, valores de x, valores de y, esbozo
worksheetDe la ecuación a la gráfica
Doce ecuaciones para representar con cinco puntos clave, con reflexiones y sacando B factor común

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una gráfica de seno o coseno transformada tiene la forma general

y = A\sin(B(x - C)) + D \quad \text{o} \quad y = A\cos(B(x - C)) + D

Cada uno de los cuatro parámetros cambia la gráfica base

y = \sin(x)

y = \cos(x)

de una sola manera (en esta lección

B > 0

Parámetro	Qué hace	Característica
$A$	estiramiento o compresión vertical; si $A < 0$ , además refleja la onda respecto a su línea media	amplitud $= \lvert A \rvert$
$B$	compresión ( $B > 1$ ) o estiramiento ( $B < 1$ ) horizontal	período $= \frac{2\pi}{B}$
$C$	traslación horizontal: a la derecha si $C > 0$ , a la izquierda si $C < 0$	desfase $= C$
$D$	traslación vertical	línea media $y = D$

El orden: primero estirar, después trasladar

Dentro del paréntesis, primero se comprime o estira con

B

y después se traslada con

C

. Fuera, primero se estira con

A

(y se refleja si

A < 0

) y después se traslada con

D

. **Saca siempre

B

factor común** antes de leer el desfase:

\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))

, así que el desplazamiento es

\frac{\pi}{2}

, no

\pi

El método de los cinco puntos clave

1.Un ciclo empieza en $x = C$ y termina en $x = C + \text{período}$ .
2.Divídelo en cuatro pasos iguales: $\text{paso} = \frac{\text{período}}{4}$ .
3.Coloca los valores de y. Seno: línea media, máximo, línea media, mínimo, línea media. Coseno: máximo, línea media, mínimo, línea media, máximo. Si $A < 0$ , intercambia máximo y mínimo.
4.Máximo $= D + |A|$ , mínimo $= D - |A|$ , valor en la línea media $= D$ .

Dominio: todos los números reales. Recorrido:

[D - |A|,\ D + |A|]

Ejemplos resueltos

Para

y = 3\sin(2(x - \frac{\pi}{6})) - 1

, halla la amplitud, el período, el desfase, la línea media y el recorrido.

Comparar con la forma general

Compara con

y = A\sin(B(x - C)) + D

→

A = 3,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{6},\ D = -1

Amplitud y período

Amplitud

= |3| = 3

, período

= \frac{2\pi}{2} = \pi

→ Amplitud

3

, período

\pi

Desfase y línea media

C = \frac{\pi}{6} > 0

, así que el desplazamiento es a la derecha;

D = -1

→

\frac{\pi}{6}

a la derecha, línea media

y = -1

Recorrido

[D - |A|,\ D + |A|] = [-1 - 3,\ -1 + 3]

→

[-4, 2]

Respuesta: Amplitud $3$ , período $\pi$ , desfase $\frac{\pi}{6}$ a la derecha, línea media $y = -1$ , recorrido $[-4, 2]$ .

Errores comunes

Leer el desfase de $y = \sin(2x - \pi)$ como $\pi$

Por qué está mal: El desplazamiento es el número que se resta a la propia $x$ , no a $2x$ . $B$ multiplica todo el paréntesis, así que también comprime el desplazamiento.

Correcto: Saca primero $B$ factor común: $\sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$ , así que el desplazamiento es $\frac{\pi}{2}$ a la derecha.

Trasladar $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ hacia la derecha

Por qué está mal: La forma general tiene $x - C$ . Aquí $x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$ , así que $C = -\frac{\pi}{3}$ es negativo.

Correcto: Un signo más dentro del paréntesis significa un desplazamiento a la izquierda: $\frac{\pi}{3}$ a la izquierda.

Empezar los puntos clave en $x = 0$ o avanzar un período entero

Por qué está mal: Tras un desfase el ciclo ya no empieza en $0$ , y los cinco puntos deben dividir UN período en cuatro partes iguales.

Correcto: Empieza en $x = C$ y avanza en pasos de $\frac{\text{período}}{4}$ . Con período $\pi$ , el paso es $\frac{\pi}{4}$ .

Mantener el orden habitual de máximo y mínimo cuando $A < 0$

Por qué está mal: Un $A$ negativo refleja la onda respecto a su línea media: cada máximo se convierte en mínimo y al revés.

Correcto: Para $y = -2\sin(x)$ el patrón es línea media, mínimo, línea media, máximo, línea media. La amplitud sigue siendo $2$ .

Por qué es importante

Casi todos los procesos que se repiten en la naturaleza y la tecnología se modelan con un seno o un coseno transformado, y los cuatro parámetros siempre tienen un significado concreto:

Noria: el radio es la amplitud, la altura del centro es la línea media y una vuelta es el período
Mareas: la profundidad del agua sube y baja alrededor de una profundidad media aproximadamente cada 12 horas
Horas de luz: la duración del día oscila alrededor de 12 horas con un período de 365 días
Sonido y electricidad: la amplitud es el volumen o el voltaje, el período fija el tono o la frecuencia

Si sabes convertir una ecuación en un esbozo en un minuto, puedes leer directamente en la fórmula los valores más altos y más bajos y los momentos en que ocurren. Eso es justo lo que hacen ingenieras, oceanógrafos y climatólogas con estos modelos.

Aplicaciones del mundo real

Altura en una noria

La altura de una cabina en una noria que gira es un coseno transformado: el centro de la noria da la línea media y el radio da la amplitud.

Ejemplo:

Una noria de radio 20 m, cuyo centro está a 22 m del suelo, da una vuelta cada 30 minutos. Una cabina que sale desde abajo está a una altura de $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ metros tras $t$ minutos, y el período es $\frac{2\pi}{\pi/15} = 30$ .

1Inténtalo tú mismo

La altura de la cabina es $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ metros, con $t$ en minutos.

¿A qué altura sobre el suelo está la cabina en su punto más alto (en metros)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Punto más alto = línea media + amplitud:

Mareas en un puerto

Las capitanías de puerto predicen la profundidad del agua con un modelo senoidal de período aproximado de 12 horas, para que los barcos sepan cuándo pueden entrar.

Ejemplo:

La profundidad $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ metros, $t$ horas después de medianoche, tiene línea media 4 m, amplitud 1,5 m y período $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ horas. La profundidad oscila entre 2,5 m y 5,5 m.

2Inténtalo tú mismo

Un barco grande necesita la marea alta. La profundidad es $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ metros, $t$ horas después de medianoche.

¿En qué momento $t$ (en horas después de medianoche) se produce la primera marea alta después de $t = 3$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Inicio del ciclo más un cuarto del período:

Horas de luz solar

El número de horas de luz a lo largo del año sigue una onda senoidal con período de 365 días. La línea media está en 12 horas, la duración del día en los equinoccios.

Ejemplo:

En una ciudad del norte de Europa, $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ horas, donde $t$ es el día del año. El día 80 (hacia el 21 de marzo) es el equinoccio de primavera, y la duración del día oscila entre 8 y 16 horas.

3Inténtalo tú mismo

La duración del día es $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ horas, donde $t$ es el día del año.

¿Qué día del año tiene más horas de luz? Redondea a un día entero.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Inicio del ciclo más un cuarto del período, redondeado:

Puntos clave

1En $y = A\sin(B(x - C)) + D$ : $|A|$ es la amplitud, $\frac{2\pi}{B}$ el período, $C$ el desfase e $y = D$ la línea media
2Primero estirar, después trasladar: dentro del paréntesis $B$ antes que $C$ , fuera $A$ antes que $D$
3Saca siempre $B$ factor común antes de leer el desfase: $\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$
4 $x - C$ desplaza $C$ a la derecha, $x + C$ desplaza $C$ a la izquierda
5Cinco puntos clave: inicio en $x = C$ , paso $= \frac{\text{período}}{4}$ . Seno: línea media, máximo, línea media, mínimo, línea media; coseno: máximo, línea media, mínimo, línea media, máximo; $A < 0$ intercambia máximo y mínimo
6El dominio son todos los números reales y el recorrido es $[D - |A|,\ D + |A|]$

Preguntas frecuentes

¿Por qué el desfase de $\sin(2x - \pi)$ no es $\pi$ ?

Porque

B = 2

multiplica todo el paréntesis. Sácalo factor común:

\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))

. El ciclo empieza donde el paréntesis vale

0

, en

x = \frac{\pi}{2}

, así que el desplazamiento es

\frac{\pi}{2}

¿De verdad importa el orden de las transformaciones?

Sí, para una traslación y un estiramiento en la misma dirección. Si trasladas

\sin(x)

\frac{\pi}{2}

a la derecha y DESPUÉS comprimes por

2

, obtienes

\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))

, un desplazamiento de solo

\frac{\pi}{4}

. Los cambios horizontales y verticales no se afectan entre sí, así que puedes hacer esos dos grupos en cualquier orden.

¿Los puntos clave funcionan igual para el coseno?

Sí. Empieza en

x = C

y avanza en pasos de

\frac{\text{período}}{4}

igual que con el seno. Solo cambia el patrón de los valores de y: el coseno va máximo, línea media, mínimo, línea media, máximo (o al revés si

A < 0

¿Y si $B$ es negativo?

Reescribe primero la función. El seno es impar,

\sin(-\theta) = -\sin(\theta)

, así que

\sin(-2x) = -\sin(2x)

. El coseno es par,

\cos(-\theta) = \cos(\theta)

, así que

\cos(-2x) = \cos(2x)

. Después

B > 0

y el método funciona como siempre.

Glosario

Amplitud: Distancia de la línea media a un máximo o un mínimo: $|A|$
Período: Longitud horizontal de un ciclo completo: $\frac{2\pi}{B}$
Desfase: Traslación horizontal de la gráfica: $C$ en $x - C$ (a la derecha si es positivo, a la izquierda si es negativo)
Línea media: La recta horizontal $y = D$ situada a medio camino entre el máximo y el mínimo
Puntos clave: Los cinco puntos que dividen un ciclo en cuatro pasos iguales: inicio, cuarto, mitad, tres cuartos, final
Reflexión: Volteo de la onda respecto a su línea media, causado por un $A$ negativo

Tarjeta de fórmulas

Forma general

y = A\sin(B(x - C)) + D

Las mismas letras para el coseno: $y = A\cos(B(x - C)) + D$

Amplitud

|A|

Estiramiento vertical; $A < 0$ además refleja la onda

Período

\frac{2\pi}{B}

Longitud de un ciclo

Desfase y línea media

C

y = D

A la derecha si $C > 0$, a la izquierda si $C < 0$; hacia arriba si $D > 0$, hacia abajo si $D < 0$

Paso de los puntos clave

\frac{\text{período}}{4}

Empieza en $x = C$ y suma el paso cuatro veces

Recorrido

[D - |A|,\ D + |A|]

Del mínimo al máximo

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Definición

El orden: primero estirar, después trasladar

El método de los cinco puntos clave

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Errores comunes

Por qué es importante

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Mareas en un puerto

Horas de luz solar

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

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Período

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