Escribir ecuaciones trigonométricas a partir de gráficas

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Una sinusoide tiene un máximo de $8$ y un mínimo de $2$ . ¿Cuál es su línea media?
1. a) $y = 10$
2. b) $y = 6$
3. c) $y = 3$
4. d) $y = 5$
Respuesta: $y = 5$
$D = \frac{8 + 2}{2} = 5$ , así que la línea media es $y = 5$ . ( $3$ es la amplitud y $6$ la altura total.)
2.
Una onda va de un mínimo de $1$ a un máximo de $9$ . ¿Cuál es su amplitud?
Respuesta: 4
$A = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$ . La amplitud es la mitad de la altura total.
3.
Una onda de seno tiene período $4\pi$ . ¿Cuánto vale $B$ en $y = \sin(Bx)$ ?
Respuesta: 1/2
$B = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$ . Un período largo da un $B$ pequeño.
4.
Una onda tiene un máximo en $x = 0$ . ¿Qué forma la describe con $C = 0$ ?
1. a) $y = A\cos(Bx) + D$
2. b) $y = A\sin(Bx) + D$
3. c) $y = Ax + D$
4. d) $y = A\tan(Bx) + D$
Respuesta: $y = A\cos(Bx) + D$
$\cos(0) = 1$ es el mayor valor del coseno, así que el coseno empieza en un máximo. El seno empieza en la línea media, y la tangente y una recta no oscilan entre un máximo y un mínimo.
5.
Una onda tiene un máximo de $6$ y un mínimo de $-2$ . Halla la línea media $D$ y la amplitud $A$ .
Respuesta: $D = 2$ , $A = 4$
1. ¿Cuál es la línea media $D$ ? 2
2. ¿Cuál es la amplitud $A$ ? 4
6.
El nivel del agua en un puerto se repite cada $12$ horas. ¿Cuánto vale $B$ en el modelo $y = A\cos(B(x - C)) + D$ con $x$ en horas? (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo pi/4.)
Respuesta: pi/6
$B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ . No $12$ : el período va en el denominador.
7.
Una onda tiene amplitud $2$ , línea media $y = 0$ , período $2\pi$ y un máximo en $x = \frac{\pi}{3}$ . ¿Qué ecuación encaja?
1. a) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
2. b) $y = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$
3. c) $y = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right)$
4. d) $y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
Respuesta: $y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
$y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ da $2\cos(0) = 2$ en $x = \frac{\pi}{3}$ . Con $(x + \frac{\pi}{3})$ el máximo está en $-\frac{\pi}{3}$ , la versión con seno está ahí en la línea media, y la última tiene amplitud $1$ y período $\pi$ .
8.
Una onda tiene un máximo de $5$ en $x = \frac{\pi}{6}$ , un mínimo de $-1$ y un período de $\frac{2\pi}{3}$ . Escríbela como $y = A\cos(B(x - C)) + D$ .
Respuesta: $y = 3\cos\left(3\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) + 2$
1. ¿Cuánto vale $D$ ? 2
2. ¿Cuánto vale $A$ ? 3
3. ¿Cuánto vale $B$ ? 3
4. ¿Cuánto vale $C$ ? (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.) pi/6
9.
Una onda corta su línea media $y = 0$ subiendo en $x = \frac{\pi}{4}$ , tiene un máximo de $3$ y un período de $\pi$ . Escríbela como $y = A\sin(B(x - C)) + D$ .
Respuesta: $y = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$
1. ¿Cuánto vale $A$ ? 3
2. ¿Cuánto vale $D$ ? 0
3. ¿Cuánto vale $B$ ? 2
4. ¿Cuánto vale $C$ ? (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.) pi/4
10.
¿Qué ecuación NO dibuja la misma gráfica que $y = 2\cos(x)$ ?
1. a) $y = 2\cos(x - 2\pi)$
2. b) $y = -2\cos(x - \pi)$
3. c) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
4. d) $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
Respuesta: $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
En $x = 0$ : $2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2$ , $-2\cos(-\pi) = 2$ , $2\cos(-2\pi) = 2$ , pero $2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -2$ . Esa última gráfica es la onda invertida $y = -2\cos(x)$ .
11.
La gráfica de $y = 4\sin(2x) + 1$ también se puede escribir como $y = 4\cos(2(x - C)) + 1$ . ¿Cuál es el menor $C$ positivo? (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo pi/3.)
Respuesta: pi/4
$\sin(2x)$ es máximo cuando $2x = \frac{\pi}{2}$ , es decir, $x = \frac{\pi}{4}$ . Es un cuarto del período $\pi$ . Así que $C = \frac{\pi}{4}$ .
12.
Una noria tiene $30$ m de diámetro, su centro está a $18$ m del suelo y da una vuelta cada $6$ minutos. Subes abajo en $t = 0$ . Usa $h(t) = A\cos(Bt) + D$ .
Respuesta: 33
1. ¿Cuánto vale $D$ en m? 18
2. Empiezas abajo, así que $A$ es negativo. ¿Cuánto vale $A$ ? -15
3. ¿Cuánto vale $B$ ? (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.) pi/3
4. ¿A qué altura estás a los $3$ minutos (en m)? 33
13.
Una onda tiene un máximo en $(1, 7)$ y el mínimo siguiente en $(4, 1)$ . Escríbela como $y = A\cos(B(x - C)) + D$ .
Respuesta: $y = 3\cos\left(\frac{\pi}{3}(x - 1)\right) + 4$
1. ¿Cuál es el período? 6
2. ¿Cuánto vale $B$ ? (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.) pi/3
3. ¿Cuánto vale $A$ ? 3
4. ¿Cuánto vale $D$ ? 4
5. ¿Cuánto vale $C$ ? 1
14.
En un puerto la pleamar es de $9$ m a las 4:00 y la bajamar siguiente de $1$ m a las 10:00. Modela la profundidad con $y = A\cos(B(x - C)) + D$ ( $x$ en horas desde medianoche) y halla la profundidad a las 6:00.
Respuesta: 7
1. ¿Cuál es el período en horas? 12
2. ¿Cuánto vale $A$ ? 4
3. ¿Cuánto vale $D$ ? 5
4. ¿Cuánto vale $B$ ? (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.) pi/6
5. ¿Cuál es la profundidad a las 6:00 (en m)? 7
15.
Una onda tiene un máximo de $10$ en $x = 3$ y el mínimo siguiente de $2$ en $x = 7$ . En $y = A\sin(B(x - C)) + D$ con $A > 0$ , ¿cuál es el menor $C$ positivo?
Respuesta: 1
Medio período $= 7 - 3 = 4$ , así que el período es $8$ y un cuarto de período es $2$ . La onda corta la línea media subiendo en $x = 3 - 2 = 1$ , así que $C = 1$ .
16.
Un peso colgado de un muelle empieza en su punto más bajo, a $2$ cm del suelo, en $t = 0$ . Su punto más alto está a $12$ cm y una oscilación completa dura $4$ segundos. ¿Qué modelo es correcto?
1. a) $h = -5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$
2. b) $h = -7\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 5$
3. c) $h = 5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$
4. d) $h = -5\cos(4t) + 7$
Respuesta: $h = -5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$
$D = \frac{12 + 2}{2} = 7$ , amplitud $= \frac{12 - 2}{2} = 5$ , $B = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ , y $A = -5$ porque empieza abajo: $h = -5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$ . Comprobación: $t = 0$ da $-5 + 7 = 2$ .
17.
Una gráfica tiene un mínimo de $-5$ en $x = 0$ , un máximo de $3$ y un período de $4\pi$ . Escríbela como $y = A\cos(Bx) + D$ (es decir, $C = 0$ ).
Respuesta: $y = -4\cos\left(\frac{x}{2}\right) - 1$
1. ¿Cuánto vale $D$ ? -1
2. ¿Cuál es la amplitud? 4
3. La gráfica empieza en un mínimo. ¿Cuánto vale $A$ ? -4
4. ¿Cuánto vale $B$ ? 1/2
18.
Una ciudad tiene $17$ horas de luz en su día más largo (día $172$ ) y $7$ horas en el más corto. El patrón se repite cada $365$ días. Halla $A$ , $D$ , $B$ y $C$ en $y = A\cos(B(d - C)) + D$ .
Respuesta: $y = 5\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$
1. ¿Cuánto vale $A$ en horas? 5
2. ¿Cuánto vale $D$ en horas? 12
3. ¿Cuánto vale $B$ ? (Escribe pi para $\pi$ , por ejemplo 3pi/4.) 2pi/365
4. ¿Cuánto vale $C$ ? 172