Guía del profesor: Escribir ecuaciones trigonométricas a partir de gráficas

Lee el máximo, el mínimo, el período y un punto de partida en una onda y conviértelos en y = A sin(B(x - C)) + D o en una ecuación con coseno.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Gráficas trigonométricas. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Leer el máximo, el mínimo, el período y un punto de partida en la gráfica de una sinusoide
Calcular A, B, C y D y escribir la ecuación con seno o con coseno
Escribir varias ecuaciones equivalentes para la misma gráfica y comprobar que coinciden
Construir modelos sinusoidales a partir de datos reales (noria, mareas, horas de luz, muelles) y usarlos para predecir valores

Requisitos previos

• Representar $y = \sin(x)$ e $y = \cos(x)$ (lecciones sobre la función seno y la función coseno)
• Amplitud y período: $|A|$ y $\frac{2\pi}{|B|}$ (lección Amplitud y período)
• Desfase y traslación vertical (lecciones Desfase, Traslación vertical y Transformaciones de gráficas trigonométricas)
• Valores exactos de seno y coseno en múltiplos de $\frac{\pi}{6}$ y $\frac{\pi}{4}$

Iniciadores de discusión

1. Dos compañeros escribieron ecuaciones distintas para la misma gráfica. ¿Cómo puedes decidir quién tiene razón sin dibujar?
2. ¿Por qué una noria que empieza abajo da un A negativo en un modelo con coseno?
3. ¿La duración del día es de verdad una onda de seno perfecta? ¿Dónde podría fallar el modelo?
4. Si solo conoces dos máximos vecinos de una onda, ¿qué más necesitas para escribir su ecuación?

Conceptos erróneos comunes

Una gráfica tiene exactamente una ecuación correcta

Remediación: Pide a media clase una ecuación con seno y a la otra media una con coseno para la misma gráfica; luego represéntalas juntas en el graficador y comprueba que se superponen.

La amplitud es el valor máximo

Remediación: Muestra una onda con línea media $y = 5$ que va de $3$ a $7$ . Pregunta a qué distancia está el pico de la línea media, no del eje x.

B es el período

Remediación: Compara $\sin(2x)$ y $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ en pantalla: un B mayor comprime la onda. Después deduce $B = \frac{2\pi}{\text{período}}$ de $\text{período} = \frac{2\pi}{B}$ .

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con ondas que tienen un máximo en $x = 0$ , para que solo A, B y D sean nuevos
• Dar una tabla con las columnas máx, mín, período e inicio para rellenar antes de escribir la ecuación
• Usar el visual de deslizadores con las pistas activadas

Para estudiantes de nivel:

• Escribir una ecuación con seno y otra con coseno para cada gráfica
• Modelar mareas y norias a partir de enunciados
• Comprobar cada ecuación sustituyendo un máximo y un mínimo

Para estudiantes avanzados:

• Recoger datos reales (horas de luz en su ciudad, temperaturas mensuales) y ajustar un modelo
• Hallar todos los valores de C entre $0$ y un período que sirven para una gráfica dada
• Usar el modelo para hallar cuándo se alcanza un valor por primera vez (resolver una ecuación trigonométrica)

Alineación con estándares

HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Elegir funciones trigonométricas para modelar fenómenos periódicos con amplitud, frecuencia y línea media dadas
HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Representar funciones trigonométricas mostrando el período, la línea media y la amplitud
HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Identificar el efecto sobre la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k)

Recursos de la lección

visualEncaja la onda
El alumnado lee una onda objetivo y mueve los deslizadores A, B, C y D hasta que su curva la cubre
activityNoria de plato de cartón
El alumnado gira una noria hecha con un plato de cartón, anota la altura cada octavo de vuelta, representa los puntos y escribe la ecuación
worksheetDe la gráfica a la ecuación
Doce gráficas y conjuntos de datos para convertir en ecuaciones de seno y coseno, con dos respuestas cada uno

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

En las lecciones anteriores ibas de la ecuación a la gráfica. Ahora vamos al revés: miras una onda (o lees su descripción) y escribes su ecuación.

Toda onda de seno o coseno se puede escribir de una de estas formas:

y = A\sin(B(x - C)) + D \qquad y = A\cos(B(x - C)) + D

Solo necesitas cuatro lecturas de la gráfica: el máximo, el mínimo, el período y un punto de partida.

Letra	Qué significa	Cómo encontrarla
$D$	línea media (traslación vertical)	$D = \frac{\text{máx} + \text{mín}}{2}$
$A$	amplitud	$A = \frac{\text{máx} - \text{mín}}{2}$
$B$	lo rápido que se repite la onda	$B = \frac{2\pi}{\text{período}}$
$C$	desfase (traslación horizontal)	dónde empieza un ciclo

**Cómo elegir

C

:**

El coseno empieza en un máximo: $C$ = la $x$ de un máximo.
El seno empieza en la línea media, subiendo: $C$ = la $x$ donde la gráfica corta la línea media mientras sube.

Una misma gráfica tiene muchas ecuaciones correctas. Puedes empezar en cualquier máximo (sumar o restar un período entero a

C

), cambiar entre seno y coseno (mover

C

un cuarto de período) o usar un

A

negativo (entonces el coseno empieza en un mínimo). Todas dibujan la misma onda.

Ejemplos resueltos

Una gráfica tiene un máximo de

5

x = 0

, un mínimo de

1

y un período de

2\pi

. Escribe su ecuación.

Halla la línea media D

D = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2}

→

D = 3

Halla la amplitud A

A = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2}

→

A = 2

Halla B a partir del período

B = \frac{2\pi}{2\pi}

→

B = 1

Elige la forma y C

La onda empieza en un máximo en

x = 0

, así que usa coseno con

C = 0

Respuesta: $y = 2\cos(x) + 3$

Errores comunes

Usar el máximo como amplitud (máx $7$ , mín $3$ , así que $A = 7$ )

Por qué está mal: La amplitud se mide desde la línea media, no desde el eje x. La onda solo sube $2$ unidades por encima de su línea media $y = 5$ .

Correcto: $A = \frac{\text{máx} - \text{mín}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$ , y el $5$ va en $D$ .

Escribir el período como B (período $12$ , así que $B = 12$ )

Por qué está mal: B no es el período. Un B mayor hace que la onda se repita más rápido, así que el período es más corto.

Correcto: $B = \frac{2\pi}{\text{período}} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ .

Equivocarse con el signo de C: un máximo en $x = 2$ escrito como $\cos(B(x + 2))$

Por qué está mal: Dentro del paréntesis el desplazamiento tiene el signo contrario. $(x + 2)$ mueve la onda hacia la izquierda.

Correcto: Un máximo en $x = 2$ significa $\cos(B(x - 2))$ . Comprobación: en $x = 2$ el paréntesis vale $0$ y $\cos(0) = 1$ .

Usar seno y poner C en el máximo

Por qué está mal: El seno no empieza en un máximo. En $x = C$ la onda de seno está en la línea media, subiendo.

Correcto: Con seno toma el corte con la línea media subiendo, un cuarto de período antes del máximo. O usa coseno y toma el máximo.

Por qué es importante

Todo lo que se repite en un ciclo suave se puede describir con una ecuación de seno o coseno, y en la vida real casi nunca te dan primero la ecuación. Te dan datos: un valor más alto, un valor más bajo y cuánto dura un ciclo.

Norias: tu altura sobre el suelo sube y baja en cada vuelta
Mareas: el nivel del mar va de pleamar a bajamar aproximadamente cada 12 horas
Horas de luz: las horas de luz del día son máximas en verano y se repiten cada 365 días
Muelles y péndulos: un peso sube y baja en un tiempo fijo
Temperatura: la temperatura media diaria sigue una onda anual

Cuando sabes escribir la ecuación, puedes predecir: la altura después de 2 minutos, el nivel del agua a las 6:00, las horas de luz el día de tu cumpleaños.

Aplicaciones del mundo real

Horas de luz

Los astrónomos y los ingenieros solares modelan la duración del día con una onda de coseno que se repite cada año.

Ejemplo:

En una ciudad del norte el día más largo (día $172$ , hacia el 21 de junio) tiene $16$ horas de luz y el más corto $8$ . Un modelo es $y = 4\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$ .

1Inténtalo tú mismo

Otra ciudad tiene $15$ horas de luz en su día más largo y $9$ horas en el más corto. El patrón se repite cada $365$ días.

¿Qué valor de B va en el modelo $y = A\cos(B(d - C)) + D$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $B = \frac{2\pi}{\text{período}}$ :

Norias

Los diseñadores de atracciones usan la ecuación de la altura para comprobar lo rápido que suben los pasajeros y cuánto tiempo pasan arriba.

Ejemplo:

Una noria de $50$ m de diámetro con el centro a $30$ m de altura da una vuelta cada $12$ minutos. Subiendo abajo del todo, $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ .

2Inténtalo tú mismo

Subes a la noria anterior ( $50$ m de diámetro, centro a $30$ m, una vuelta cada $12$ minutos) abajo del todo en $t = 0$ .

¿A qué altura estás después de $2$ minutos (en m)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sustituye $t = 2$ en $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ :

Un peso colgado de un muelle

Los ingenieros modelan las vibraciones (suspensiones de coches, puentes, sensores) con las mismas ecuaciones que un peso que oscila colgado de un muelle.

Ejemplo:

Un peso oscila entre $4$ cm y $16$ cm por encima de una mesa y tarda $2$ segundos en una oscilación completa.

3Inténtalo tú mismo

El peso anterior se suelta en su punto más alto ( $16$ cm) en $t = 0$ . Una oscilación completa dura $2$ segundos y el punto más bajo está a $4$ cm.

¿A qué altura está el peso después de $\frac{1}{3}$ de segundo (en cm)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $y = 6\cos(\pi t) + 10$ con $t = \frac{1}{3}$ :

Puntos clave

1Línea media: $D = \frac{\text{máx} + \text{mín}}{2}$ ; amplitud: $A = \frac{\text{máx} - \text{mín}}{2}$
2A partir del período: $B = \frac{2\pi}{\text{período}}$ (de un máximo al mínimo siguiente hay medio período)
3Coseno: $C$ es la $x$ de un máximo; seno: $C$ es donde la onda corta la línea media subiendo
4Una onda que empieza en un mínimo es un coseno con $A$ negativo
5Una gráfica tiene muchas ecuaciones correctas: sumar períodos enteros a $C$ , mover un cuarto de período para cambiar entre seno y coseno, o cambiar el signo de $A$ y mover medio período
6Comprueba siempre un punto (un máximo o un mínimo) en tu ecuación final

Preguntas frecuentes

¿Uso seno o coseno?

Los dos son correctos. Usa el que haga

C

más fácil: coseno si puedes leer bien un máximo, seno si ves dónde la onda corta la línea media subiendo.

Mi respuesta es distinta de la del libro. ¿Está mal?

No necesariamente. Comprueba un máximo y un mínimo en las dos ecuaciones. Si dan los mismos valores en la misma

x

, dibujan la misma onda. Por ejemplo,

y = 3\sin(2x) + 1

y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1

son la misma gráfica.

¿Cómo hallo el período si solo veo parte de la onda?

Mide la distancia horizontal entre dos máximos vecinos (un período completo), o entre un máximo y el mínimo siguiente (medio período) y duplícala.

¿Y si el problema usa horas o días en lugar de radianes?

El método no cambia:

B = \frac{2\pi}{\text{período}}

, con el período en la misma unidad que

x

. Una marea de período

12

horas tiene

B = \frac{\pi}{6}

, un patrón anual tiene

B = \frac{2\pi}{365}

Glosario

Línea media: La recta horizontal $y = D$ a medio camino entre el máximo y el mínimo de la onda
Amplitud: La distancia de la línea media a un máximo: $\frac{\text{máx} - \text{mín}}{2}$
Período: La longitud horizontal de un ciclo completo; $B = \frac{2\pi}{\text{período}}$
Desfase: La traslación horizontal $C$ : dónde empieza un ciclo de la onda básica de seno o coseno
Modelo sinusoidal: Una ecuación $y = A\sin(B(x - C)) + D$ o $y = A\cos(B(x - C)) + D$ que describe una magnitud real que se repite

Tarjeta de fórmulas

Formas generales

y = A\sin(B(x - C)) + D

y = A\cos(B(x - C)) + D

Toda onda de seno o coseno encaja en una de estas formas

Línea media

D = \frac{\text{máx} + \text{mín}}{2}

La media del valor más alto y el más bajo

Amplitud

A = \frac{\text{máx} - \text{mín}}{2}

La mitad de la altura total de la onda

B a partir del período

B = \frac{2\pi}{\text{período}}

El período es la distancia entre dos máximos

Punto de partida C

\cos

C = x_{\text{máx}}

;

\sin

C = x_{\text{línea media, sube}}

El coseno empieza en un máximo, el seno en la línea media subiendo

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Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Horas de luz

Norias

Un peso colgado de un muelle

Puntos clave

Preguntas frecuentes

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Formas generales

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Amplitud

B a partir del período

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