Demostrar identidades trigonométricas

Respuesta: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ es la identidad pitagórica fundamental y se cumple para todo $x$. Las otras tres son ecuaciones: $\sin x = \cos x$ se cumple en $45°$, $\sin x + \cos x = 1$ en $0°$ y $90°$, $\tan x = 1$ en $45°$, pero ninguna se cumple para todo ángulo.

Respuesta: 1

$(1 + 3) \cdot \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$, justo el lado derecho. La prueba coincide con la demostración $(1 + \tan^2 x)\cos^2 x = \sec^2 x \cos^2 x = 1$.

Respuesta: $\tan 30° \cos 30° = \sin 30° = \frac{1}{2}$

1. ¿Cuánto vale el lado derecho $\sin 30°$? 1/2
2. ¿Cuánto vale el lado izquierdo $\tan 30° \cdot \cos 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$? 1/2
3. ¿Cuánto es el lado izquierdo menos el lado derecho? 0

Respuesta: Dividir los dos lados entre $\cos x$

Dividir los dos lados entre $\cos x$ trata la identidad como una ecuación que ya es cierta. Los otros pasos cambian solo un lado y conservan su valor: una identidad del cociente, multiplicar por una forma de 1, simplificar un factor común.

Respuesta: -2

Lado izquierdo: $\sin 180° = 0$. Lado derecho: $2\sin 90° = 2$. La diferencia $0 - 2 = -2$ no es $0$, así que $x = 90°$ es un contraejemplo y la afirmación no es una identidad.

Respuesta: $\sin x \cot x = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x$

1. Escribe $\cot x$ con seno y coseno. ¿Qué expresión es? $\dfrac{\cos x}{\sin x}$
2. El lado izquierdo es ahora $\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$. ¿Qué queda al simplificar? $\cos x$
3. Comprobación en $x = 60°$: ¿qué valor deben dar los dos lados ($\cos 60°$)? 1/2

Respuesta: Multiplicar numerador y denominador por $1 - \cos x$

Multiplicar por el conjugado $\frac{1 - \cos x}{1 - \cos x}$ da $\frac{\sin x\,(1 - \cos x)}{1 - \cos^2 x} = \frac{\sin x\,(1 - \cos x)}{\sin^2 x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$. Elevar al cuadrado o sumar en los dos lados rompe la regla de trabajar en un solo lado.

Respuesta: 3/2

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1{,}5$. El lado izquierdo da lo mismo: $\sec 60° - \cos 60° = 2 - 0{,}5 = 1{,}5$.

Respuesta: $\cos x\,(\sec x - \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x$

1. Al distribuir se obtiene $\cos x \sec x - \cos^2 x$. ¿Qué número es $\cos x \sec x$? 1
2. Así que el lado izquierdo es $1 - \cos^2 x$. ¿A qué expresión es igual? $\sin^2 x$
3. Comprobación en $x = 30°$: ¿cuánto es $\sin^2 30°$? 1/4

Respuesta: $\dfrac{2}{1 - \cos^2 x} = \dfrac{2}{\sin^2 x} = 2\csc^2 x$

1. Con el denominador común, el numerador es $(1 + \cos x) + (1 - \cos x)$. ¿Qué número es? 2
2. ¿A qué expresión es igual el denominador $(1 - \cos x)(1 + \cos x)$? $\sin^2 x$
3. Así que el lado izquierdo es $\frac{2}{\sin^2 x} = 2\csc^2 x$. ¿Cuánto vale en $x = 30°$? 8

Respuesta: $45°$

En $0°$, $90°$ y $360°$ la suma es exactamente 1. En $45°$ es $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}414 \neq 1$, así que $45°$ es un contraejemplo.

Respuesta: 3

$\frac{1 - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x$. En $30°$: $\cot 30° = \sqrt{3}$, así que $\cot^2 30° = 3$. Directamente: $\frac{1 - \frac{1}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{3/4}{1/4} = 3$.

Respuesta: $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x$

1. En $x = 45°$, $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$. ¿Cuánto vale el lado izquierdo $(\sqrt{2})^2$? 2
2. El lado derecho es 1. ¿Cuánto es el lado izquierdo menos el derecho en $45°$? 1
3. Al desarrollar se obtiene $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x\cos x$. ¿Cuánto es $2\sin 45° \cos 45°$? 1

Respuesta: $2\tan x \sec x$

$\frac{(1 + \sin x) - (1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \frac{2\sin x}{\cos^2 x} = 2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 2\tan x \sec x$. Comprobación en $60°$: $\frac{1}{1 - 0{,}866} - \frac{1}{1{,}866} \approx 7{,}46 - 0{,}54 = 6{,}93$ y $2\tan 60° \sec 60° = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \approx 6{,}93$. La opción $2\sec^2 x$ corresponde a la suma de las dos fracciones, no a la diferencia.

Respuesta: 2

$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$, así que el lado izquierdo es $\sec^2 x + \tan^2 x = (1 + \tan^2 x) + \tan^2 x = 1 + 2\tan^2 x$. Por tanto $A = 2$. Comprobación en $45°$: $4 - 1 = 3 = 1 + 2 \cdot 1$.

Respuesta: $\dfrac{\cos x\,(1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{\cos x\,(1 - \sin x)}{\cos^2 x} = \dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$

1. ¿Por qué forma de 1 debes multiplicar el lado izquierdo para poder simplificar el denominador con una identidad pitagórica? $\dfrac{1 - \sin x}{1 - \sin x}$
2. ¿A qué expresión es igual el nuevo denominador $(1 + \sin x)(1 - \sin x)$? $\cos^2 x$
3. El lado izquierdo es ahora $\frac{\cos x\,(1 - \sin x)}{\cos^2 x}$. ¿Qué obtienes al simplificar un $\cos x$? $\dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$
4. Comprobación en $x = 0°$: ¿qué valor dan los dos lados? 1

Respuesta: $\cot^2 x - \cos^2 x = \cos^2 x \cdot \dfrac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} = \cos^2 x \cdot \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x \cos^2 x$

1. Escribe $\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$ y saca factor común $\cos^2 x$ en el lado izquierdo. ¿Qué expresión obtienes? $\cos^2 x\left(\dfrac{1}{\sin^2 x} - 1\right)$
2. Con un denominador común, $\frac{1}{\sin^2 x} - 1 = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x}$. ¿A qué expresión es igual el numerador $1 - \sin^2 x$? $\cos^2 x$
3. El lado izquierdo es ahora $\cos^2 x \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$. ¿Qué expresión es? $\cot^2 x \cos^2 x$
4. Comprobación en $x = 45°$: ¿qué valor dan los dos lados? 1/2

Respuesta: $(\sin^2 x - \cos^2 x) \cdot 1 = 1 - 2\cos^2 x$

1. Factoriza el lado izquierdo. ¿Qué factorización es correcta? $(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$
2. ¿Qué número es el segundo factor $\sin^2 x + \cos^2 x$? 1
3. Sustituye $\sin^2 x$ por $1 - \cos^2 x$ en $\sin^2 x - \cos^2 x$. Obtienes $1 + k\cos^2 x$. ¿Cuánto vale $k$? -2
4. Comprobación en $x = 60°$: ¿cuánto es $\sin^4 60° - \cos^4 60° = \frac{9}{16} - \frac{1}{16}$? 1/2