Guía del profesor: Identidades del cociente

Aprende por qué la tangente es el seno entre el coseno y la cotangente el coseno entre el seno, dónde están definidas y cómo usarlas para simplificar expresiones.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Identidades trigonométricas. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Deducir $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ y $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ a partir de un triángulo rectángulo y de la circunferencia unitaria
Indicar dónde no están definidas la tangente y la cotangente y explicar por qué
Hallar $\tan\theta$ y $\cot\theta$ a partir de valores dados de $\sin\theta$ y $\cos\theta$ , con los signos correctos en cada cuadrante
Reescribir expresiones con $\tan$ , $\cot$ , $\sec$ y $\csc$ en función del seno y el coseno
Simplificar expresiones trigonométricas cortas con las identidades del cociente

Requisitos previos

• Seno, coseno y tangente en un triángulo rectángulo (SOH-CAH-TOA)
• La circunferencia unitaria: el punto $(\cos\theta, \sin\theta)$ y los signos en los cuatro cuadrantes
• Identidades recíprocas ( $\csc$ , $\sec$ , $\cot$ )
• Identidades pitagóricas, sobre todo $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
• Dividir y simplificar fracciones

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué desaparece la hipotenusa cuando divides $\sin\theta$ entre $\cos\theta$ ?
2. En la circunferencia unitaria, ¿qué te dice $\tan\theta$ sobre el radio hasta el punto $(\cos\theta, \sin\theta)$ ?
3. ¿Por qué $\tan\theta$ no tiene valor en $90°$ , pero $\cot 90°$ sí?
4. Si $\tan\theta$ es negativa, ¿en qué cuadrantes puede estar $\theta$ , y por qué?
5. ¿Por qué suele ayudar reescribir cada función en senos y cosenos antes de simplificar?

Conceptos erróneos comunes

La tangente y la cotangente son funciones aparte que no tienen nada que ver con el seno y el coseno

Remediación: Representa $y = \tan x$ e $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ juntas y actívalas por turnos. Después calcula las dos en varios ángulos con la calculadora, por ejemplo en $40°$ .

La identidad se cumple para todos los ángulos, también para $90°$

Remediación: Calcula con la clase $\frac{\sin 90°}{\cos 90°} = \frac{1}{0}$ y relaciónalo con la asíntota vertical de la gráfica de la tangente. Insiste en las condiciones $\cos\theta \neq 0$ y $\sin\theta \neq 0$ .

$\frac{\sin a}{\cos b}$ es una tangente para dos ángulos cualesquiera

Remediación: Pide al alumnado que calcule $\frac{\sin 40°}{\cos 20°}$ y lo compare con $\tan 20°$ y $\tan 40°$ ; ninguno coincide.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con un triángulo 3-4-5 y calcular $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ como razones entre lados antes de usar la identidad
• Usar al principio solo ángulos del primer cuadrante y valores positivos
• Dar una tarjeta con las dos identidades del cociente y las dos condiciones de dominio

Para estudiantes de nivel:

• Hallar $\tan\theta$ y $\cot\theta$ a partir de $\sin\theta$ y $\cos\theta$ en los cuatro cuadrantes
• Reescribir y simplificar productos de dos o tres factores como $\cot\theta\sin\theta\sec\theta$
• Comprobar cada simplificación con la calculadora en un ángulo

Para estudiantes avanzados:

• Hallar $\sin\theta$ y $\cos\theta$ cuando solo se dan $\tan\theta$ y el cuadrante
• Explicar por qué $\tan\theta$ es la pendiente del radio y usarlo para hallar el ángulo de una recta que pasa por el origen
• Adelanto de cálculo: aplicar la regla del cociente a $\frac{\sin x}{\cos x}$ para hallar la derivada de $\tan x$

Alineación con estándares

HSF-TF.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C.8)
Demostrar la identidad pitagórica y usarla para hallar sen, cos o tan a partir de una de ellas y del cuadrante del ángulo
HSF-TF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A.2)
Explicar cómo la circunferencia unitaria extiende las funciones trigonométricas a todos los números reales
HSG-SRT.C.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.C.6)
Comprender que las razones entre lados de un triángulo rectángulo definen las razones trigonométricas de los ángulos agudos

Recursos de la lección

visualDemostraciones de identidades paso a paso
Mira cómo $\tan\theta\cos\theta$ , $\cot\theta\sin\theta$ y $\tan\theta\cot\theta$ se convierten en $\sin\theta$ , $\cos\theta$ y $1$ , con una comprobación numérica en directo
visualDos gráficas, una curva
Activa y desactiva $y = \tan x$ e $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ y comprueba que coinciden, asíntotas incluidas
activityMedir triángulos
El alumnado dibuja triángulos rectángulos, mide los lados y comprueba que $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ es igual a $\frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}$
worksheetReescribir en senos y cosenos
Diez expresiones cortas para reescribir y simplificar con las identidades del cociente y las recíprocas

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Las identidades del cociente escriben la tangente y la cotangente como un cociente (una división) del seno y el coseno del mismo ángulo:

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \qquad (\cos\theta \neq 0)

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \qquad (\sin\theta \neq 0)

De dónde salen: el triángulo rectángulo

Para un ángulo agudo

\theta

en un triángulo rectángulo,

\sin\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}

\cos\theta = \frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}

. Si los divides, la hipotenusa se simplifica:

\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{opuesto}/\text{hipotenusa}}{\text{contiguo}/\text{hipotenusa}} = \frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}} = \tan\theta

De dónde salen: la circunferencia unitaria

El ángulo

\theta

corta la circunferencia unitaria en el punto

P = (\cos\theta, \sin\theta)

. La pendiente del radio

OP

\frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

, y esa pendiente es

\tan\theta

. Esto funciona para cualquier ángulo, no solo para los agudos, así que los signos salen bien en los cuatro cuadrantes.

Dónde están definidas

$\tan\theta$ no está definida cuando $\cos\theta = 0$ : en $90°$ , $270°$ , ... (es decir, $\theta = 90° + k \cdot 180°$ ).
$\cot\theta$ no está definida cuando $\sin\theta = 0$ : en $0°$ , $180°$ , $360°$ , ... (es decir, $\theta = k \cdot 180°$ ).

Relación con las identidades recíprocas

Por las identidades recíprocas,

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

. Dar la vuelta a

\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

\frac{\cos\theta}{\sin\theta}

, así que las dos ideas coinciden, y

\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

siempre que ambas estén definidas.

Ejemplos resueltos

Para un ángulo

\theta

sabemos que

\sin\theta = \frac{3}{5}

\cos\theta = \frac{4}{5}

. Halla

\tan\theta

\cot\theta

Escribe la identidad del cociente para la tangente

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5}

→ Dividir las dos fracciones

Divide (los quintos se simplifican)

\frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}

→

\tan\theta = \frac{3}{4}

Usa la identidad del cociente para la cotangente

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}

→

\cot\theta = \frac{4}{3}

Comprueba con la identidad recíproca

\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1

→ Correcto

Respuesta: $\tan\theta = \frac{3}{4}$ y $\cot\theta = \frac{4}{3}$

Errores comunes

Escribir $\tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Por qué está mal: La fracción está al revés: eso es la cotangente. En la circunferencia unitaria, la tangente es la pendiente $\frac{y}{x}$ , y $y = \sin\theta$ .

Correcto: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ (el seno arriba, como $y$ entre $x$ ) y $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Decir que $\tan 90° = 0$ o que $\cot 0° = 0$

Por qué está mal: En $90°$ el coseno vale $0$ , y no se puede dividir entre $0$ . En $0°$ el seno vale $0$ , así que la cotangente tiene denominador cero.

Correcto: $\tan 90° = \frac{1}{0}$ no está definida, y $\cot 0° = \frac{1}{0}$ no está definida. La gráfica de $\tan$ tiene asíntotas verticales ahí.

Mezclar dos ángulos: $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} = \tan 20°$ o $\tan 40°$

Por qué está mal: La identidad solo funciona cuando el seno y el coseno tienen el mismo ángulo.

Correcto: $\frac{\sin 40°}{\cos 40°} = \tan 40°$ , pero $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} \approx 0{,}684$ no es ni $\tan 20° \approx 0{,}364$ ni $\tan 40° \approx 0{,}839$ .

Perder el signo en los cuadrantes II, III y IV

Por qué está mal: Muchas veces se toma la raíz positiva para $\cos\theta$ o $\sin\theta$ y sale $\tan\theta > 0$ en todas partes.

Correcto: Saca primero los signos del cuadrante: en el cuadrante II $\sin > 0$ y $\cos < 0$ , así que $\tan\theta < 0$ ; en el cuadrante III los dos son negativos, así que $\tan\theta > 0$ .

Por qué es importante

Las identidades del cociente son el puente que convierte cualquier expresión trigonométrica en senos y cosenos:

Simplificar: escribir $\tan$ y $\cot$ como fracciones de $\sin$ y $\cos$ es el primer paso de casi todas las simplificaciones y demostraciones que vienen después en este tema
Valores exactos: si conoces $\sin\theta$ y $\cos\theta$ (de la circunferencia unitaria o de un triángulo), obtienes $\tan\theta$ y $\cot\theta$ con una sola división
Pendientes y ángulos: la pendiente de una recta, una carretera o una rampa es la tangente de su ángulo de inclinación
Física: un objeto en un plano inclinado empieza a deslizarse cuando el coeficiente de rozamiento es menor que $\tan\theta$ , y las longitudes de sombra usan $\cot\theta$
Cálculo: la derivada de $\tan x$ se obtiene escribiéndola como $\frac{\sin x}{\cos x}$ y aplicando la regla del cociente

Aplicaciones del mundo real

Pistas de esquí y pendientes de carreteras

La pendiente de una ladera (desnivel entre distancia horizontal) es la tangente de su ángulo de inclinación. Un sensor del móvil mide el seno y el coseno de la inclinación, y la aplicación los divide.

Ejemplo:

Una ladera con $\sin\theta = 0{,}6$ y $\cos\theta = 0{,}8$ tiene $\tan\theta = 0{,}75$ : baja $75$ m por cada $100$ m de distancia horizontal.

1Inténtalo tú mismo

Un sensor de inclinación en una pista de esquí marca $\sin\theta = 0{,}6$ y $\cos\theta = 0{,}8$ . La bajada recorre $200$ m de distancia horizontal.

¿Cuántos metros de desnivel tiene la bajada?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Desnivel = $\tan\theta \times$ distancia horizontal:

Rozamiento en una rampa

Una caja sobre una rampa se queda quieta mientras el coeficiente de rozamiento $\mu$ sea al menos $\tan\theta$. Los ingenieros lo usan para decidir cuánta inclinación pueden tener las cintas transportadoras y las rampas de carga.

Ejemplo:

En una rampa con $\tan\theta = 0{,}5$ , una caja con $\mu = 0{,}6$ se queda quieta, pero una caja con $\mu = 0{,}4$ se desliza.

2Inténtalo tú mismo

Una rampa de carga tiene $\sin\theta = \frac{9}{41}$ y $\cos\theta = \frac{40}{41}$ . Una caja de plástico sobre ella tiene coeficiente de rozamiento $\mu = 0{,}2$ .

¿Cuál es el menor coeficiente de rozamiento que mantiene una caja quieta en esta rampa?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Menor $\mu$ = $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ :

Longitud de las sombras

Cuando el sol está a una altura angular $\theta$, un poste de altura $h$ proyecta una sombra de longitud $h \cot\theta = h \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Los arquitectos lo usan para planificar la sombra y la luz solar.

Ejemplo:

Con el sol a $45°$ , $\cot 45° = 1$ , así que cada objeto proyecta una sombra tan larga como su altura.

3Inténtalo tú mismo

A mediodía, la altura angular del sol cumple $\sin\theta = 0{,}96$ y $\cos\theta = 0{,}28$ . Un mástil de bandera mide $12$ m de alto.

¿Cuánto mide la sombra del mástil, en metros?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sombra = $12 \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ :

Puntos clave

1 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ y $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ , siempre para el mismo ángulo $\theta$
2En un triángulo rectángulo la hipotenusa se simplifica: $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}$
3En la circunferencia unitaria, $\tan\theta$ es la pendiente $\frac{y}{x}$ del radio hasta $(\cos\theta, \sin\theta)$ , así que funciona en todos los cuadrantes
4 $\tan\theta$ no está definida donde $\cos\theta = 0$ ( $90°$ , $270°$ , ...); $\cot\theta$ no está definida donde $\sin\theta = 0$ ( $0°$ , $180°$ , ...)
5 $\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$ siempre que ambas estén definidas
6Para simplificar, primero reescribe todo en $\sin$ y $\cos$ y después simplifica los factores comunes

Preguntas frecuentes

¿Por qué se llaman identidades del cociente?

Un cociente es el resultado de una división. Estas identidades expresan

\tan

\cot

como una función dividida entre otra:

\sin\theta \div \cos\theta

\cos\theta \div \sin\theta

¿ $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ es una identidad del cociente o una identidad recíproca?

Las dos ideas llevan al mismo sitio. La identidad recíproca dice

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

; si cambias

\tan\theta

por

\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

y le das la vuelta, obtienes la forma de cociente

\frac{\cos\theta}{\sin\theta}

. La forma de cociente funciona incluso en

90°

, donde

\tan

no está definida pero

\cot 90° = \frac{0}{1} = 0

¿Por qué $y = \tan x$ e $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ tienen la misma gráfica?

Porque son la misma función. Las dos tienen asíntotas verticales donde

\cos x = 0

(

x = \pm 90°, \pm 270°, ...

) y ceros donde

\sin x = 0

. Activa y desactiva las dos curvas en la gráfica de arriba: quedan exactamente una encima de la otra.

¿Puedo comprobar una identidad del cociente con la calculadora?

Sí. Escribe

\sin(40) / \cos(40)

\tan(40)

en modo grados: las dos dan unos

0{,}8391

. Comprobar con números en algunos ángulos es una buena prueba, pero solo un razonamiento algebraico demuestra una identidad para todos los ángulos.

Glosario

Cociente: El resultado de una división, por ejemplo $\frac{a}{b}$ es el cociente de $a$ entre $b$
Identidades del cociente: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ y $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$
Identidad: Una igualdad que se cumple para cualquier valor de la variable para el que ambos lados están definidos
Cotangente ( $\cot$ ): La razón $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ , la recíproca de la tangente
Dominio: El conjunto de ángulos en los que una expresión está definida; para $\tan\theta$ , todos los ángulos con $\cos\theta \neq 0$

Tarjeta de fórmulas

Tangente

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Definida si $\cos\theta \neq 0$

Cotangente

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Definida si $\sin\theta \neq 0$

Producto

\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

Donde ambas están definidas

Triángulo rectángulo

\tan\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}

La hipotenusa se simplifica en $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

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Contenido de la lección

Definición

De dónde salen: el triángulo rectángulo

De dónde salen: la circunferencia unitaria

Dónde están definidas

Relación con las identidades recíprocas

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Pistas de esquí y pendientes de carreteras

Rozamiento en una rampa

Longitud de las sombras

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Tangente

Cotangente

Producto

Triángulo rectángulo

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