Guide de l'enseignant: Introduction aux fonctions linéaires
Apprends ce que sont les fonctions linéaires, comment les identifier et comment elles créent des droites sur un graphique.
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10 questions sur Fonctions Linéaires. Les élèves participent avec un prénom, tu vois tous les scores.
Pour les enseignants
- Définir une fonction linéaire et identifier ses composants clés (pente et ordonnée à l'origine)
- Déterminer si une fonction est linéaire en examinant son équation
- Créer des tableaux de valeurs pour les fonctions linéaires et reconnaître le taux de variation constant
- Tracer des fonctions linéaires en utilisant la pente et l'ordonnée à l'origine
- Appliquer les fonctions linéaires à des situations réelles
- • Compréhension des plans de coordonnées et des paires ordonnées
- • Capacité à substituer des valeurs dans des expressions algébriques
- • Compréhension de base des fonctions comme machines entrée-sortie
- • Familiarité avec les nombres positifs et négatifs
- 1. Pourquoi penses-tu que ces fonctions s'appellent 'linéaires' ? Que suggère ce mot ?
- 2. Peux-tu penser à une situation réelle où une relation N'EST PAS linéaire ?
- 3. Que se passe-t-il avec le graphique quand la pente est négative ? Quand elle est nulle ?
- 4. Si deux droites ont la même pente mais des ordonnées à l'origine différentes, à quoi ressemblent leurs graphiques ?
Toute équation avec x est linéaire
L'ordonnée à l'origine est là où x = 0 sur la droite
La pente est toujours un nombre entier
Pour les élèves en difficulté:
- • Commence uniquement avec des pentes entières positives
- • Utilise des exemples concrets (coût par article, distance par heure) avant les équations abstraites
- • Fournis des grilles de graphique avec des échelles déjà marquées
Pour les élèves au niveau:
- • Pratique avec des pentes négatives et des valeurs fractionnaires
- • Convertis entre différentes représentations (tableau, graphique, équation)
- • Résous des problèmes réels impliquant des fonctions linéaires
Pour les élèves avancés:
- • Explore les systèmes d'équations linéaires (où deux droites se croisent)
- • Étudie les droites parallèles et perpendiculaires
- • Analyse les fonctions linéaires par morceaux
- 8.F.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.F.A.3)
Interpréter l'équation y = mx + b comme définissant une fonction linéaire dont le graphique est une droite
- 8.F.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.8.F.B.4)
Construire une fonction pour modéliser une relation linéaire entre deux quantités
- F-LE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1)
Distinguer entre les situations qui peuvent être modélisées avec des fonctions linéaires et des fonctions exponentielles
- visualExplorateur de droites interactif
Ajuste la pente et l'ordonnée à l'origine pour voir comment la droite change
- activityLinéaire ou non ? Tri de cartes
Trie les équations en catégories linéaires et non linéaires
- worksheetFonctions linéaires dans la vie réelle
Pratique l'identification et l'écriture de fonctions linéaires à partir de scénarios
Contenu de la leçon
Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.
Contenu de la leçon
Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.
Définition
- est la pente (l'inclinaison de la droite)
- est l'ordonnée à l'origine (où la droite coupe l'axe des y)
- est l'entrée (variable indépendante)
- est la sortie (variable dépendante)
Exemples résolus
Est-ce que est une fonction linéaire ?
Vérifier la forme
Comparer à → Elle correspond au modèle
Identifier la pente
Le coefficient de est →
Identifier l'ordonnée à l'origine
Le terme constant est →
Vérifier la linéarité
Pas d'exposant sur , pas de au dénominateur → Elle est linéaire
Réponse: Oui, est une fonction linéaire avec une pente de et une ordonnée à l'origine de .
Erreurs courantes
Penser que est linéaire parce qu'il contient un
Pourquoi c'est faux: L'exposant compte ! signifie multiplié par lui-même, ce qui crée une courbe, pas une droite.
Correct: Les fonctions linéaires ont uniquement à la première puissance. Vérifie qu'il n'y a pas de , , , ou .
Confondre la pente et l'ordonnée à l'origine dans
Pourquoi c'est faux: Il est facile de les confondre. La pente () est le coefficient de , tandis que est le terme constant.
Correct: Dans , la pente est (multiplie ) et l'ordonnée à l'origine est (seul).
Penser que n'est pas une fonction linéaire
Pourquoi c'est faux: C'est en fait , une droite horizontale avec une pente de .
Correct: est linéaire - c'est un cas particulier avec une pente nulle. Le graphique est une droite horizontale à .
Pourquoi c'est important
- Forfaits téléphoniques : Un forfait à 20€ par mois plus 5 centimes par SMS est linéaire :
- Distance et temps : Conduire à une vitesse constante de 90 km/h crée une relation linéaire :
- Conversion de température : Celsius en Fahrenheit est linéaire :
- Commerce : Les coûts d'une entreprise comprennent souvent des coûts fixes plus des coûts variables par article
Applications dans le monde réel
Forfaits téléphoniques
Beaucoup de forfaits ont des frais de base plus un tarif à l'utilisation, créant une fonction linéaire.
Exemple:
Un forfait coûte 25€ par mois plus 10 centimes par minute au-delà de la limite. Si représente les minutes supplémentaires, alors .
Un forfait téléphonique coûte 30€ par mois plus 5 centimes par SMS.
Combien coûteraient 100 SMS en un mois ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Écris la fonction sous la forme et substitue :
Distance et vitesse
En voyageant à vitesse constante, la distance est une fonction linéaire du temps.
Exemple:
Conduire à 90 km/h : , où est la distance en km et est le temps en heures.
Un cycliste roule à une vitesse constante de 15 km/h.
Quelle distance parcourra-t-il en 3 heures ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Utilise :
Revenus et heures travaillées
Les salaires horaires créent une relation linéaire entre les heures travaillées et l'argent gagné.
Exemple:
Gagner 12€ par heure : , où représente les heures et les revenus en euros.
Un étudiant gagne 15€ par heure en donnant des cours particuliers, plus un bonus de 20€ pour chaque nouvel élève.
S'il a donné 4 heures de cours à un nouvel élève, combien a-t-il gagné ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Calcule les revenus :
Points clés
- 1Une fonction linéaire a la forme , où est la pente et est l'ordonnée à l'origine
- 2Le graphique d'une fonction linéaire est toujours une droite
- 3Les fonctions linéaires ont un taux de variation constant - quand augmente de 1, change toujours de
- 4Pour identifier une fonction linéaire, vérifie que n'a pas d'exposant autre que 1 et n'apparaît pas au dénominateur ou sous un radical
Questions fréquentes
Qu'est-ce qui rend une fonction linéaire ou non linéaire ?
La pente peut-elle être nulle ou négative ?
Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une équation linéaire ?
Glossaire
- Fonction linéaire
- Une fonction dont le graphique est une droite, écrite sous la forme
- Pente
- Le taux de variation d'une droite, représenté par dans . Elle mesure l'inclinaison.
- Ordonnée à l'origine
- Le point où la droite coupe l'axe des y, représenté par dans
- Taux de variation
- De combien la sortie () change pour chaque changement d'unité de l'entrée ()
- Taux de variation constant
- Quand le taux de variation est le même entre deux points quelconques - la caractéristique définissant les fonctions linéaires