Addition et soustraction de polynômes

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quels termes sont semblables ?
1. a) $3x^2$ et $5x^2$
2. b) $2x$ et $2y$
3. c) $x^3$ et $x^2$
4. d) $3x^2$ et $3x$
Réponse: $3x^2$ et $5x^2$
$3x^2$ et $5x^2$ sont semblables car tous deux ont la variable $x$ élevée à la puissance 2. Les coefficients (3 et 5) peuvent être différents.
2.
Simplifie : $4x^2 + 7x^2$
Réponse: 11x^2
$4x^2 + 7x^2 = (4 + 7)x^2 = 11x^2$ . Additionne les coefficients, garde la même variable et le même exposant.
3.
Simplifie : $9x - 4x$
Réponse: 5x
$9x - 4x = (9 - 4)x = 5x$ . Soustrais les coefficients quand l'opération est une soustraction.
4.
Quel est le résultat de $(2x + 5) + (3x + 4)$ ?
1. a) $6x + 9$
2. b) $5x^2 + 9$
3. c) $5x + 1$
4. d) $5x + 9$
Réponse: $5x + 9$
$(2x + 5) + (3x + 4) = (2x + 3x) + (5 + 4) = 5x + 9$
5.
Additionne : $(3x^2 + 2x) + (x^2 + 5x)$
Réponse: 4x^2 + 7x
1. Additionne les termes en $x^2$ : $3x^2 + x^2$ 4x^2
2. Additionne les termes en $x$ : $2x + 5x$ 7x
3. Écris la réponse finale 4x^2 + 7x
6.
Que vaut $(5x^2 - 3x + 2) - (2x^2 + x - 4)$ ?
1. a) $3x^2 - 4x - 2$
2. b) $7x^2 - 2x - 2$
3. c) $3x^2 - 2x - 2$
4. d) $3x^2 - 4x + 6$
Réponse: $3x^2 - 4x + 6$
$(5x^2 - 3x + 2) - (2x^2 + x - 4) = 5x^2 - 3x + 2 - 2x^2 - x + 4 = 3x^2 - 4x + 6$
7.
Simplifie : $(x^2 + 4x - 3) + (2x^2 - x + 7)$
Réponse: 3x^2 + 3x + 4
$(x^2 + 4x - 3) + (2x^2 - x + 7) = 3x^2 + 3x + 4$ . On obtient : $1+2=3$ pour $x^2$ , $4-1=3$ pour $x$ , et $-3+7=4$ pour les constantes.
8.
Soustrais : $(4x^2 + 5x - 1) - (x^2 - 3x + 2)$
Réponse: 3x^2 + 8x - 3
1. Distribue le moins : $-(x^2 - 3x + 2) = ?$ -x^2 + 3x - 2
2. Combine les termes en $x^2$ : $4x^2 + (-x^2)$ 3x^2
3. Combine les termes en $x$ : $5x + 3x$ 8x
4. Combine les constantes : $-1 + (-2)$ -3
5. Écris le polynôme final 3x^2 + 8x - 3
9.
Simplifie : $(x^3 + 2x) + (4x^2 - x + 5)$
Réponse: x^3 + 4x^2 + x + 5
$(x^3 + 2x) + (4x^2 - x + 5) = x^3 + 4x^2 + (2x - x) + 5 = x^3 + 4x^2 + x + 5$ . Écris sous forme standard (puissances décroissantes).
10.
Simplifie : $(6x^2 - 4x + 3) - (2x^2 - 4x - 5)$
Réponse: 4x^2 + 8
1. Distribue le moins : $-(2x^2 - 4x - 5)$ -2x^2 + 4x + 5
2. Combine les termes en $x^2$ : $6x^2 - 2x^2$ 4x^2
3. Combine les termes en $x$ : $-4x + 4x$ 0
4. Combine les constantes : $3 + 5$ 8
5. Écris la réponse finale 4x^2 + 8
11.
Un rectangle a une longueur de $(3x + 5)$ et une largeur de $(x + 2)$ . Si la longueur est augmentée de $(x - 1)$ , quelle est la nouvelle longueur ?
1. a) $3x + 4$
2. b) $4x + 4$
3. c) $4x + 6$
4. d) $2x + 6$
Réponse: $4x + 4$
Nouvelle longueur $= (3x + 5) + (x - 1) = 3x + x + 5 - 1 = 4x + 4$
12.
Simplifie : $(3x^2 - 2x + 1) - (-x^2 + 4x - 3)$
Réponse: 4x^2 - 6x + 4
$(3x^2 - 2x + 1) - (-x^2 + 4x - 3) = 3x^2 - 2x + 1 + x^2 - 4x + 3 = 4x^2 - 6x + 4$
13.
Simplifie : $(2x^3 - x^2 + 3x) + (x^3 + 4x^2 - x + 2) - (x^3 - 2x + 1)$
Réponse: 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1
1. Distribue le moins au dernier polynôme : $-(x^3 - 2x + 1)$ -x^3 + 2x - 1
2. Combine tous les termes en $x^3$ : $2x^3 + x^3 - x^3$ 2x^3
3. Combine tous les termes en $x^2$ : $-x^2 + 4x^2$ 3x^2
4. Combine tous les termes en $x$ : $3x - x + 2x$ 4x
5. Combine les constantes : $2 - 1$ 1
6. Écris la réponse finale sous forme standard 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1
14.
Si $P(x) = 5x^2 - 3x + 7$ et $Q(x) = 2x^2 + x - 4$ , que vaut $P(x) - 2Q(x)$ ?
1. a) $x^2 - x + 15$
2. b) $x^2 - 5x - 1$
3. c) $x^2 - 5x + 15$
4. d) $9x^2 - 5x - 1$
Réponse: $x^2 - 5x + 15$
$P(x) - 2Q(x) = (5x^2 - 3x + 7) - 2(2x^2 + x - 4) = 5x^2 - 3x + 7 - 4x^2 - 2x + 8 = x^2 - 5x + 15$
15.
Trouve le polynôme qui doit être ajouté à $(2x^2 - 5x + 3)$ pour obtenir $(5x^2 + x - 4)$ .
Réponse: 3x^2 + 6x - 7
1. Pose l'équation : $(2x^2 - 5x + 3) + ? = (5x^2 + x - 4)$ . Quelle opération avons-nous besoin ? soustraction
2. Réécris comme soustraction : $(5x^2 + x - 4) - (2x^2 - 5x + 3)$ . Distribue le négatif. -2x^2 + 5x - 3
3. Combine les termes en $x^2$ : $5x^2 - 2x^2$ 3x^2
4. Combine les termes en $x$ : $x + 5x$ 6x
5. Combine les constantes : $-4 - 3$ -7
6. Écris le polynôme manquant 3x^2 + 6x - 7
16.
Simplifie : $-(3x^2 - 2x + 4) + (x^2 + 5x - 1) - (2x^2 - x)$
Réponse: -4x^2 + 8x - 5
$-(3x^2 - 2x + 4) + (x^2 + 5x - 1) - (2x^2 - x) = -3x^2 + 2x - 4 + x^2 + 5x - 1 - 2x^2 + x = -4x^2 + 8x - 5$