Additionner des expressions rationnelles (dénominateurs semblables)

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Que vaut $\frac{2}{x+1} + \frac{5}{x+1}$ ?
1. a) $\frac{7}{2x+2}$
2. b) $\frac{7}{x+1}$
3. c) $\frac{10}{x+1}$
4. d) $\frac{7}{x+2}$
Réponse: $\frac{7}{x+1}$
Additionne les numérateurs : $2 + 5 = 7$ . Garde le dénominateur : $\frac{7}{x+1}$ .
2.
Simplifie : $\frac{3x}{x-2} + \frac{4}{x-2}$ . Entre le numérateur de ta réponse.
Réponse: 3x+4
La somme est $\frac{3x+4}{x-2}$ . Le numérateur est $3x+4$ .
3.
Quelle valeur $x$ ne doit-il PAS prendre pour l'expression $\frac{5}{x-3} + \frac{2}{x-3}$ ?
1. a) $x = 0$
2. b) $x = 3$
3. c) $x = 5$
4. d) $x = -3$
Réponse: $x = 3$
Si $x = 3$ , alors $x - 3 = 0$ , ce qui rend le dénominateur nul. La division par zéro est indéfinie.
4.
Additionne : $\frac{x+2}{x+5} + \frac{3}{x+5}$
Réponse: 1
1. Quel est le dénominateur commun ? x+5
2. Additionne les numérateurs : $(x+2) + 3 = ?$ x+5
3. Que vaut $\frac{x+5}{x+5}$ quand $x \neq -5$ ? 1
5.
Quel est le dénominateur dans la somme $\frac{4a}{a+7} + \frac{3a}{a+7}$ ?
Réponse: a+7
Le dénominateur est $a+7$ pour les deux fractions et reste $a+7$ dans la somme.
6.
Simplifie : $\frac{x+1}{x-3} + \frac{2x-4}{x-3}$
1. a) $\frac{3x+5}{x-3}$
2. b) $\frac{3x-5}{x-3}$
3. c) $\frac{x-3}{x-3}$
4. d) $\frac{3x-3}{x-3}$
Réponse: $\frac{3x-3}{x-3}$
$(x+1) + (2x-4) = x + 1 + 2x - 4 = 3x - 3$ . La réponse est $\frac{3x-3}{x-3}$ .
7.
Additionne et simplifie : $\frac{2x}{x+4} + \frac{8}{x+4}$
Réponse: 2
1. Additionne les numérateurs : $2x + 8 = ?$ 2x+8
2. Factorise le numérateur $2x + 8$ 2(x+4)
3. Simplifie $\frac{2(x+4)}{x+4}$ 2
8.
Simplifie : $\frac{x^2}{x+2} + \frac{4}{x+2}$ . Si le résultat peut être factorisé en $\frac{(x+a)(x+b)}{x+2}$ , que vaut $a + b$ ?
Réponse: 0
Question piège ! $x^2 + 4$ ne se factorise pas sur les réels (somme de carrés). Mais si on interprète $a = 2i, b = -2i$ , alors $a + b = 0$ .
9.
Additionne : $\frac{3}{x-1} + \frac{x}{x-1} + \frac{-2}{x-1}$
1. a) $\frac{x+1}{x-1}$
2. b) $\frac{x+5}{x-1}$
3. c) $\frac{x-1}{x-1}$
4. d) $\frac{3x+1}{x-1}$
Réponse: $\frac{x+1}{x-1}$
$3 + x + (-2) = x + 1$ . Le résultat est $\frac{x+1}{x-1}$ .
10.
Additionne : $\frac{x^2-1}{x+3} + \frac{2x+4}{x+3}$
Réponse: (x^2+2x+3)/(x+3)
1. Additionne les numérateurs : $(x^2-1) + (2x+4) = ?$ x^2+2x+3
2. $x^2+2x+3$ peut-il être factorisé ? non
3. Quelle est la réponse finale ? (x^2+2x+3)/(x+3)
11.
Simplifie complètement : $\frac{x^2-4}{x^2-9} + \frac{5}{x^2-9}$
1. a) $\frac{x^2+1}{x^2-9}$
2. b) $\frac{x+1}{x+3}$
3. c) $\frac{(x+1)(x-1)}{(x+3)(x-3)}$
4. d) $\frac{x-1}{x-3}$
Réponse: $\frac{x^2+1}{x^2-9}$
Attends - recalculons. $x^2-4+5 = x^2+1$ . Cela ne se factorise pas bien. La réponse devrait être $\frac{x^2+1}{x^2-9}$ , qui est le choix B.
12.
Additionne et simplifie : $\frac{x^2+2x}{x^2-4} + \frac{-2x+4}{x^2-4}$
Réponse: (x^2+4)/((x+2)(x-2))
1. Additionne les numérateurs : $(x^2+2x) + (-2x+4) = ?$ x^2+4
2. Factorise le numérateur $x^2+4$ . Qu'obtiens-tu ? x^2+4
3. Factorise le dénominateur $x^2-4$ (x+2)(x-2)
4. Quel est le résultat simplifié ? (x^2+4)/((x+2)(x-2))
13.
Simplifie : $\frac{3x-6}{x^2-x-6} + \frac{x+3}{x^2-x-6}$ . Exprime ta réponse en forme réduite.
Réponse: (4x-3)/((x-3)(x+2))
$(3x-6) + (x+3) = 4x - 3$ . Le dénominateur est $(x-3)(x+2)$ . $4x-3$ n'a pas de facteurs communs avec le dénominateur. La réponse est $\frac{4x-3}{(x-3)(x+2)}$ .
14.
Additionne et simplifie : $\frac{x^2-x-2}{x^2+x-6} + \frac{3x+9}{x^2+x-6}$
Réponse: (x^2+2x+7)/((x+3)(x-2))
1. Additionne les numérateurs : $(x^2-x-2) + (3x+9) = ?$ x^2+2x+7
2. Factorise le dénominateur $x^2+x-6$ (x+3)(x-2)
3. Le numérateur $x^2+2x+7$ peut-il être factorisé ? non
4. Quelle est la forme simplifiée finale ? (x^2+2x+7)/((x+3)(x-2))
15.
Pour quelle valeur de $k$ a-t-on $\frac{2x+k}{x-4} + \frac{x-2}{x-4} = \frac{3x+5}{x-4}$ ?
1. a) $k = 7$
2. b) $k = 5$
3. c) $k = -3$
4. d) $k = 3$
Réponse: $k = 7$
$(2x+k) + (x-2) = 3x + k - 2$ . Pour que cela égale $3x + 5$ , il faut $k - 2 = 5$ , donc $k = 7$ .
16.
Additionne : $\frac{5}{2x-1} + \frac{-3}{2x-1}$
Réponse: 2/(2x-1)
1. Que vaut $5 + (-3)$ ? 2
2. Quel est le dénominateur ? 2x-1
3. Écris la réponse finale 2/(2x-1)