Puissance d'une puissance

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Simplifie $(x^3)^4$ .
1. a) $x^{7}$
2. b) $x^{81}$
3. c) $x^{12}$
4. d) $4x^{3}$
Réponse: $x^{12}$
$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$ . La réponse $x^7$ vient de l'addition des exposants, qui est la règle pour $x^3 \cdot x^4$ .
2.
$(2^3)^2 = 2^{\square}$ . Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 6
$(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$ . Vérification : $8^2 = 64$ et $2^6 = 64$ .
3.
Simplifie $(a^5)^2$ en l'écrivant d'abord sous forme de produit.
Réponse: a^10
1. Combien de facteurs $a^5$ y a-t-il dans $(a^5)^2$ ? 2
2. $a^5 \cdot a^5 = a^{?}$ (additionne les exposants) 10
3. Vérifie avec le raccourci : $5 \cdot 2 = ?$ 10
4.
Calcule $(3^2)^2$ .
Réponse: 81
$(3^2)^2 = 9^2 = 81$ . Avec la règle : $3^{2 \cdot 2} = 3^4 = 81$ .
5.
Quelle expression est égale à $(5y)^2$ ?
1. a) $25y^2$
2. b) $25y$
3. c) $10y^2$
4. d) $5y^2$
Réponse: $25y^2$
$(5y)^2 = 5^2 \cdot y^2 = 25y^2$ . $5y^2$ oublie d'élever le $5$ au carré, et $10y^2$ multiplie $5$ par $2$ au lieu de l'élever au carré.
6.
Compare $(2^2)^3$ et $(2^3)^2$ .
Réponse: 64
1. $(2^2)^3 = 2^{?}$ 6
2. $(2^3)^2 = 2^{?}$ 6
3. Les deux valent $2^6$ . Combien vaut $2^6$ ? 64
7.
$(2x^3)^4 = \square \, x^{12}$ . Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 16
Chaque facteur reçoit l'exposant : $(2x^3)^4 = 2^4 \cdot (x^3)^4 = 16x^{12}$ .
8.
Quelle est la valeur de $2^{3^2}$ (sans parenthèses) ?
1. a)512
2. b)128
3. c)36
4. d)64
Réponse: 512
Sans parenthèses, l'exposant du haut passe en premier : $3^2 = 9$ , donc $2^{3^2} = 2^9 = 512$ . La valeur $64$ correspond à $(2^3)^2 = 2^6$ .
9.
Simplifie $(3x^2)^3$ .
Réponse: 27x^6
1. Élève le coefficient : $3^3 = ?$ 27
2. $(x^2)^3 = x^{?}$ 6
3. Vérifie avec $x = 1$ : $(3 \cdot 1^2)^3 = ?$ 27
10.
Simplifie $\left(\frac{x^2}{3}\right)^3$ .
Réponse: x^6/27
1. Numérateur : $(x^2)^3 = x^{?}$ 6
2. Dénominateur : $3^3 = ?$ 27
3. Vérifie avec $x = 3$ : $\frac{3^6}{27} = \frac{729}{27} = ?$ 27
11.
$(10^2)^3 \cdot 10^4 = 10^{\square}$ . Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 10
$(10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6$ , et $10^6 \cdot 10^4 = 10^{6+4} = 10^{10}$ .
12.
Quelle affirmation est vraie pour tous les nombres $a$ et $b$ ?
1. a) $(2a)^3 = 2a^3$
2. b) $(a + b)^2 = a^2 + b^2$
3. c) $(ab)^2 = a^2 b^2$
4. d) $(a^2)^3 = a^5$
Réponse: $(ab)^2 = a^2 b^2$
Seule $(ab)^2 = a^2 b^2$ est toujours vraie. En fait, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , $(a^2)^3 = a^6$ et $(2a)^3 = 8a^3$ .
13.
Montre avec des nombres que $(3 + 4)^2 \neq 3^2 + 4^2$ .
Réponse: 24
1. $(3 + 4)^2 = 7^2 = ?$ 49
2. $3^2 + 4^2 = ?$ 25
3. Combien manque-t-il ? $49 - 25 = ?$ 24
14.
Simplifie $\frac{(x^4)^3 \cdot x^2}{(x^3)^4}$ .
Réponse: x^2
1. $(x^4)^3 = x^{?}$ 12
2. $x^{12} \cdot x^2 = x^{?}$ 14
3. $(x^3)^4 = x^{?}$ 12
4. $\frac{x^{14}}{x^{12}} = x^{?}$ 2
15.
$(2a^2b^3)^4 = 16a^8 b^{\square}$ . Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 12
$(2a^2b^3)^4 = 2^4 \cdot a^{2 \cdot 4} \cdot b^{3 \cdot 4} = 16a^8b^{12}$ . Chacun des trois facteurs est élevé à la puissance.
16.
Simplifie $(2x^2y)^3 \cdot (xy^2)^2$ .
Réponse: 8x^8y^7
1. Coefficient de $(2x^2y)^3$ : $2^3 = ?$ 8
2. Exposant de $x$ dans $(2x^2y)^3$ 6
3. Exposant de $y$ dans $(xy^2)^2$ 4
4. Exposant total de $x$ après la multiplication : $x^6 \cdot x^2 = x^{?}$ 8
5. Exposant total de $y$ après la multiplication : $y^3 \cdot y^4 = y^{?}$ 7
17.
Simplifie $\left(\frac{2x^3}{y^2}\right)^3$ .
1. a) $\frac{6x^9}{y^6}$
2. b) $\frac{2x^9}{y^6}$
3. c) $\frac{8x^6}{y^5}$
4. d) $\frac{8x^9}{y^6}$
Réponse: $\frac{8x^9}{y^6}$
$\left(\frac{2x^3}{y^2}\right)^3 = \frac{2^3 \cdot x^{3 \cdot 3}}{y^{2 \cdot 3}} = \frac{8x^9}{y^6}$ . $6x^9$ multiplie $2$ par $3$ , $x^6$ et $y^5$ additionnent les exposants, et $2x^9$ oublie le coefficient.
18.
Un cube a des arêtes de longueur $3 \cdot 10^2$ cm, donc son volume est $(3 \cdot 10^2)^3$ cm³. Calcule le volume.
Réponse: 27000000
1. $3^3 = ?$ 27
2. $(10^2)^3 = 10^{?}$ 6
3. Écris le volume $27 \cdot 10^6$ cm³ comme un nombre ordinaire (chiffres seulement) 27000000