Produit de puissances de même base

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle expression est égale à $5^2 \cdot 5^6$ ?
1. a) $5^8$
2. b) $10^8$
3. c) $5^{12}$
4. d) $25^8$
Réponse: $5^8$
Même base $5$ , donc on additionne les exposants : $5^{2+6} = 5^8$ . $5^{12}$ multiplie les exposants, et $25^8$ et $10^8$ changent la base.
2.
$2^3 \cdot 2^4 = 2^{\square}$ . Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 7
$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$ . Vérification : $8 \cdot 16 = 128 = 2^7$ .
3.
Quel produit peut s'écrire comme une seule puissance avec la règle du produit de puissances de même base ?
1. a) $2^3 \cdot 5^2$
2. b) $5^2 \cdot 3^3$
3. c) $7^3 \cdot 7^5$
4. d) $2^4 + 2^3$
Réponse: $7^3 \cdot 7^5$
Seul $7^3 \cdot 7^5$ est un produit de même base : $7^{3+5} = 7^8$ . $2^3 \cdot 5^2$ et $5^2 \cdot 3^3$ ont des bases différentes, et $2^4 + 2^3$ est une somme, pas un produit.
4.
$x \cdot x^6 = x^{\square}$ . Quel est l'exposant ?
Réponse: 7
$x = x^1$ , donc $x^1 \cdot x^6 = x^{1+6} = x^7$ .
5.
Écris $3^2 \cdot 3^3$ comme une seule puissance et calcule sa valeur.
Réponse: 243
1. Combien de facteurs 3 y a-t-il dans $3^2$ ? 2
2. Combien de facteurs 3 y a-t-il dans $3^3$ ? 3
3. En tout, cela fait $2 + 3$ facteurs. Complète $3^2 \cdot 3^3 = 3^{\square}$ . 5
4. Quelle est la valeur de $3^5$ ? 243
6.
Simplifie $10^2 \cdot 10^4$ et écris le résultat comme un nombre ordinaire.
Réponse: 1000000
1. Les deux puissances ont la base 10. Additionne les exposants $2 + 4$ . 6
2. Écris $10^6$ comme un nombre ordinaire. 1000000
7.
Simplifie $4x^3 \cdot 2x^5$ .
1. a) $8x^{15}$
2. b) $8x^8$
3. c) $6x^8$
4. d) $8x^2$
Réponse: $8x^8$
On multiplie les coefficients : $4 \cdot 2 = 8$ . On additionne les exposants : $x^{3+5} = x^8$ . Donc $4x^3 \cdot 2x^5 = 8x^8$ .
8.
$y^4 \cdot y^2 \cdot y^3 = y^{\square}$ . Quel est l'exposant ?
Réponse: 9
$4 + 2 + 3 = 9$ , donc le produit vaut $y^9$ .
9.
Sam écrit $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$ . Qu'est-ce qui ne va pas ?
1. a)Il aurait dû multiplier les exposants
2. b)Il aurait dû soustraire les exposants
3. c)Rien, le résultat est juste
4. d)Il a multiplié les bases au lieu de garder la base 2
Réponse: Il a multiplié les bases au lieu de garder la base 2
La base doit rester 2 : $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$ . Le résultat de Sam, $4^7 = 16\,384$ , est bien trop grand. L'addition des exposants, $3 + 4 = 7$ , était juste, seule la base a été changée.
10.
Simplifie $3x^2 \cdot 4x^3$ , puis calcule sa valeur pour $x = 2$ .
Réponse: 384
1. Multiplie les coefficients $3 \cdot 4$ . 12
2. Additionne les exposants de $x$ : $2 + 3$ . 5
3. Le produit est donc $12x^5$ . Quelle est sa valeur pour $x = 2$ ? 384
11.
Simplifie $5a \cdot 2a^4$ .
Réponse: 10a^5
1. Multiplie les coefficients $5 \cdot 2$ . 10
2. Quel est l'exposant de $a$ dans $5a$ ? 1
3. Additionne les exposants de $a$ : $1 + 4$ . 5
12.
Un rectangle mesure $2^5$ cm de long et $2^3$ cm de large. Calcule son aire en cm².
Réponse: 256
1. L'aire vaut $2^5 \cdot 2^3$ . Écris-la sous la forme $2^{\square}$ : quel est l'exposant ? 8
2. Combien vaut $2^8$ ? 256
13.
$3^{\square} \cdot 3^4 = 3^{10}$ . Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 6
Les exposants s'additionnent : $\square + 4 = 10$ , donc l'exposant manquant est $6$ . Vérification : $3^6 \cdot 3^4 = 3^{6+4} = 3^{10}$ .
14.
Quel produit n'est PAS égal à $2^{10}$ ?
1. a) $2 \cdot 2^9$
2. b) $2^4 \cdot 2^6$
3. c) $2^2 \cdot 2^5$
4. d) $2^5 \cdot 2^5$
Réponse: $2^2 \cdot 2^5$
$2^2 \cdot 2^5 = 2^{2+5} = 2^7 = 128$ , et non $2^{10} = 1024$ . Obtenir $10$ ici voudrait dire multiplier les exposants $2 \cdot 5$ , c'est l'erreur classique. Les autres sont justes : $4 + 6 = 10$ , $1 + 9 = 10$ et $5 + 5 = 10$ .
15.
Calcule la valeur de $(-2)^3 \cdot (-2)^4$ .
Réponse: -128
$(-2)^3 \cdot (-2)^4 = (-2)^{3+4} = (-2)^7$ . Sept facteurs négatifs donnent un résultat négatif : $(-2)^7 = -128$ . Vérification : $-8 \cdot 16 = -128$ .
16.
Simplifie $2a^3b \cdot 5a^4b^2$ .
Réponse: 10a^7b^3
1. Multiplie les coefficients $2 \cdot 5$ . 10
2. Exposant de $a$ : additionne $3 + 4$ . 7
3. Exposant de $b$ : additionne les exposants de $b$ et de $b^2$ . 3
17.
Écris $4^3 \cdot 2^5$ comme une seule puissance de 2 et calcule sa valeur.
Réponse: 2048
1. Écris 4 comme une puissance de 2 : $4 = 2^{\square}$ . Quel est l'exposant ? 2
2. $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2$ . Écris-le sous la forme $2^{\square}$ : quel est l'exposant ? 6
3. Maintenant $2^6 \cdot 2^5 = 2^{\square}$ . Quel est l'exposant ? 11
4. Combien vaut $2^{11}$ ? 2048
18.
Trouve $n$ si $x^n \cdot x^3 \cdot x^n = x^{11}$ .
Réponse: 4
1. Les exposants s'additionnent : $n + 3 + n = 11$ . Combien vaut $2n$ ? 8
2. Combien vaut $n$ ? 4