Quotient de puissances de même base

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Simplifie $\frac{7^9}{7^3}$ .
1. a) $7^6$
2. b) $7^3$
3. c) $7^{12}$
4. d) $1^6$
Réponse: $7^6$
$\frac{7^9}{7^3} = 7^{9-3} = 7^6$ . On soustrait les exposants, on ne les divise pas ( $7^3$ ) et on ne les additionne pas ( $7^{12}$ ), et la base reste $7$ .
2.
$\frac{x^{11}}{x^4} = x^{\square}$ . Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 7
$4$ des $11$ facteurs $x$ se simplifient, il en reste donc $11 - 4 = 7$ : $x^7$ .
3.
Simplifie $\frac{2^8}{2^5}$ et calcule sa valeur.
Réponse: 8
1. Soustrais les exposants : $8 - 5$ 3
2. Calcule $2^3$ 8
4.
Quelle expression est égale à $\frac{a^{10}}{a^2}$ (avec $a \neq 0$ ) ?
1. a) $a^{12}$
2. b) $a^5$
3. c) $a^{20}$
4. d) $a^8$
Réponse: $a^8$
$\frac{a^{10}}{a^2} = a^{10-2} = a^8$ . Le choix $a^5$ vient d'une division des exposants, l'erreur la plus fréquente.
5.
Calcule $\frac{10^9}{10^6}$ .
Réponse: 1000
$\frac{10^9}{10^6} = 10^{9-6} = 10^3 = 1000$ .
6.
Simplifie $\frac{y^7}{y^2}$ en barrant les facteurs communs.
Réponse: y^5
1. Combien de facteurs $y$ y a-t-il en haut ? 7
2. Combien de facteurs se simplifient ? 2
3. Combien de facteurs $y$ restent ? C'est le nouvel exposant. 5
7.
Ana a simplifié $\frac{x^{12}}{x^3}$ et a obtenu $x^4$ . Quelle erreur a-t-elle faite ?
1. a)Elle a divisé les bases
2. b)Elle a soustrait les exposants dans le mauvais ordre
3. c)Elle a divisé les exposants au lieu de les soustraire
4. d)Rien, $x^4$ est correct
Réponse: Elle a divisé les exposants au lieu de les soustraire
$12 \div 3 = 4$ : Ana a divisé les exposants. La bonne réponse est $\frac{x^{12}}{x^3} = x^{12-3} = x^9$ .
8.
$\frac{15x^8}{3x^5} = \square\, x^3$ . Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 5
$15 \div 3 = 5$ et $x^{8-5} = x^3$ , donc $\frac{15x^8}{3x^5} = 5x^3$ .
9.
Simplifie $\frac{20m^9}{5m^4}$ .
Réponse: 4m^5
1. Divise les coefficients : $20 \div 5$ 4
2. Quel est l'exposant de $m$ dans le résultat ? 5
10.
Simplifie $\frac{24a^7b^4}{8a^3b}$ .
1. a) $16a^4b^3$
2. b) $3a^4b^3$
3. c) $3a^{10}b^5$
4. d) $3a^4b^4$
Réponse: $3a^4b^3$
$24 \div 8 = 3$ , $a^{7-3} = a^4$ et $b^{4-1} = b^3$ , donc le résultat est $3a^4b^3$ .
11.
Calcule $\frac{3^{10}}{3^7}$ .
Réponse: 27
$\frac{3^{10}}{3^7} = 3^{10-7} = 3^3 = 27$ , sans calculer $3^{10} = 59049$ .
12.
Simplifie $\frac{18p^6q^5}{6p^2q^3}$ .
Réponse: 3p^4q^2
1. Divise les coefficients : $18 \div 6$ 3
2. Quel est l'exposant de $p$ dans le résultat ? 4
3. Quel est l'exposant de $q$ dans le résultat ? 2
13.
Simplifie $\frac{4^3 \cdot 4^5}{4^6}$ et calcule sa valeur.
Réponse: 16
1. Règle du produit en haut : quel est l'exposant de $4^3 \cdot 4^5$ ? 8
2. Règle du quotient : quel est l'exposant de $\frac{4^8}{4^6}$ ? 2
3. Calcule $4^2$ 16
14.
Quelle expression n'est PAS égale à $x^6$ (avec $x \neq 0$ ) ?
1. a) $\frac{x^2 \cdot x^7}{x^3}$
2. b) $\frac{x^9}{x^3}$
3. c) $\frac{x^{12}}{x^2}$
4. d) $\frac{x^{10}}{x^4}$
Réponse: $\frac{x^{12}}{x^2}$
$\frac{x^9}{x^3} = x^6$ , $\frac{x^2 \cdot x^7}{x^3} = x^{9-3} = x^6$ et $\frac{x^{10}}{x^4} = x^6$ , mais $\frac{x^{12}}{x^2} = x^{10}$ . ( $12$ divisé par $2$ donne $6$ , c'est le piège.)
15.
$\frac{x^{\square}}{x^4} = x^9$ . Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 13
La règle donne $\square - 4 = 9$ , donc $\square = 13$ . Vérification : $\frac{x^{13}}{x^4} = x^{13-4} = x^9$ .
16.
Simplifie $\frac{6x^5 \cdot 3x^4}{9x^7}$ .
Réponse: 2x^2
1. Multiplie les coefficients du numérateur : $6 \cdot 3$ 18
2. Quel est l'exposant de $x^5 \cdot x^4$ ? 9
3. Divise les coefficients : $18 \div 9$ 2
4. Quel est l'exposant de $x$ dans le résultat ? 2
17.
Simplifie $\frac{5a^3 \cdot 4a^6}{10a^2 \cdot a^4}$ .
Réponse: 2a^3
1. Coefficient du numérateur : $5 \cdot 4$ 20
2. Exposant de $a$ au numérateur 9
3. Exposant de $a$ au dénominateur ( $a^2 \cdot a^4$ ) 6
4. Coefficient du résultat : $20 \div 10$ 2
5. Exposant de $a$ dans le résultat 3
18.
Un disque dur contient $2^{40}$ octets. Un film occupe $2^{32}$ octets. Combien de films tiennent sur le disque ?
Réponse: 256
1. Quel est l'exposant de $\frac{2^{40}}{2^{32}}$ ? 8
2. Calcule $2^8$ 256