Guide de l'enseignant: La relation d'Euler pour les polyèdres

Découvre la relation d'Euler S - A + F = 2, compte méthodiquement sommets, arêtes et faces, et utilise la formule pour trouver un nombre manquant ou repérer un solide impossible.

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Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Compter méthodiquement les sommets, arêtes et faces d'un polyèdre
Énoncer et vérifier la relation d'Euler $S - A + F = 2$ pour les polyèdres convexes
Compter les arêtes à partir des côtés des faces : $A$ = (somme des côtés des faces) $\div 2$
Trouver un nombre manquant et décider si des nombres donnés peuvent correspondre à un polyèdre
Établir et utiliser les nombres pour les prismes et pyramides à base à $n$ côtés, et reconnaître quand la relation ne s'applique pas

Prérequis

• Faces, arêtes et sommets des solides (leçon Introduction aux solides 3D)
• Les prismes et leurs bases (leçon Prismes)
• Noms des polygones selon leur nombre de côtés (triangle, pentagone, hexagone, ...)
• Résoudre des équations du premier degré simples comme $3n = 36$

Amorces de discussion

1. Compte les sommets, arêtes et faces d'un cube. Les trois nombres semblent-ils liés ? Quel calcul pourrais-tu faire avec eux pour obtenir un joli résultat ?
2. Pourquoi est-il plus simple de compter les arêtes en comptant d'abord les côtés de chaque face ? Où est le piège ?
3. Si tu coupes un coin d'un cube, comment changent S, A et F ? Est-ce que S - A + F change ?
4. Une amie affirme qu'un polyèdre a 10 sommets, 16 arêtes et 7 faces. Comment lui montrer que c'est impossible sans le construire ?

Idées reçues courantes

La relation est une coïncidence qui ne marche que pour le cube et d'autres solides connus

Remédiation: Fais inventer aux élèves leurs propres polyèdres (couper des coins, coller deux solides) et vérifier la relation à chaque fois. Couper un coin, par exemple, ajoute autant à S et F réunis qu'à A.

La somme des côtés des faces est le nombre d'arêtes

Remédiation: Fais colorier chaque arête d'un cube en carton en touchant les deux faces auxquelles elle appartient. Chaque arête est touchée deux fois, une fois depuis chaque face.

Tout solide vérifie S - A + F = 2, y compris les cylindres et les anneaux

Remédiation: Montre un modèle de cadre photo et comptez ensemble : 16 - 32 + 16 = 0. Explique que les surfaces courbes ne sont pas des polygones et que les trous changent le résultat.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer avec de vrais modèles d'un cube, d'un prisme triangulaire et d'une pyramide à base carrée, et marquer les sommets avec des gommettes
• Utiliser un tableau de comptage avec des lignes séparées pour le haut, le bas et les côtés
• S'entraîner d'abord à remplacer dans $S - A + F$ avant de chercher un nombre manquant

Pour les élèves au niveau:

• Trouver des nombres manquants avec la relation d'Euler et les côtés des faces
• Compléter un tableau de prismes et de pyramides pour $n = 3$ à $8$ et repérer les régularités
• Décider si des solides décrits peuvent exister

Pour les élèves avancés:

• Montrer algébriquement que $S - A + F = 2$ pour tout prisme et toute pyramide
• Démontrer qu'aucun polyèdre n'a exactement $7$ arêtes (utiliser $2A \geq 3F$ et $2A \geq 3S$ )
• Étudier des solides à $2$ trous et conjecturer la valeur de $S - A + F$

Alignement aux standards

HSG.MG.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.MG.A.1)
Utiliser les formes géométriques, leurs mesures et leurs propriétés pour décrire des objets
MP7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)
Chercher et utiliser des structures
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construire des arguments solides et critiquer le raisonnement des autres

Ressources de la leçon

visualTableau d'Euler
Les élèves comptent S, A et F pour des prismes, des pyramides et un octaèdre et constatent que S - A + F donne 2 à chaque fois
activityPolyèdres en pailles et pâte à modeler
Des groupes construisent des polyèdres avec des pailles (arêtes) et des boules de pâte (sommets), comptent tout et testent la relation
worksheetNombres manquants et solides impossibles
Trouver le nombre manquant, repérer les solides qui ne peuvent pas exister et compléter des tableaux de prismes et de pyramides

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un polyèdre est un solide dont la surface est formée uniquement de polygones plans. Tout polyèdre a trois nombres caractéristiques :

$S$ = nombre de sommets
$A$ = nombre d'arêtes (segments où deux faces se rejoignent)
$F$ = nombre de faces (les polygones plans)

La relation d'Euler affirme que pour tout polyèdre convexe :

S - A + F = 2

Pour un cube :

S = 8

A = 12

F = 6

, et

8 - 12 + 6 = 2

Compter les arêtes méthodiquement : chaque arête appartient à exactement deux faces. Si tu additionnes le nombre de côtés de toutes les faces, chaque arête est donc comptée deux fois :

A = \frac{\text{somme des côtés de toutes les faces}}{2}

Les prismes et pyramides dont la base a

n

côtés suivent des règles simples :

Prisme : $S = 2n$ , $A = 3n$ , $F = n + 2$
Pyramide : $S = n + 1$ , $A = 2n$ , $F = n + 1$

La relation n'est valable que pour les solides sans trou. Un solide en forme de cadre photo (un solide traversé par un trou) donne

S - A + F = 0

au lieu de

2

Exemples résolus

Compte les sommets, arêtes et faces d'un prisme hexagonal et vérifie la relation d'Euler.

Compte les sommets étage par étage

L'hexagone du haut a

6

sommets et l'hexagone du bas en a

6

→

S = 6 + 6 = 12

Compte les arêtes par groupes

6

arêtes en haut,

6

en bas,

6

arêtes verticales qui les relient →

A = 6 + 6 + 6 = 18

Compte les faces

2

bases hexagonales et

6

faces latérales rectangulaires →

F = 2 + 6 = 8

Vérifie la relation d'Euler

S - A + F = 12 - 18 + 8

→

2

Réponse: $S = 12$ , $A = 18$ , $F = 8$ et $12 - 18 + 8 = 2$ : la relation d'Euler est vérifiée.

Erreurs courantes

Additionner les côtés de toutes les faces et prendre ce total pour le nombre d'arêtes

Pourquoi c'est faux: Chaque arête est la ligne de rencontre de deux faces, elle est donc comptée une fois pour chacune d'elles.

Correct: Divise le nombre total de côtés des faces par 2. Un cube a $6 \times 4 = 24$ côtés de faces mais seulement $24 \div 2 = 12$ arêtes.

Se tromper de signes, par exemple écrire $S + A - F = 2$

Pourquoi c'est faux: Ce sont les arêtes qu'on soustrait. Avec les mauvais signes, un cube donne $8 + 12 - 6 = 14$ .

Correct: On additionne sommets et faces, on soustrait les arêtes : $S - A + F = 2$ . Vérifie sur un cube : $8 - 12 + 6 = 2$ .

Appliquer la relation aux cylindres, cônes, sphères ou solides troués

Pourquoi c'est faux: Les surfaces courbes ne sont pas des polygones, et un trou change le résultat (un cadre photo donne $0$ ).

Correct: N'utilise $S - A + F = 2$ que pour des polyèdres sans trou : faces planes polygonales, arêtes droites, une seule surface fermée.

Croire que trois nombres quelconques vérifiant $S - A + F = 2$ décrivent un vrai polyèdre

Pourquoi c'est faux: Tout polyèdre passe ce test, mais le passer ne suffit pas. Par exemple $S = 4{,}5$ , $A = 7{,}5$ , $F = 5$ donne aussi $2$ .

Correct: Vérifie aussi que les nombres sont entiers et que la somme des côtés des faces est paire ( $2A$ ). Cinq triangles ont $15$ côtés, un nombre impair, donc aucun polyèdre n'est formé d'exactement cinq triangles (un polyèdre a toujours un nombre pair de faces ayant un nombre impair de côtés).

Pourquoi c'est important

La relation d'Euler relie trois nombres qui semblent sans rapport, et elle fonctionne pour tout polyèdre convexe, quelle que soit sa taille ou sa forme.

Vérifier tes comptages : si tu comptes $S$ , $A$ et $F$ et que tu n'obtiens pas $2$ , tu t'es trompé quelque part (ou le solide a un trou)
Trouver un nombre manquant : deux des trois nombres suffisent pour obtenir le troisième sans compter
Tester des modèles : ingénieurs et graphistes 3D l'utilisent pour vérifier qu'un maillage fermé n'a ni trou ni fente
Sport et sciences : les pièces d'un ballon de football classique, les formes des cristaux et les structures des dômes géodésiques la respectent toutes

C'est aussi ton premier pas vers la topologie, la partie des mathématiques qui étudie ce qui reste inchangé quand on étire ou qu'on déforme une figure.

Applications dans le monde réel

Concevoir un ballon de football

Le ballon de football classique est cousu à partir de $12$ pentagones et $20$ hexagones. Grâce aux côtés des faces et à la relation d'Euler, les concepteurs savent combien il y a de coutures et de points de couture avant de découper la moindre pièce.

Exemple:

Chaque couture relie deux pièces, donc le nombre de coutures est la moitié du nombre de côtés des pièces.

1Essaie par toi-même

Un ballon de football a $12$ pièces pentagonales et $20$ pièces hexagonales. Les coutures sont les arêtes, les points où trois coutures se rejoignent sont les sommets.

Combien le ballon a-t-il de sommets ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $S = 2 + A - F$ avec le nombre de coutures $A$ et de pièces $F$ :

Modèles 3D dans les jeux et l'animation

Les personnages et objets des jeux vidéo sont construits à partir de maillages fermés de triangles. Les logiciels vérifient la relation d'Euler pour repérer les maillages avec des fentes, des sommets en double ou des trous accidentels avant qu'ils ne provoquent des bugs graphiques.

Exemple:

Un maillage fermé de $4$ triangles (un tétraèdre) a $6$ arêtes et $4$ sommets : $4 - 6 + 4 = 2$ .

2Essaie par toi-même

Une graphiste 3D construit un modèle fermé, sans trou, avec $500$ triangles.

Combien de sommets le modèle doit-il avoir ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve $A$ à partir des côtés des triangles, puis $S = 2 + A - F$ :

Les cristaux des minéraux

Beaucoup de cristaux poussent sous forme de polyèdres. Un cristal de quartz fixé sur une roche a la forme d'un prisme hexagonal surmonté d'une pyramide hexagonale à son extrémité libre, et les minéralogistes décrivent les formes cristallines avec ce genre de comptages.

Exemple:

Une pointe de quartz a $6$ faces latérales rectangulaires, $6$ faces triangulaires au sommet et $1$ face hexagonale posée sur la roche.

3Essaie par toi-même

Un cristal de quartz est un prisme hexagonal surmonté d'une pyramide hexagonale. Il a $13$ faces et $24$ arêtes.

Combien le cristal a-t-il de sommets ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $S - A + F = 2$ pour trouver $S$ :

Points clés

1Un polyèdre est un solide à faces polygonales planes ; compte ses sommets $S$ , ses arêtes $A$ et ses faces $F$
2Relation d'Euler : $S - A + F = 2$ pour tout polyèdre convexe (et tout polyèdre sans trou)
3Compte méthodiquement par groupes (haut, bas, côtés) et vérifie tes comptages avec la relation
4Chaque arête appartient à deux faces, donc $A$ = (somme des côtés de toutes les faces) $\div 2$
5Prisme à base à $n$ côtés : $S = 2n$ , $A = 3n$ , $F = n + 2$ ; pyramide : $S = n + 1$ , $A = 2n$ , $F = n + 1$
6Des nombres qui ne donnent pas $2$ ne peuvent pas appartenir à un polyèdre convexe ; un solide avec un trou donne $S - A + F = 0$

Questions fréquentes

La relation d'Euler fonctionne-t-elle pour les polyèdres non convexes ?

Oui, tant que le solide n'a pas de trou (on pourrait le gonfler comme un ballon jusqu'à obtenir une sphère). Un bloc en forme de L, par exemple, donne toujours

S - A + F = 2

. Les solides troués, comme un cadre photo, donnent une autre valeur.

Pourquoi le résultat est-il toujours 2 ?

Imagine qu'on enlève une face et qu'on aplatit le reste sur une table. Découper les faces en triangles puis retirer les triangles du bord un par un ne change jamais

S - A + F

, et on finit avec un seul triangle (

3 - 3 + 1 = 1

). En rajoutant la face enlevée, on obtient

1 + 1 = 2

. Le nombre

2

est lié à la forme de sphère de la surface, pas au solide particulier.

La relation marche-t-elle pour un cylindre ou un cône ?

Non. Ils ont des surfaces courbes, ce ne sont donc pas des polyèdres, et leurs faces et arêtes ne se comptent pas de la même façon. La relation d'Euler concerne les solides formés uniquement de polygones plans.

Qui a découvert cette relation ?

Leonhard Euler l'a décrite dans une lettre en 1750 et l'a publiée dans les années suivantes. René Descartes avait noté un résultat très proche vers 1630, mais ses notes n'ont été retrouvées que bien plus tard.

Glossaire

Polyèdre: Un solide dont la surface est formée uniquement de polygones plans
Face: L'un des polygones plans qui forment la surface d'un polyèdre
Arête: Un segment où deux faces d'un polyèdre se rejoignent
Sommet: Un point où des arêtes se rejoignent (un coin du solide)
Polyèdre convexe: Un polyèdre sans creux : le segment entre deux de ses points reste toujours à l'intérieur
Relation d'Euler: La règle $S - A + F = 2$ pour tout polyèdre convexe

Carte des formules

Relation d'Euler

S - A + F = 2

$S$ = sommets, $A$ = arêtes, $F$ = faces d'un polyèdre convexe

Arêtes à partir des faces

A = \frac{\text{somme des côtés des faces}}{2}

Chaque arête est partagée par exactement deux faces

Prisme à base à n côtés

S = 2n,\; A = 3n,\; F = n + 2

$n$ = nombre de côtés de la base

Pyramide à base à n côtés

S = n + 1,\; A = 2n,\; F = n + 1

$n$ = nombre de côtés de la base

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Pour les élèves au niveau:

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Modèles 3D dans les jeux et l'animation

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Questions fréquentes

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Carte des formules

Relation d'Euler

Arêtes à partir des faces

Prisme à base à n côtés

Pyramide à base à n côtés

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