Aire des demi-cercles et quarts de cercle

Apprends à calculer l'aire des demi-cercles et quarts de cercle en utilisant la formule de l'aire du cercle.

Intermédiaire25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un demi-cercle est la moitié d'un cercle, et un quart de cercle est un quart d'un cercle.
Puisque l'aire d'un cercle complet est A=πr2A = \pi r^2, nous pouvons trouver l'aire des parties d'un cercle :
Demi-cercle :
Ademi-cercle=πr22A_{\text{demi-cercle}} = \frac{\pi r^2}{2}
Quart de cercle :
Aquart=πr24A_{\text{quart}} = \frac{\pi r^2}{4}
La clé est de d'abord calculer l'aire du cercle complet, puis de prendre la fraction appropriée.

Essaie tout de suite

Quelle est la formule de l'aire d'un demi-cercle ?

Exemples résolus

Une fenêtre semi-circulaire a un rayon de 4 mètres. Quelle est son aire ?
1

Identifie la formule du demi-cercle

A=πr22A = \frac{\pi r^2}{2} → Formule du demi-cercle
2

Substitue le rayon

A=π×422A = \frac{\pi \times 4^2}{2} → A=π×162A = \frac{\pi \times 16}{2}
3

Simplifie

A=16π2=8πA = \frac{16\pi}{2} = 8\pi → A=8πA = 8\pi mètres carrés
4

Calcule la valeur décimale

A=8×3,14159≈25,13A = 8 \times 3,14159 \approx 25,13 → A≈25,13A \approx 25,13 mètres carrés

Erreurs courantes

Oublier de diviser par 2 pour les demi-cercles ou par 4 pour les quarts de cercle

Pourquoi c'est faux: Les élèves calculent l'aire du cercle complet mais oublient de prendre la fraction.

Correct: Demande-toi toujours : quelle fraction du cercle est-ce ? Demi-cercle = diviser par 2, quart de cercle = diviser par 4.

Confondre le diamètre avec le rayon dans la formule

Pourquoi c'est faux: Parfois les problèmes donnent le diamètre, mais la formule utilise le rayon.

Correct: Si le diamètre est donné, divise d'abord par 2 pour obtenir le rayon avant d'utiliser la formule.

Mettre pi au carré au lieu du rayon

Pourquoi c'est faux: Écrire π2r\pi^2 r au lieu de πr2\pi r^2.

Correct: Rappelle-toi : seul le rayon est au carré. Pi est simplement multiplié : π×r2\pi \times r^2.

Visuel interactif

Aire et périmètre

r = 5

Aire39.27

A=πr22=π⋅522≈39.27A = \dfrac{\pi r^2}{2} = \dfrac{\pi \cdot 5^2}{2} \approx 39.27

Périmètre25.71

P=πr+2r=π⋅5+10≈25.71P = \pi r + 2r = \pi \cdot 5 + 10 \approx 25.71

Un demi-cercle : la moitié de l'aire, et le périmètre compte aussi le diamètre droit.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Quelle est la formule de l'aire d'un demi-cercle ?

Pourquoi c'est important

Les demi-cercles et quarts de cercle apparaissent partout dans le design et l'architecture :
  • Architecture : Les fenêtres et portes en arc sont souvent semi-circulaires
  • Sports : L'arc des trois points au basketball, les surfaces de réparation au football
  • Design : Les logos, les parts de pizza et les diagrammes circulaires utilisent des fractions de cercle
  • Ingénierie : Les tunnels, ponts et dômes intègrent souvent des formes semi-circulaires
Comprendre ces formes aide à calculer les matériaux, les surfaces à peindre et à concevoir des espaces.

Applications dans le monde réel

Architecture : Fenêtres en arc

Les architectes utilisent des fenêtres semi-circulaires pour ajouter de l'élégance aux bâtiments. Calculer l'aire aide à déterminer les coûts du verre.

Exemple:

Une fenêtre de cathédrale a un sommet semi-circulaire avec un rayon de 2 mètres. L'aire du verre est π×42=2π≈6,28\frac{\pi \times 4}{2} = 2\pi \approx 6,28 mètres carrés.

1Essaie par toi-même

Une église romane a 8 fenêtres semi-circulaires, chacune avec un rayon de 1,5 mètres.

Quelle est l'aire totale du verre pour toutes les fenêtres ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule une fenêtre, puis multiplie par 8 :

Sports : Zone des trois points au basketball

La zone des trois points au basketball comprend des quarts de cercle aux coins de la ligne de fond.

Exemple:

Chaque coin de la ligne de fond est un quart de cercle avec un rayon de 1,22 mètres. Aire = π×1,2224≈1,17\frac{\pi \times 1,22^2}{4} \approx 1,17 mètres carrés.

2Essaie par toi-même

Un terrain de basketball a deux quarts de cercle à chaque ligne de fond (4 au total), chacun avec un rayon de 1,22 mètres.

Quelle est l'aire combinée des quatre régions en quart de cercle ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Quatre quarts de cercle = un cercle complet :

Points clés

  • 1Un demi-cercle est la moitié d'un cercle : A=πr22A = \frac{\pi r^2}{2}
  • 2Un quart de cercle est un quart d'un cercle : A=πr24A = \frac{\pi r^2}{4}
  • 3Calcule d'abord l'aire du cercle complet (πr2\pi r^2), puis prends la fraction appropriée
  • 4Si le diamètre est donné, divise par 2 pour trouver le rayon avant de calculer

Questions fréquentes

Divise le diamètre par 2 pour obtenir le rayon, puis utilise la formule. Par exemple, si un demi-cercle a un diamètre de 10 cm, le rayon est de 5 cm, et l'aire est π×252=12,5π\frac{\pi \times 25}{2} = 12,5\pi centimètres carrés.
Divise le diamètre par 2 pour obtenir le rayon, puis utilise la formule. Par exemple, si un demi-cercle a un diamètre de 10 cm, le rayon est de 5 cm, et l'aire est π×252=12,5π\frac{\pi \times 25}{2} = 12,5\pi centimètres carrés.
Oui, 3,14 est une approximation courante. Pour plus de précision, utilise 3,14159 ou la touche pi de ta calculatrice. Laisse les réponses en termes de pi quand des valeurs exactes sont nécessaires.
Le même principe s'applique ! Pour un tiers de cercle, divise par 3 : A=πr23A = \frac{\pi r^2}{3}. Pour toute fraction, multiplie l'aire du cercle complet par cette fraction.

Glossaire

Demi-cercle
La moitié d'un cercle, formée en coupant un cercle le long de son diamètre
Quart de cercle
Un quart d'un cercle, formé par deux rayons perpendiculaires
Rayon
La distance du centre d'un cercle à n'importe quel point sur son bord
Diamètre
La distance à travers un cercle passant par son centre (le double du rayon)
Pi (π)
Le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, environ 3,14159

Carte des formules

Cercle complet

A=πr2A = \pi r^2

Aire d'un cercle complet

Demi-cercle

A=πr22A = \frac{\pi r^2}{2}

La moitié de l'aire d'un cercle complet

Quart de cercle

A=πr24A = \frac{\pi r^2}{4}

Un quart de l'aire d'un cercle complet

Défi du jourUn problème, trois essais

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