Longueur d'arc

Apprends à calculer la longueur d'un arc en utilisant l'angle au centre et le rayon.

Intermédiaire25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un arc est une portion de la circonférence d'un cercle. La longueur d'arc est la distance le long de la ligne courbe de l'arc.
Pour trouver la longueur d'arc, on utilise la formule :
s=θ360°×2πrs = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r
où :
  • ss = longueur d'arc
  • θ\theta = angle au centre (en degrés)
  • rr = rayon du cercle
Alternativement, si l'angle est en radians :
s=θ×rs = \theta \times r
Cette formule plus simple fonctionne parce que les radians sont définis à partir de la longueur d'arc !

Essaie tout de suite

Quelle est la longueur d'arc d'un cercle complet de rayon 55 cm ?

Exemples résolus

Trouve la longueur d'arc d'un secteur avec un angle au centre de 60°60° et un rayon de 99 cm.
1

Identifier les valeurs données

θ=60°\theta = 60°, r=9r = 9 cm → Valeurs identifiées
2

Écrire la formule de longueur d'arc

s=θ360°×2πrs = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r → Formule prête
3

Substituer les valeurs

s=60°360°×2π×9s = \frac{60°}{360°} \times 2\pi \times 9 → Valeurs substituées
4

Simplifier la fraction

s=16×18πs = \frac{1}{6} \times 18\pi → 60360=16\frac{60}{360} = \frac{1}{6}
5

Calculer le résultat

s=3π≈9,42s = 3\pi \approx 9{,}42 cm → 3π3\pi cm

Erreurs courantes

Utiliser la formule des degrés quand l'angle est en radians

Pourquoi c'est faux: Les formules sont différentes ! s=θ360°×2πrs = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r ne fonctionne que pour les degrés.

Correct: Pour les radians, utilise la formule plus simple : s=θ×rs = \theta \times r. Vérifie toujours l'unité de l'angle d'abord.

Oublier de convertir l'angle dans la bonne unité

Pourquoi c'est faux: Mélanger les degrés et les radians donne des réponses incorrectes.

Correct: Si donné en degrés mais besoin de radians : multiplier par π180\frac{\pi}{180}. Si donné en radians mais besoin de degrés : multiplier par 180π\frac{180}{\pi}.

Confondre la longueur d'arc avec l'aire du secteur

Pourquoi c'est faux: La longueur d'arc est une distance (linéaire), tandis que l'aire du secteur est en unités carrées.

Correct: Formule de longueur d'arc : s=θ360°×2πrs = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r. Formule d'aire du secteur : A=θ360°×πr2A = \frac{\theta}{360°} \times \pi r^2.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-10-50510-10-50510xy
  • longueur de l'arc s = 9,42
  • s en fonction de π = 3π
  • θ en radians = π/3
arc s

Cercle trigonométrique

Degrés

0°

Radians

0

Clique et fais glisser pour faire tourner l'angle autour du cercle trigonométrique.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Quelle est la longueur d'arc d'un cercle complet de rayon 55 cm ?

Pourquoi c'est important

La longueur d'arc apparaît partout dans le monde réel :
  • Navigation : Les pilotes et les marins calculent les distances le long des trajectoires courbes sur la surface de la Terre
  • Ingénierie : La conception de routes courbes, de ponts et de montagnes russes nécessite des calculs précis de longueur d'arc
  • Sports : La distance parcourue par un coureur dans le virage d'une piste
  • Aiguilles d'horloge : Calculer la distance parcourue par la pointe d'une aiguille d'horloge en un temps donné
Comprendre la longueur d'arc relie la géométrie aux mesures du monde réel et te prépare à des sujets plus avancés comme le calcul infinitésimal.

Applications dans le monde réel

Aiguilles d'horloge

La pointe de l'aiguille des minutes d'une horloge trace un arc au fil du temps.

Exemple:

Si une aiguille des minutes mesure 1010 cm de long, elle parcourt 2π×10=20π≈62,82\pi \times 10 = 20\pi \approx 62{,}8 cm en une heure complète.

1Essaie par toi-même

Une horloge a une aiguille des minutes de 1212 cm de long. Quelle distance parcourt la pointe en 1515 minutes ?

Quelle est la longueur d'arc ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

En 15 minutes, l'aiguille se déplace de 90°90°. Calcule : 90360×2π×12\frac{90}{360} \times 2\pi \times 12

Piste de course courbe

Les portions courbes d'une piste de course sont des arcs que les athlètes doivent parcourir.

Exemple:

Une piste de 400400 m a deux extrémités semi-circulaires. Chaque demi-cercle représente la moitié d'un cercle complet, donc les coureurs parcourent π×r\pi \times r sur chaque section courbe.

2Essaie par toi-même

Une piste de course a des extrémités semi-circulaires avec un rayon de 3535 m. Quelle distance un coureur parcourt-il sur une extrémité courbe ?

Trouve la longueur d'une section semi-circulaire.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Un demi-cercle est 180°180°. Calcule : 180360×2π×35\frac{180}{360} \times 2\pi \times 35

Points clés

  • 1La longueur d'arc est la distance le long de la portion courbe d'un cercle
  • 2Pour les angles en degrés : s=θ360°×2πrs = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r
  • 3Pour les angles en radians : s=θ×rs = \theta \times r
  • 4La longueur d'arc est une fraction de la circonférence complète, proportionnelle à l'angle au centre
  • 5Vérifie toujours si l'angle est en degrés ou en radians avant de choisir la formule

Questions fréquentes

Les radians sont définis à partir de la longueur d'arc ! Un radian est l'angle où la longueur d'arc est égale au rayon. Donc s=θrs = \theta r découle directement de cette définition.
Les radians sont définis à partir de la longueur d'arc ! Un radian est l'angle où la longueur d'arc est égale au rayon. Donc s=θrs = \theta r découle directement de cette définition.
Pour convertir des degrés en radians : multiplier par π180\frac{\pi}{180}. Pour convertir des radians en degrés : multiplier par 180π\frac{180}{\pi}. Par exemple, 90°=90×π180=π290° = 90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} radians.
Un cercle complet a un angle de 360°360° (ou 2π2\pi radians). La longueur d'arc est la circonférence entière : s=2πrs = 2\pi r.

Glossaire

Arc
Une portion continue de la circonférence d'un cercle
Longueur d'arc
La distance mesurée le long d'un arc
Angle au centre
L'angle formé au centre d'un cercle par deux rayons
Radian
Une unité d'angle où la longueur d'arc est égale au rayon (environ 57,3°57{,}3°)
Secteur
La région délimitée par deux rayons et un arc
Défi du jourUn problème, trois essais

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