Aire d'un anneau circulaire

Apprends à calculer l'aire d'un anneau - la région en forme d'anneau entre deux cercles concentriques.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un anneau (ou couronne circulaire) est la région entre deux cercles concentriques - des cercles qui partagent le même centre mais ont des rayons différents.
Pour trouver l'aire d'un anneau :
  1. 1.Calcule l'aire du cercle extérieur (rayon plus grand RR)
  2. 2.Calcule l'aire du cercle intérieur (rayon plus petit rr)
  3. 3.Soustrais l'aire intérieure de l'aire extérieure
Aanneau=πR2−πr2=π(R2−r2)A_{\text{anneau}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)
Où :
  • RR = rayon du cercle extérieur
  • rr = rayon du cercle intérieur
  • Le résultat est en unités carrées

Essaie tout de suite

Qu'est-ce qu'un anneau circulaire ?

Exemples résolus

Trouve l'aire d'un anneau avec un rayon extérieur R=5R = 5 cm et un rayon intérieur r=3r = 3 cm.
1

Identifie les rayons

Rayon extérieur R=5R = 5 cm, Rayon intérieur r=3r = 3 cm → R=5R = 5, r=3r = 3
2

Applique la formule de l'anneau

A=π(R2−r2)A = \pi(R^2 - r^2) → A=π(52−32)A = \pi(5^2 - 3^2)
3

Calcule les carrés

52=255^2 = 25 et 32=93^2 = 9 → A=π(25−9)A = \pi(25 - 9)
4

Soustrais et multiplie par pi

A=π×16=16πA = \pi \times 16 = 16\pi → A=16π≈50,27A = 16\pi \approx 50,27 cm2^2

Erreurs courantes

Soustraire les rayons au lieu des aires : A=π(R−r)2A = \pi(R - r)^2

Pourquoi c'est faux: Cela calcule l'aire d'un cercle de rayon (R−r)(R - r), pas l'anneau entre deux cercles.

Correct: Toujours soustraire les aires : A=πR2−πr2=π(R2−r2)A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)

Confondre diamètre et rayon

Pourquoi c'est faux: Les problèmes donnent souvent des diamètres. Utiliser le diamètre au lieu du rayon donne une aire 4 fois trop grande.

Correct: Toujours convertir le diamètre en rayon d'abord : r=d÷2r = d \div 2

Oublier que RR doit être plus grand que rr

Pourquoi c'est faux: Si tu inverses accidentellement les rayons, tu obtiens une aire négative, ce qui est impossible.

Correct: Toujours identifier quel cercle est extérieur (RR plus grand) et lequel est intérieur (rr plus petit)

Visuel interactif

Aire et périmètre

R = 6r = 3

Aire84.82

A=π(R2−r2)=π(62−32)≈84.82A = \pi(R^2 - r^2) = \pi(6^2 - 3^2) \approx 84.82

Périmètre56.55

P=2πR+2πr≈56.55P = 2\pi R + 2\pi r \approx 56.55

La couronne est le grand disque moins le trou : π(R² − r²).

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Qu'est-ce qu'un anneau circulaire ?

Pourquoi c'est important

Les anneaux apparaissent fréquemment dans la vie quotidienne et l'ingénierie :
  • Sections de tuyaux : Les tuyaux d'eau, les tuyaux d'arrosage et les tubes sont creux - leur section est un anneau
  • Rondelles et joints : Les rondelles métalliques utilisées avec les boulons sont des anneaux
  • CD et DVD : La zone enregistrable d'un disque est un anneau (le trou central ne peut pas stocker de données)
  • Cibles de fléchettes : Chaque anneau de score sur une cible est un anneau
  • Cernes des arbres : Les anneaux de croissance annuels visibles dans les sections d'arbres
Comprendre l'aire d'un anneau aide les ingénieurs à concevoir des tuyaux, les architectes à planifier des allées circulaires et les scientifiques à mesurer les modèles de croissance.

Applications dans le monde réel

Conception d'une allée circulaire

Les architectes paysagistes utilisent les calculs d'anneaux pour concevoir des chemins circulaires autour des fontaines ou des jardins.

Exemple:

Une fontaine circulaire a un rayon de 4 mètres. Une allée de 2 mètres de large l'entoure. L'aire de l'allée est π(62−42)=20π≈62,83\pi(6^2 - 4^2) = 20\pi \approx 62,83 m2^2.

1Essaie par toi-même

Un jardin circulaire a un rayon de 3 mètres. Tu veux ajouter un chemin de 1,5 mètre de large autour.

Quelle est l'aire du chemin ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise la formule de l'anneau avec R=4,5R = 4,5 et r=3r = 3 :

Capacité de stockage des CD et DVD

L'aire enregistrable des disques optiques est un anneau car le centre a un trou et une zone non enregistrable.

Exemple:

Un DVD standard a un rayon d'enregistrement intérieur de 24 mm et un rayon d'enregistrement extérieur de 58 mm. L'aire de données est π(582−242)=2788π≈8759\pi(58^2 - 24^2) = 2788\pi \approx 8 759 mm2^2.

2Essaie par toi-même

Un mini-CD a un rayon d'enregistrement extérieur de 40 mm et un rayon d'enregistrement intérieur de 22 mm.

Quelle est l'aire enregistrable ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule π(402−222)\pi(40^2 - 22^2) :

Points clés

  • 1Un anneau est la région entre deux cercles concentriques (même centre, rayons différents)
  • 2Formule de l'aire : A=π(R2−r2)A = \pi(R^2 - r^2) où RR est le rayon extérieur et rr le rayon intérieur
  • 3Cela équivaut à l'aire du cercle extérieur moins l'aire du cercle intérieur : πR2−πr2\pi R^2 - \pi r^2
  • 4Toujours identifier quel rayon est le plus grand avant de calculer
  • 5Convertir les diamètres en rayons avant d'utiliser la formule

Questions fréquentes

Divise chaque diamètre par 2 pour obtenir les rayons. Si le diamètre extérieur est DD et le diamètre intérieur est dd, alors A=π((D2)2−(d2)2)=π4(D2−d2)A = \pi\left(\left(\frac{D}{2}\right)^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2\right) = \frac{\pi}{4}(D^2 - d^2).
Divise chaque diamètre par 2 pour obtenir les rayons. Si le diamètre extérieur est DD et le diamètre intérieur est dd, alors A=π((D2)2−(d2)2)=π4(D2−d2)A = \pi\left(\left(\frac{D}{2}\right)^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2\right) = \frac{\pi}{4}(D^2 - d^2).
Oui ! La formule fonctionne qu'il y ait un cercle intérieur réel ou juste un trou. L'anneau est la région en forme d'anneau quelle que soit ce qu'il y a à l'intérieur.
C'est la même forme ! 'Anneau' ou 'couronne circulaire' est le terme mathématique, tandis que 'rondelle' est le nom courant pour l'objet physique (comme les anneaux métalliques utilisés avec les boulons).

Glossaire

Anneau (couronne)
Une région en forme d'anneau entre deux cercles concentriques
Cercles concentriques
Des cercles qui partagent le même point central mais ont des rayons différents
Rayon extérieur (R)
Le rayon du plus grand cercle qui forme le bord extérieur de l'anneau
Rayon intérieur (r)
Le rayon du plus petit cercle qui forme le bord intérieur (le trou) de l'anneau
Défi du jourUn problème, trois essais

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