Similitude CCC et CAC

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quel triangle est semblable à un triangle de côtés $2$ , $3$ et $4$ ?
1. a)4; 6; 8
2. b)4; 5; 6
3. c)3; 4; 5
4. d)4; 6; 9
Réponse: 4; 6; 8
$\frac{4}{2} = \frac{6}{3} = \frac{8}{4} = 2$ , donc le triangle de côtés $4$ , $6$ , $8$ est semblable par la similitude CCC avec $k = 2$ . Pour $3$ , $4$ , $5$ les rapports valent $1{,}5$ , $1{,}33$ , $1{,}25$ , pour $4$ , $5$ , $6$ ils valent $2$ , $1{,}67$ , $1{,}5$ et pour $4$ , $6$ , $9$ ils valent $2$ , $2$ , $2{,}25$ .
2.
$\triangle ABC$ a pour côtés $5$ , $7$ , $8$ et $\triangle DEF$ a pour côtés $15$ , $21$ , $24$ . Les triangles sont semblables. Quel est le rapport de similitude $k$ de $\triangle ABC$ à $\triangle DEF$ ?
Réponse: 3
$\frac{15}{5} = \frac{21}{7} = \frac{24}{8} = 3$ , donc $k = 3$ .
3.
Un triangle a pour côtés $3$ , $5$ , $6$ et un autre $9$ , $15$ , $18$ . Vérifie les trois rapports avec la similitude CCC et trouve le rapport de similitude.
Réponse: 3
1. Que vaut le rapport des plus petits côtés, $\frac{9}{3}$ ? 3
2. Que vaut le rapport des côtés moyens, $\frac{15}{5}$ ? 3
3. Que vaut le rapport des plus grands côtés, $\frac{18}{6}$ ? 3
4. Les trois rapports sont-ils égaux, ce qui rend les triangles semblables ? Écris 1 pour oui ou 0 pour non. 1
4.
Pour $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ , tu sais que $\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = 2$ et $\angle A = \angle D$ . Quel cas prouve que les triangles sont semblables ?
1. a)Similitude CAC
2. b)Similitude AA
3. c)Similitude CCC
4. d)Pas assez d'informations
Réponse: Similitude CAC
Deux paires de côtés ont le même rapport $2$ , et $\angle A$ est l'angle compris entre $AB$ et $AC$ ( $\angle D$ entre $DE$ et $DF$ ). C'est la similitude CAC. AA demande deux angles, CCC trois côtés.
5.
$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ avec un rapport de similitude $k = 2$ de $\triangle ABC$ à $\triangle DEF$ . Si $AB = 6$ , combien mesure $DE$ ?
Réponse: 12
$DE = k \cdot AB = 2 \cdot 6 = 12$ .
6.
$\triangle ABC$ a pour côtés $8$ , $4$ , $6$ et $\triangle DEF$ a pour côtés $9$ , $12$ , $6$ . Associe correctement les côtés et trouve le rapport de similitude de $\triangle ABC$ à $\triangle DEF$ .
Réponse: 1.5
1. Quel est le plus petit côté de $\triangle ABC$ ? 4
2. Quel est le plus petit côté de $\triangle DEF$ ? 6
3. Que vaut le rapport des plus petits côtés, $\frac{6}{4}$ ? 1.5
4. Vérifie avec les plus grands côtés : que vaut $\frac{12}{8}$ ? 1.5
7.
Deux triangles sont semblables avec un rapport de similitude $k = 3$ . Le plus petit a une aire de $5$ cm². Quelle est l'aire du plus grand ?
1. a)45 cm²
2. b)30 cm²
3. c)15 cm²
4. d)9 cm²
Réponse: 45 cm²
Le rapport des aires est $k^2 = 3^2 = 9$ , donc l'aire vaut $5 \cdot 9 = 45$ cm². $15$ cm² serait l'erreur de prendre $k$ au lieu de $k^2$ .
8.
Deux triangles semblables ont un rapport de similitude $k = 2{,}5$ du plus petit au plus grand. Le plus petit a un périmètre de $18$ cm. Quel est le périmètre du plus grand, en cm ?
Réponse: 45
Les périmètres sont multipliés par le même facteur que les côtés : $18 \cdot 2{,}5 = 45$ cm.
9.
$\triangle ABC$ : $AB = 3$ , $AC = 5$ , $\angle A = 120°$ , $BC = 7$ . $\triangle DEF$ : $DE = 9$ , $DF = 15$ , $\angle D = 120°$ . Montre que les triangles sont semblables et calcule $EF$ .
Réponse: 21
1. Que vaut $\frac{DE}{AB}$ ? 3
2. Que vaut $\frac{DF}{AC}$ ? 3
3. $\angle A$ est-il l'angle compris entre $AB$ et $AC$ ? Écris 1 pour oui ou 0 pour non. 1
4. Les triangles sont semblables par CAC avec $k = 3$ . Que vaut $EF = 3 \cdot BC$ ? 21
10.
$\triangle ABC$ : $AB = 6$ , $AC = 9$ , $\angle A = 40°$ . $\triangle DEF$ : $DE = 8$ , $DF = 12$ , $\angle D = 40°$ . Que peux-tu conclure ?
1. a)Pas assez d'informations
2. b)Semblables par la similitude CCC, $k = \frac{4}{3}$
3. c)Semblables par la similitude CAC, $k = \frac{4}{3}$
4. d)Pas semblables, les rapports des côtés sont différents
Réponse: Semblables par la similitude CAC, $k = \frac{4}{3}$
$\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ et $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ , et les angles de $40°$ sont entre ces côtés. Donc les triangles sont semblables par la similitude CAC avec $k = \frac{4}{3}$ . CCC est impossible car les troisièmes côtés ne sont pas donnés.
11.
$\triangle ABC$ a pour côtés $6$ , $8$ , $10$ . Un triangle semblable a pour côtés $9$ , $12$ et $x$ , où $x$ est son plus grand côté. Calcule $x$ .
Réponse: 15
$k = \frac{9}{6} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ , donc $x = 10 \cdot 1{,}5 = 15$ .
12.
Les triangles de côtés $4$ , $6$ , $9$ et $6$ , $x$ , $13{,}5$ sont semblables (côtés du plus court au plus long). Calcule $x$ .
Réponse: 9
1. Que vaut $k$ avec les plus petits côtés, $\frac{6}{4}$ ? 1.5
2. Vérifie avec les plus grands côtés : que vaut $\frac{13{,}5}{9}$ ? 1.5
3. Que vaut le côté moyen $x = 6 \cdot k$ ? 9
13.
Dans $\triangle ABC$ , le point $D$ est sur $AB$ et le point $E$ sur $AC$ . $AD = 3$ , $AB = 9$ , $AE = 4$ , $AC = 12$ et $DE = 5$ . Calcule $BC$ .
Réponse: 15
1. Que vaut $\frac{AD}{AB}$ ? Écris-le sous forme de fraction. 1/3
2. Que vaut $\frac{AE}{AC}$ ? Écris-le sous forme de fraction. 1/3
3. Par CAC, $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ . Quel est le rapport de similitude de $\triangle ADE$ à $\triangle ABC$ ? 3
4. Que vaut $BC = 3 \cdot DE$ ? 15
14.
$\triangle ABC$ : $AB = 4$ , $BC = 6$ , $\angle C = 30°$ . $\triangle DEF$ : $DE = 8$ , $EF = 12$ , $\angle F = 30°$ . Les triangles sont-ils semblables ?
1. a)Oui, par la similitude CAC
2. b)Non, les rapports des côtés sont différents
3. c)Impossible à décider : l'angle n'est pas entre les deux côtés donnés
4. d)Oui, par la similitude CCC
Réponse: Impossible à décider : l'angle n'est pas entre les deux côtés donnés
Les deux rapports valent $2$ , mais l'angle entre $AB$ et $BC$ est $\angle B$ , pas $\angle C$ . Deux côtés et un angle non compris (CCA) ne fixent pas la forme : ici $\angle A$ pourrait valoir environ $49°$ ou environ $131°$ . La similitude CAC ne s'applique donc pas et tu ne peux pas décider.
15.
$\triangle ABC$ : $AB = 8$ , $BC = 12$ , $\angle B = 55°$ . $\triangle DEF$ : $DE = 6$ , $EF = x$ , $\angle E = 55°$ . Pour quelle valeur de $x$ les triangles sont-ils semblables par la similitude CAC (avec $AB \leftrightarrow DE$ et $BC \leftrightarrow EF$ ) ?
Réponse: 9
$k = \frac{DE}{AB} = \frac{6}{8} = 0{,}75$ . Les angles compris $B$ et $E$ sont égaux, il faut donc $\frac{x}{12} = 0{,}75$ , ce qui donne $x = 9$ .
16.
$\triangle ABC$ a pour côtés $5$ , $12$ , $13$ et un angle droit entre les côtés $5$ et $12$ . Un triangle semblable $\triangle DEF$ a un plus petit côté de $15$ . Calcule le périmètre puis l'aire de $\triangle DEF$ .
Réponse: 270
1. Quel est le rapport de similitude $k$ de $\triangle ABC$ à $\triangle DEF$ ? 3
2. Quel est le périmètre de $\triangle ABC$ ? 30
3. Quel est le périmètre de $\triangle DEF$ ? 90
4. Quelle est l'aire de $\triangle ABC$ ? (Les côtés $5$ et $12$ de l'angle droit sont la base et la hauteur.) 30
5. Quelle est l'aire de $\triangle DEF$ ? 270
17.
Dans $\triangle ABC$ , le point $D$ est sur $AB$ et le point $E$ sur $AC$ . $AD = 6$ , $DB = 4$ , $AE = 9$ , $EC = 6$ et $DE = 12$ . Montre que $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ et calcule $BC$ .
Réponse: 20
1. Combien mesure le côté entier $AB$ ? 10
2. Combien mesure le côté entier $AC$ ? 15
3. Que vaut $\frac{AD}{AB}$ en nombre décimal ? 0.6
4. Que vaut $\frac{AE}{AC}$ en nombre décimal ? 0.6
5. Même rapport et angle commun $A$ : CAC. Que vaut $BC = \frac{DE}{0{,}6}$ ? 20
18.
Deux triangles semblables ont des aires de $20$ cm² et $45$ cm². Le plus petit côté du petit triangle mesure $4$ cm. Combien mesure le plus petit côté du grand triangle, en cm ?
Réponse: 6
1. Que vaut le rapport des aires $\frac{45}{20}$ ? 2.25
2. Le rapport des aires vaut $k^2$ . Que vaut $k$ ? 1.5
3. Combien mesure le plus petit côté du grand triangle, $4 \cdot k$ ? 6