Guide de l'enseignant: Similitude CCC et CAC

Démontre que deux triangles sont semblables grâce aux rapports des côtés (CCC) ou à deux rapports et l'angle compris (CAC), puis utilise le rapport de similitude.

Présenter la leçonVoir la page élève

Utiliser cette leçon en classe

Gratuit, sans compte élève.

Partager avec les élèves

Les élèves ouvrent la leçon et s'entraînent avec une correction immédiate.

Fiche d'exercices à imprimer

Tous les exercices sur papier, avec un corrigé séparé.

Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Congruence & Similitude. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Énoncer les cas de similitude CCC et CAC et les utiliser pour démontrer que deux triangles sont semblables
Associer correctement les côtés homologues en les rangeant du plus court au plus long
Trouver le rapport de similitude et l'utiliser pour calculer des longueurs manquantes
Utiliser le rapport des périmètres $k$ et le rapport des aires $k^2$ de triangles semblables
Décider si la similitude AA, CCC ou CAC s'applique, y compris pour des triangles emboîtés avec un angle commun

Prérequis

• Introduction à la similitude : figures semblables et rapport de similitude
• Similitude AA : démontrer que des triangles sont semblables avec deux paires d'angles
• Congruence CCC et Congruence CAC : côtés égaux et angle compris
• Simplifier des rapports et résoudre des proportions simples

Amorces de discussion

1. Pourquoi trois rapports de côtés suffisent-ils pour prouver la similitude, alors que trois angles ne disent rien de la taille ?
2. La congruence CCC et la similitude CCC portent le même nom. Qu'est-ce qui est pareil, qu'est-ce qui est différent ?
3. Si tu doubles chaque côté d'un triangle, pourquoi son aire ne double-t-elle pas simplement ?
4. Peux-tu dessiner deux triangles différents avec deux côtés de $4$ et $6$ et un angle de $30°$ qui n'est pas entre eux ?

Idées reçues courantes

Associer les côtés dans l'ordre où ils apparaissent dans l'énoncé

Remédiation: Demande aux élèves de réécrire les côtés des deux triangles rangés du plus court au plus long avant chaque vérification CCC, et montre l'exemple $4, 6, 8$ contre $12, 9, 6$ , où l'ordre donné produit trois rapports différents.

N'importe quel angle plus deux côtés proportionnels, c'est CAC

Remédiation: Fais construire aux élèves deux triangles différents avec les mêmes deux côtés et un angle non compris (pailles ou logiciel de géométrie). Insiste sur le mot compris : l'angle doit être entre les deux côtés.

L'aire est multipliée par $k$ comme les côtés

Remédiation: Dessine un triangle sur papier quadrillé, agrandis-le avec $k = 2$ et compte les carreaux : l'aire est $4$ fois plus grande. Recommence avec $k = 3$ pour arriver à $9$ .

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Donner les longueurs déjà rangées et avec des rapports entiers
• Utiliser un tableau de rapports à trois colonnes (court, moyen, long) pour chaque vérification CCC
• Colorier l'angle compris et ses deux côtés dans les exercices CAC

Pour les élèves au niveau:

• Mélanger des exercices CCC, CAC et AA et faire nommer le cas d'abord
• Calculer des côtés manquants dans des triangles emboîtés avec un angle commun
• Utiliser le rapport des périmètres et le rapport des aires dans des problèmes

Pour les élèves avancés:

• Trouver le rapport de similitude à partir d'un rapport des aires, par exemple $k = \sqrt{\frac{75}{12}} = 2{,}5$
• Démontrer qu'une parallèle à un côté d'un triangle forme un triangle semblable, d'abord avec AA puis avec CAC
• Chercher quand le cas CCA fixe quand même la forme (angle opposé au plus long côté)

Alignement aux standards

HSG.SRT.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.A.2)
Utiliser la définition de la similitude par les transformations pour décider si deux figures sont semblables
HSG.SRT.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.B.5)
Utiliser les cas de congruence et de similitude des triangles pour résoudre des problèmes et démontrer des relations dans des figures
7.G.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.A.1)
Résoudre des problèmes de dessins à l'échelle, y compris le calcul de longueurs et d'aires réelles

Ressources de la leçon

visualPaire de triangles semblables
Les élèves modifient le rapport de similitude avec le curseur et passent de AA à CCC et CAC pour voir quels éléments chaque cas marque
activityTriangles en pailles
Des groupes coupent des pailles de longueurs 4, 6, 8 et 6, 9, 12 (en cm), construisent les deux triangles et vérifient que les angles sont égaux
worksheetQuel cas de similitude ?
Douze paires de triangles avec des données : les élèves choisissent AA, CCC, CAC ou pas assez d'informations, puis trouvent le rapport de similitude

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Avec la similitude AA, tu as démontré que des triangles sont semblables uniquement avec des angles. Maintenant, tu vas le faire avec les côtés. Rappel : des triangles semblables ont la même forme, leurs côtés homologues sont dans le même rapport, le rapport de similitude

k

Similitude CCC (Côté-Côté-Côté) : si les trois paires de côtés homologues sont dans le même rapport, les triangles sont semblables.

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA} = k \quad\Rightarrow\quad \triangle ABC \sim \triangle DEF

Similitude CAC (Côté-Angle-Côté) : si deux paires de côtés homologues sont dans le même rapport et que l'angle compris (l'angle entre ces deux côtés) est de même mesure, les triangles sont semblables.

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = k \text{ et } \angle B = \angle E \quad\Rightarrow\quad \triangle ABC \sim \triangle DEF

Comment associer les côtés : quand tu ne connais que les longueurs, range les côtés de chaque triangle du plus court au plus long et associe-les dans cet ordre : le plus court avec le plus court, le moyen avec le moyen, le plus long avec le plus long.

Dès que tu sais que les triangles sont semblables :

chaque côté de l'image vaut $k$ fois le côté homologue
le rapport des périmètres est $k$
le rapport des aires est $k^2$

Comparaison avec les triangles congrus : la congruence CCC et CAC exige des côtés égaux (

k = 1

), la similitude CCC et CAC seulement des côtés proportionnels.

Exemples résolus

\triangle ABC

a pour côtés

AB = 4

BC = 6

CA = 8

\triangle DEF

a pour côtés

DE = 6

EF = 9

FD = 12

. Les triangles sont-ils semblables ?

Range les côtés de chaque triangle du plus court au plus long

\triangle ABC

4, 6, 8

\triangle DEF

6, 9, 12

→ Paires :

4 \leftrightarrow 6

6 \leftrightarrow 9

8 \leftrightarrow 12

Divise chaque côté de $\triangle DEF$ par le côté homologue de $\triangle ABC$

\frac{6}{4} = 1{,}5

\frac{9}{6} = 1{,}5

\frac{12}{8} = 1{,}5

→ Les trois rapports valent

1{,}5

Applique la similitude CCC

Trois rapports égaux, donc les côtés sont proportionnels →

\triangle ABC \sim \triangle DEF

k = 1{,}5

Réponse: Oui, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ par la similitude CCC, avec un rapport de similitude $k = 1{,}5$ .

Erreurs courantes

Associer les côtés dans l'ordre où ils sont écrits, par exemple $4, 6, 8$ avec $12, 9, 6$ , et obtenir les rapports $3$ , $1{,}5$ , $0{,}75$

Pourquoi c'est faux: L'ordre dans lequel les longueurs sont données n'indique pas quels côtés sont homologues. De mauvaises paires donnent des rapports différents, même pour des triangles semblables.

Correct: Range d'abord les deux triangles du plus court au plus long : $4, 6, 8$ et $6, 9, 12$ . Alors tous les rapports valent $1{,}5$ .

Utiliser CAC avec un angle qui n'est pas entre les deux côtés

Pourquoi c'est faux: Deux côtés proportionnels et un angle non compris (CCA) ne fixent pas la forme : deux triangles différents peuvent avoir les mêmes deux côtés et le même angle opposé à l'un d'eux.

Correct: Vérifie que l'angle égal est formé exactement par les deux côtés que tu as comparés. Sinon, la similitude CAC ne s'applique pas.

Croire que le rapport des aires vaut aussi $k$

Pourquoi c'est faux: Une aire, c'est une longueur fois une longueur, donc les deux facteurs sont multipliés par $k$ : l'aire est multipliée par $k \cdot k = k^2$ .

Correct: Rapport des périmètres $= k$ , rapport des aires $= k^2$ . Avec $k = 3$ , l'aire est $9$ fois plus grande, pas $3$ fois.

Diviser le grand par le petit pour une paire et le petit par le grand pour une autre, par exemple $\frac{6}{4} = 1{,}5$ mais $\frac{6}{9} \approx 0{,}67$

Pourquoi c'est faux: Les rapports semblent alors différents alors que les côtés sont proportionnels.

Correct: Divise toujours dans le même sens : côté de l'image sur côté de l'original (ou l'inverse pour chaque paire).

Pourquoi c'est important

Il est souvent plus facile de mesurer des longueurs que des angles, et c'est alors la similitude CCC ou CAC qu'il te faut :

Topographie : pour trouver la largeur d'un lac qu'on ne peut pas traverser, les géomètres tracent un petit triangle qui partage un angle avec un grand triangle et utilisent la similitude CAC
Ingénierie : la maquette d'une charpente ou d'un pont est construite avec toutes les longueurs multipliées par le même facteur, elle a donc exactement la même forme que l'original
Impression et design : quand on agrandit un logo, chaque longueur est multipliée par $k$ , mais l'encre ou le matériau nécessaire est multiplié par $k^2$
Vérifier un plan : un menuisier peut vérifier qu'un cadre triangulaire correspond au plan en comparant trois rapports de longueurs, sans rapporteur

Savoir que l'aire est multipliée par

k^2

(et non par

k

) évite aussi des erreurs coûteuses, comme acheter seulement deux fois plus de peinture pour un mur deux fois plus large et deux fois plus haut.

Applications dans le monde réel

Agrandir un logo

Les graphistes agrandissent un logo de sorte que chaque longueur soit multipliée par le même rapport. Le triangle agrandi est semblable à l'original par la similitude CCC, il garde donc exactement la même forme.

Exemple:

Un logo triangulaire de côtés $2$ cm, $3$ cm et $4$ cm est imprimé sur une affiche avec $k = 5$ : les côtés deviennent $10$ cm, $15$ cm et $20$ cm.

1Essaie par toi-même

Un logo triangulaire a pour côtés $3$ cm, $4$ cm et $6$ cm. Sur une banderole, son plus petit côté doit mesurer $7{,}5$ cm, et le logo doit garder sa forme.

Quelle est la longueur du plus grand côté du logo sur la banderole (en cm) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie le plus grand côté par le rapport de similitude :

Mesurer la largeur d'un lac

Les géomètres ne peuvent pas tendre un mètre ruban au-dessus de l'eau. Ils marquent deux points sur des lignes qui partent d'un sommet et utilisent le petit triangle qui partage l'angle de ce sommet avec le grand.

Exemple:

Depuis le point $A$ , deux chemins rectilignes longent le lac. Un petit triangle dont les côtés le long des deux chemins sont $\frac{1}{4}$ de ceux du grand partage l'angle en $A$ , donc la largeur du lac est $4$ fois la courte distance mesurée sur la terre ferme.

2Essaie par toi-même

Depuis le point $A$ , on a $AD = 20$ m et $AB = 60$ m le long d'un chemin, $AE = 25$ m et $AC = 75$ m le long de l'autre. $B$ et $C$ sont sur des rives opposées du lac. Sur la terre ferme, on mesure $DE = 18$ m.

Quelle est la largeur du lac, c'est-à-dire la distance $BC$ (en m) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie la distance mesurée $DE$ par le rapport de similitude :

Du tissu pour une plus grande voile

Les fabricants de voiles agrandissent ou réduisent des modèles de voiles éprouvés. La nouvelle voile est semblable à l'ancienne, mais le tissu nécessaire est multiplié par le rapport des aires $k^2$, pas par $k$.

Exemple:

Une voile dont chaque côté est $1{,}5$ fois plus long demande $1{,}5^2 = 2{,}25$ fois plus de tissu.

3Essaie par toi-même

Une petite voile triangulaire a pour côtés $3$ m, $4$ m et $5$ m et une aire de $6$ m². Une nouvelle voile a pour côtés $6$ m, $8$ m et $10$ m.

Combien de tissu (en m²) faut-il pour la nouvelle voile ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie l'ancienne aire par le rapport des aires :

Points clés

1Similitude CCC : si les trois paires de côtés homologues ont le même rapport $k$ , les triangles sont semblables
2Similitude CAC : deux paires de côtés de même rapport $k$ et un angle compris de même mesure rendent les triangles semblables
3Quand seules les longueurs sont données, range les côtés du plus court au plus long et associe-les dans cet ordre
4Le rapport de similitude $k$ est côté de l'image sur côté de l'original ; chaque côté manquant vaut $k$ fois son homologue
5Rapport des périmètres $= k$ , rapport des aires $= k^2$
6Choisis le cas selon les données : deux angles, c'est AA ; trois côtés, c'est CCC ; deux côtés et l'angle entre eux, c'est CAC

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre la similitude CCC et la congruence CCC ?

La congruence CCC exige trois paires de côtés égaux. La similitude CCC exige seulement trois paires de côtés dans le même rapport. La congruence est le cas particulier

k = 1

Pourquoi l'angle du cas CAC doit-il être l'angle compris ?

Les deux côtés et l'angle entre eux fixent complètement la forme. Si l'angle est ailleurs (CCA), deux triangles différents peuvent correspondre aux mêmes données, et tu ne peux pas conclure que les triangles sont semblables.

Quand utiliser AA, CCC ou CAC ?

Regarde ce qui est donné. Deux paires d'angles égaux : AA. Trois paires de longueurs : CCC. Deux paires de longueurs et l'angle entre elles : CAC. Dans des triangles emboîtés, un angle commun te donne souvent gratuitement l'angle pour AA ou CAC.

Est-ce important de savoir par quel triangle je divise ?

Seulement pour la valeur de

k

. Le grand sur le petit donne

k > 1

(agrandissement), le petit sur le grand donne

k < 1

(réduction). Les deux fonctionnent, à condition de diviser dans le même sens pour chaque paire.

Glossaire

Similitude CCC: Si les trois paires de côtés homologues de deux triangles sont dans le même rapport, les triangles sont semblables
Similitude CAC: Si deux paires de côtés homologues sont dans le même rapport et que les angles compris sont égaux, les triangles sont semblables
Angle compris: L'angle formé par deux côtés donnés d'un triangle, au sommet où ils se rejoignent
Rapport de similitude: Le rapport $k$ entre un côté d'une figure et le côté homologue d'une figure semblable
Côtés homologues: Côtés qui occupent la même position dans deux figures semblables ou congrues
Rapport des aires: Le rapport des aires de deux figures semblables, égal à $k^2$

Carte des formules

Similitude CCC

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA} = k \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

Les trois rapports des côtés sont égaux (côtés rangés du plus court au plus long)

Similitude CAC

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = k,\ \angle B = \angle E \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

Deux rapports des côtés sont égaux et les angles compris sont égaux

Rapport des périmètres

\frac{P_2}{P_1} = k

Les périmètres sont multipliés par le même facteur que les côtés

Rapport des aires

\frac{A_2}{A_1} = k^2

Les aires sont multipliées par le carré du rapport de similitude

Plus sur ce sujet

Guide de l'enseignant: Similitude CCC et CAC

Utiliser cette leçon en classe

Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Agrandir un logo

Mesurer la largeur d'un lac

Du tissu pour une plus grande voile

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Similitude CCC

Similitude CAC

Rapport des périmètres

Rapport des aires

Plus sur ce sujet

Introduction à la congruence

Introduction à la similitude

Triangles Congrus

Similitude AA