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Guide de l'enseignant: Représenter les inéquations linéaires

Apprends à représenter les inéquations sur un plan cartésien avec des droites frontières et des zones ombrées.

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Quiz de classe

10 questions sur Tracer des Inéquations. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Identifier la droite frontière d'une inéquation linéaire
  • Déterminer s'il faut utiliser une droite frontière pleine ou en pointillés
  • Utiliser un point test pour trouver la région solution
  • Représenter avec précision des inéquations linéaires à deux variables
  • Interpréter les régions solutions dans des contextes réels
Prérequis
  • • Représenter des équations linéaires sous forme pente-ordonnée
  • • Comprendre les symboles d'inégalité et leurs significations
  • • Placer des points sur un plan cartésien
  • • Résoudre des inéquations à une variable
Amorces de discussion
  • 1. Pourquoi utilisons-nous une droite en pointillés pour certaines inéquations mais une droite pleine pour d'autres ?
  • 2. Un point sur la droite frontière peut-il jamais être une solution ? Quand ?
  • 3. Comment expliquerais-tu à un ami pourquoi on teste un point pour déterminer l'ombrage ?
  • 4. Quelles situations de la vie réelle peuvent être modélisées par des inéquations linéaires ?
Idées reçues courantes

Toujours ombrer au-dessus pour 'supérieur à'

Remédiation: Montre un exemple où l'inéquation est réarrangée. Souligne que la méthode du point test fonctionne toujours, quelle que soit la forme.

La droite frontière est toujours une solution

Remédiation: Compare y>xy > x et y≥xy \geq x. Teste un point SUR la droite pour chacune et montre que les inégalités strictes excluent la droite.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Fournis une liste de vérification : 1) Trace la droite, 2) Pleine ou pointillés ?, 3) Teste (0,0)(0,0), 4) Ombre
  • • Commence avec des inéquations verticales et horizontales comme x>2x > 2 ou y≤3y \leq 3
  • • Utilise un code couleur : une couleur pour les droites pleines, une autre pour les pointillés

Pour les élèves au niveau:

  • • Représente des inéquations données sous forme pente-ordonnée
  • • Convertis de la forme standard à la forme pente-ordonnée avant de représenter
  • • Écris des inéquations à partir de graphes et de scénarios réels

Pour les élèves avancés:

  • • Représente des systèmes d'inéquations linéaires (trouve la région d'intersection)
  • • Explore la programmation linéaire avec optimisation
  • • Écris et représente des inéquations composées
Alignement aux standards
  • HSA.REI.D.12 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.D.12)

    Représente les solutions d'une inéquation linéaire à deux variables comme un demi-plan

  • HSA.CED.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.3)

    Représente les contraintes par des inéquations et interprète les solutions comme des options viables ou non viables

Ressources de la leçon
  • visualGrapheur d'inéquations interactif

    Les élèves ajustent la pente, l'ordonnée à l'origine et le symbole d'inégalité pour voir comment le graphe change

  • activityDéfi de l'ombrage

    Étant donné une droite frontière et un point test, déterminer l'ombrage correct

  • worksheetInéquations du monde réel

    Traduire des problèmes en inéquations linéaires et les représenter

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une inéquation linéaire est comme une équation linéaire, mais au lieu d'un signe égal, elle utilise un symbole d'inégalité : <<, >>, ≤\leq ou ≥\geq.
y<2x+3y≥−x+1y < 2x + 3 \quad\quad y \geq -x + 1
Pour représenter une inéquation linéaire :
  1. 1.Trace la droite frontière (traite l'inéquation comme une équation)
  2. 2.Détermine le style de la droite : droite pleine pour ≤\leq ou ≥\geq, droite en pointillés pour << ou >>
  3. 3.Ombre la région correcte : teste un point pour voir quel côté satisfait l'inéquation
L'ensemble des solutions comprend tous les points de la région ombrée qui rendent l'inéquation vraie.

Exemples résolus

Représente l'inéquation y>x−2y > x - 2 sur un plan cartésien.
1

Identifie la droite frontière

Traite-la comme y=x−2y = x - 2. Pente m=1m = 1, ordonnée à l'origine b=−2b = -2 → Frontière : y=x−2y = x - 2
2

Détermine le style de la droite

Puisque le symbole est >> (pas ≥\geq), les points SUR la droite NE SONT PAS inclus → Utilise une droite EN POINTILLÉS
3

Trace la droite frontière

Place l'ordonnée à l'origine (0,−2)(0, -2), utilise la pente pour trouver (1,−1)(1, -1), (2,0)(2, 0) → Droite en pointillés passant par ces points
4

Choisis un point test

Utilise (0,0)(0, 0) car c'est facile à calculer et pas sur la droite → Point test : (0,0)(0, 0)
5

Substitue dans l'inéquation

0>0−2⇒0>−20 > 0 - 2 \Rightarrow 0 > -2 VRAI ! → (0,0)(0, 0) est une solution
6

Ombre la région correcte

Puisque (0,0)(0, 0) fonctionne, ombre le côté contenant (0,0)(0, 0) → Ombre AU-DESSUS de la droite

Erreurs courantes

Utiliser le mauvais style de droite (pleine vs pointillés)

Pourquoi c'est faux: Les élèves oublient que << et >> nécessitent une droite en pointillés car les points SUR la droite ne sont pas des solutions.

Correct: Droite pleine pour ≤\leq et ≥\geq (droite incluse). Droite en pointillés pour << et >> (droite exclue).

Ombrer la mauvaise région

Pourquoi c'est faux: Les élèves ombrent au-dessus pour 'supérieur à' sans tester, mais l'inéquation pourrait être sous forme standard.

Correct: TOUJOURS tester un point ! Substitue un point simple comme (0,0)(0, 0) pour vérifier quel côté ombrer.

Oublier d'inverser l'inéquation lors de la multiplication par un négatif

Pourquoi c'est faux: Lors de la transformation sous forme pente-ordonnée, diviser par un nombre négatif inverse l'inéquation.

Correct: Si tu multiplies ou divises par un nombre négatif, inverse le symbole d'inégalité : −2y>6-2y > 6 devient y<−3y < -3.

Tester un point qui se trouve sur la droite frontière

Pourquoi c'est faux: Les points sur la droite ne permettent pas de déterminer quel côté ombrer.

Correct: Choisis un point test clairement PAS sur la droite. L'origine (0,0)(0, 0) est idéale sauf si la droite passe par elle.

Pourquoi c'est important

Les inéquations linéaires décrivent des contraintes et des limites réelles :
  • Budget : Tu peux dépenser *au maximum* 200€ en courses (x+y≤200x + y \leq 200)
  • Limites de vitesse : Tu dois rouler à *moins de* 130 km/h (v<130v < 130)
  • Production : Une usine produit *au moins* 100 unités par jour (p≥100p \geq 100)
  • Nutrition : Consomme *pas plus de* 2000 calories (c≤2000c \leq 2000)
Comprendre comment représenter ces inéquations aide à visualiser toutes les solutions possibles !

Applications dans le monde réel

Contraintes budgétaires

Lors de la planification des dépenses, tu as souvent un montant maximum à dépenser.

Exemple:

Si les billets de concert coûtent 75€ et la nourriture 25€ par personne, et que tu as 300€ au total, alors 75b+25n≤30075b + 25n \leq 300 où bb = billets, nn = achats de nourriture.

1Essaie par toi-même

Tu as 100€ à dépenser en livres (15€ chacun) et en magazines (5€ chacun).

Écris et représente l'inéquation, puis trouve si acheter 4 livres et 6 magazines est possible.

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Quelle inéquation décrit le budget ?

Limites de production

Les usines ont des contraintes de capacité de production et de ressources.

Exemple:

Une usine peut produire au maximum 500 articles par jour. Si elle fabrique des chaises et des tables, et que les tables prennent deux fois plus de temps, alors c+2t≤500c + 2t \leq 500.

2Essaie par toi-même

Une boulangerie fait au maximum 200 articles par jour. Les gâteaux prennent 2 unités de temps ; les biscuits prennent 1 unité.

Peut-elle faire 50 gâteaux et 80 biscuits ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Quelle inéquation décrit la limite de 200 unités de temps ?

Points clés

  • 1Les inéquations linéaires utilisent <<, >>, ≤\leq ou ≥\geq au lieu d'un signe égal
  • 2La droite frontière est tracée en traitant l'inéquation comme une équation
  • 3Utilise une droite pleine pour ≤\leq ou ≥\geq (droite incluse) et en pointillés pour << ou >> (droite exclue)
  • 4Teste un point qui n'est pas sur la droite pour déterminer quel côté ombrer
  • 5L'ensemble des solutions comprend tous les points de la région ombrée

Questions fréquentes

Comment savoir quel côté ombrer ?

Choisis un point test qui n'est pas sur la droite ((0,0)(0,0) est le plus facile). Substitue dans l'inéquation originale. Si VRAI, ombre ce côté. Si FAUX, ombre le côté opposé.

Pourquoi la droite est-elle parfois en pointillés ?

Une droite en pointillés signifie que les points SUR la droite NE SONT PAS des solutions. Cela arrive avec les inégalités strictes (<< ou >>). Les droites pleines (≤\leq ou ≥\geq) incluent les points sur la droite.

Et si l'origine est sur la droite frontière ?

Choisis un autre point test comme (1,0)(1, 0) ou (0,1)(0, 1). Tout point clairement pas sur la droite fonctionne.

Glossaire

Inéquation linéaire
Une inégalité impliquant des expressions linéaires, utilisant <<, >>, ≤\leq ou ≥\geq
Droite frontière
La droite obtenue quand on remplace le symbole d'inégalité par un signe égal
Ensemble des solutions
Tous les couples ordonnés (x,y)(x, y) qui rendent l'inéquation vraie
Point test
Un point utilisé pour déterminer quel côté de la droite frontière ombrer
Demi-plan
La région du plan cartésien d'un côté d'une droite