Contraposée

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Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle est la contraposée de $p \to q$ ?
1. a) $\neg q \to \neg p$
2. b) $q \to p$
3. c) $\neg p \to \neg q$
4. d) $\neg p \to q$
2.
Règle : si un nombre est un multiple de $4$ , alors il est pair. Sa contraposée dit : si un nombre n'est pas pair, alors ce n'est pas un multiple de $4$ . Lequel des nombres $12$ , $15$ , $20$ , $28$ peux-tu écarter avec la contraposée seule ?
3.
Règle : si un nombre est divisible par $10$ , alors son dernier chiffre est $0$ . Utilise la contraposée pour décider si $7345$ est divisible par $10$ .
4.
Quel énoncé est la contraposée de "Si un nombre se termine par $5$ , alors il est divisible par $5$ " ?
1. a)Si un nombre n'est pas divisible par $5$ , alors il ne se termine pas par $5$ .
2. b)Si un nombre est divisible par $5$ , alors il se termine par $5$ .
3. c)Si un nombre ne se termine pas par $5$ , alors il est divisible par $5$ .
4. d)Si un nombre ne se termine pas par $5$ , alors il n'est pas divisible par $5$ .
5.
Une implication est vraie. En dehors de l'énoncé lui-même, combien des trois autres énoncés associés (réciproque, inverse, contraposée) sont à coup sûr vrais aussi ?
6.
Énoncé : si $x = 3$ , alors $2x = 6$ . Sa contraposée est : si $2x \ne 6$ , alors $x \ne 3$ . Tu sais que $2x = 14$ . Montre que $x$ n'est pas $3$ et trouve $x$ .
7.
On sait qu'une implication $p \to q$ est vraie. Quel énoncé associé doit alors être vrai aussi ?
1. a)L'inverse $\neg p \to \neg q$
2. b)La contraposée $\neg q \to \neg p$
3. c)La réciproque $q \to p$
4. d)Aucun d'eux
8.
Écris $1$ pour vrai et $0$ pour faux. Dans la ligne de la table de vérité où $p = 1$ et $q = 0$ , trouve les valeurs de la contraposée et de l'énoncé de départ.
9.
Une table de vérité de $\neg q \to \neg p$ a $4$ lignes. Dans combien de ces lignes $\neg q \to \neg p$ est-elle vraie ?
10.
Écris $1$ pour vrai et $0$ pour faux. Dans la ligne où $p = 0$ et $q = 1$ , l'énoncé de départ $p \to q$ vaut $1$ . Trouve la contraposée et la réciproque dans cette ligne.
11.
Dans la ligne de la table de vérité où $p$ est vrai et $q$ est faux, quelles sont les valeurs de $p \to q$ et de $\neg q \to \neg p$ ?
1. a)Les deux sont fausses
2. b) $p \to q$ est vraie, $\neg q \to \neg p$ est fausse
3. c) $p \to q$ est fausse, $\neg q \to \neg p$ est vraie
4. d)Les deux sont vraies
12.
Règle : si un nombre est un multiple de $6$ , alors c'est un multiple de $3$ . Pour montrer par contraposée que $50$ n'est pas un multiple de $6$ , tu vérifies que $50$ n'est pas un multiple de $3$ . Quel est le reste de la division de $50$ par $3$ ?
13.
Règle : si un nombre est divisible par $3$ , alors la somme de ses chiffres est divisible par $3$ . Utilise la contraposée pour décider si $2471$ est divisible par $3$ .
14.
Énoncé de départ : "Si $x = 4$ , alors $x^2 = 16$ ." Lesquels des quatre énoncés associés (énoncé de départ, réciproque, inverse, contraposée) sont vrais ?
1. a)Les quatre
2. b)L'énoncé de départ et la contraposée
3. c)La réciproque et l'inverse
4. d)L'énoncé de départ et la réciproque
15.
L'énoncé "Si $3x + 2 > 20$ , alors $x > 6$ " est vrai. Sa contraposée est "Si $x \le 6$ , alors $3x + 2 \le 20$ ." Vérifie la contraposée pour $x = 6$ et $x = 5$ .
16.
La contraposée de "Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair" est "Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair." Vérifie-la pour $n = 13$ : écris $13^2$ sous la forme $2m + 1$ . Combien vaut $m$ ?
17.
Pour voir pourquoi "Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair" est vrai, vérifie sa contraposée "Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair" pour $n = 9$ , avec la forme $n = 2k + 1$ .
18.
Pour des nombres entiers $a, b \ge 0$ : "Si $a + b \ge 10$ , alors $a \ge 5$ ou $b \ge 5$ ." Sa contraposée est "Si $a < 5$ et $b < 5$ , alors $a + b < 10$ ." Trouve la plus grande valeur possible de $a + b$ quand $a < 5$ et $b < 5$ .