Contraposée

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle est la contraposée de $p \to q$ ?
1. a) $\neg q \to \neg p$
2. b) $q \to p$
3. c) $\neg p \to \neg q$
4. d) $\neg p \to q$
Réponse: $\neg q \to \neg p$
La contraposée échange et nie : $\neg q \to \neg p$ . Le choix $q \to p$ est la réciproque et $\neg p \to \neg q$ est l'inverse.
2.
Règle : si un nombre est un multiple de $4$ , alors il est pair. Sa contraposée dit : si un nombre n'est pas pair, alors ce n'est pas un multiple de $4$ . Lequel des nombres $12$ , $15$ , $20$ , $28$ peux-tu écarter avec la contraposée seule ?
Réponse: 15
$15$ est le seul nombre impair de la liste. Il n'est pas pair, donc par contraposée ce n'est pas un multiple de $4$ . Les trois autres sont pairs, la contraposée ne dit donc rien sur eux (en fait $12$ , $20$ et $28$ sont tous des multiples de $4$ ).
3.
Règle : si un nombre est divisible par $10$ , alors son dernier chiffre est $0$ . Utilise la contraposée pour décider si $7345$ est divisible par $10$ .
Réponse: 5
1. Quel est le dernier chiffre de $7345$ ? 5
2. Le dernier chiffre n'est pas $0$ , donc par contraposée $7345$ n'est pas divisible par $10$ . Quel est le reste de $7345 \div 10$ ? 5
4.
Quel énoncé est la contraposée de "Si un nombre se termine par $5$ , alors il est divisible par $5$ " ?
1. a)Si un nombre n'est pas divisible par $5$ , alors il ne se termine pas par $5$ .
2. b)Si un nombre est divisible par $5$ , alors il se termine par $5$ .
3. c)Si un nombre ne se termine pas par $5$ , alors il est divisible par $5$ .
4. d)Si un nombre ne se termine pas par $5$ , alors il n'est pas divisible par $5$ .
Réponse: Si un nombre n'est pas divisible par $5$ , alors il ne se termine pas par $5$ .
Échanger et nier : "Si un nombre n'est pas divisible par $5$ , alors il ne se termine pas par $5$ ." Le premier choix est la réciproque, le deuxième l'inverse (fausse : $10$ ne se termine pas par $5$ mais est divisible par $5$ ).
5.
Une implication est vraie. En dehors de l'énoncé lui-même, combien des trois autres énoncés associés (réciproque, inverse, contraposée) sont à coup sûr vrais aussi ?
Réponse: 1
Seule la contraposée est garantie, la réponse est donc $1$ . La réciproque et l'inverse peuvent être vraies ou fausses ; elles sont toujours d'accord entre elles, pas forcément avec l'énoncé de départ.
6.
Énoncé : si $x = 3$ , alors $2x = 6$ . Sa contraposée est : si $2x \ne 6$ , alors $x \ne 3$ . Tu sais que $2x = 14$ . Montre que $x$ n'est pas $3$ et trouve $x$ .
Réponse: 7
1. Combien fait $2 \times 3$ ? 6
2. $14 \ne 6$ , donc par contraposée $x \ne 3$ . Résous $2x = 14$ : combien vaut $x$ ? 7
7.
On sait qu'une implication $p \to q$ est vraie. Quel énoncé associé doit alors être vrai aussi ?
1. a)L'inverse $\neg p \to \neg q$
2. b)La contraposée $\neg q \to \neg p$
3. c)La réciproque $q \to p$
4. d)Aucun d'eux
Réponse: La contraposée $\neg q \to \neg p$
La contraposée est logiquement équivalente à l'énoncé de départ, elle doit donc être vraie. La réciproque et l'inverse peuvent être fausses, par exemple pour "Si une figure est un carré, alors elle a quatre angles droits".
8.
Écris $1$ pour vrai et $0$ pour faux. Dans la ligne de la table de vérité où $p = 1$ et $q = 0$ , trouve les valeurs de la contraposée et de l'énoncé de départ.
Réponse: 0
1. Quelle est la valeur de $\neg q$ ? 1
2. Quelle est la valeur de $\neg p$ ? 0
3. Quelle est la valeur de $\neg q \to \neg p$ ? 0
4. Quelle est la valeur de $p \to q$ ? 0
9.
Une table de vérité de $\neg q \to \neg p$ a $4$ lignes. Dans combien de ces lignes $\neg q \to \neg p$ est-elle vraie ?
Réponse: 3
$\neg q \to \neg p$ n'est fausse que si $\neg q$ est vraie et $\neg p$ fausse, c'est-à-dire si $p$ est vrai et $q$ faux. C'est $1$ ligne, donc elle est vraie dans $3$ lignes, exactement comme $p \to q$ .
10.
Écris $1$ pour vrai et $0$ pour faux. Dans la ligne où $p = 0$ et $q = 1$ , l'énoncé de départ $p \to q$ vaut $1$ . Trouve la contraposée et la réciproque dans cette ligne.
Réponse: 0
1. Quelle est la valeur de $\neg q$ ? 0
2. Quelle est la valeur de $\neg p$ ? 1
3. Quelle est la valeur de la contraposée $\neg q \to \neg p$ ? 1
4. Quelle est la valeur de la réciproque $q \to p$ ? 0
11.
Dans la ligne de la table de vérité où $p$ est vrai et $q$ est faux, quelles sont les valeurs de $p \to q$ et de $\neg q \to \neg p$ ?
1. a)Les deux sont fausses
2. b) $p \to q$ est vraie, $\neg q \to \neg p$ est fausse
3. c) $p \to q$ est fausse, $\neg q \to \neg p$ est vraie
4. d)Les deux sont vraies
Réponse: Les deux sont fausses
$p \to q$ va du vrai vers le faux, elle est donc fausse. $\neg q$ est vraie et $\neg p$ fausse, donc $\neg q \to \neg p$ va aussi du vrai vers le faux et est fausse. Les deux sont fausses.
12.
Règle : si un nombre est un multiple de $6$ , alors c'est un multiple de $3$ . Pour montrer par contraposée que $50$ n'est pas un multiple de $6$ , tu vérifies que $50$ n'est pas un multiple de $3$ . Quel est le reste de la division de $50$ par $3$ ?
Réponse: 2
$50 = 3 \times 16 + 2$ , le reste est donc $2$ . Comme $50$ n'est pas un multiple de $3$ , la contraposée nous dit que ce n'est pas non plus un multiple de $6$ .
13.
Règle : si un nombre est divisible par $3$ , alors la somme de ses chiffres est divisible par $3$ . Utilise la contraposée pour décider si $2471$ est divisible par $3$ .
Réponse: 2
1. Quelle est la somme des chiffres de $2471$ ? 14
2. Quel est le reste de la division de $14$ par $3$ ? 2
3. La somme des chiffres n'est pas divisible par $3$ , donc $2471$ n'est pas divisible par $3$ . Quel est le reste de $2471 \div 3$ ? 2
14.
Énoncé de départ : "Si $x = 4$ , alors $x^2 = 16$ ." Lesquels des quatre énoncés associés (énoncé de départ, réciproque, inverse, contraposée) sont vrais ?
1. a)Les quatre
2. b)L'énoncé de départ et la contraposée
3. c)La réciproque et l'inverse
4. d)L'énoncé de départ et la réciproque
Réponse: L'énoncé de départ et la contraposée
L'énoncé de départ est vrai, donc la contraposée "Si $x^2 \ne 16$ , alors $x \ne 4$ " est vraie. La réciproque "Si $x^2 = 16$ , alors $x = 4$ " est fausse à cause de $x = -4$ , et l'inverse "Si $x \ne 4$ , alors $x^2 \ne 16$ " aussi, avec le même contre-exemple.
15.
L'énoncé "Si $3x + 2 > 20$ , alors $x > 6$ " est vrai. Sa contraposée est "Si $x \le 6$ , alors $3x + 2 \le 20$ ." Vérifie la contraposée pour $x = 6$ et $x = 5$ .
Réponse: 17
1. Trouve la valeur limite : résous $3x + 2 = 20$ . Combien vaut $x$ ? 6
2. Combien vaut $3x + 2$ pour $x = 6$ ? 20
3. Combien vaut $3x + 2$ pour $x = 5$ ? 17
16.
La contraposée de "Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair" est "Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair." Vérifie-la pour $n = 13$ : écris $13^2$ sous la forme $2m + 1$ . Combien vaut $m$ ?
Réponse: 84
$13^2 = 169 = 2 \times 84 + 1$ , donc $m = 84$ et $169$ est impair. Avec $n = 2k + 1$ et $k = 6$ , la formule générale donne aussi $m = 2k^2 + 2k = 72 + 12 = 84$ .
17.
Pour voir pourquoi "Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair" est vrai, vérifie sa contraposée "Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair" pour $n = 9$ , avec la forme $n = 2k + 1$ .
Réponse: 40
1. Écris $9 = 2k + 1$ . Combien vaut $k$ ? 4
2. Combien vaut $n^2$ pour $n = 9$ ? 81
3. Écris $81 = 2m + 1$ . Combien vaut $m$ ? 40
18.
Pour des nombres entiers $a, b \ge 0$ : "Si $a + b \ge 10$ , alors $a \ge 5$ ou $b \ge 5$ ." Sa contraposée est "Si $a < 5$ et $b < 5$ , alors $a + b < 10$ ." Trouve la plus grande valeur possible de $a + b$ quand $a < 5$ et $b < 5$ .
Réponse: 8
1. Quel est le plus grand nombre entier $a$ tel que $a < 5$ ? 4
2. Quel est le plus grand nombre entier $b$ tel que $b < 5$ ? 4
3. Quelle est la plus grande valeur possible de $a + b$ ? 8