Guide de l'enseignant: Contraposée

Apprends à former la contraposée d'une implication "si... alors", à comprendre pourquoi elle a toujours la même valeur de vérité que l'énoncé de départ et à t'en servir pour raisonner sur les nombres.

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10 questions sur Raisonnement logique. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Former la contraposée d'une implication en échangeant et en niant les deux parties
Utiliser une table de vérité pour montrer qu'un énoncé et sa contraposée sont logiquement équivalents
Écrire côte à côte l'énoncé de départ, la réciproque, l'inverse et la contraposée et repérer quelles paires sont d'accord
Nier correctement des énoncés, y compris des inégalités et des doubles négations
Utiliser la contraposée pour raisonner sur les nombres, par exemple sur la divisibilité et la parité

Prérequis

• Les implications : hypothèse, conclusion et quand une implication est vraie (leçon Les énoncés si... alors)
• Réciproque et inverse d'une implication (leçon Réciproque et inverse)
• Les tables de vérité et la négation NON (leçons Tables de vérité et L'opération NON)
• Critères de divisibilité par 3, 9 et 10, nombres pairs et impairs

Amorces de discussion

1. "Si tu habites à Paris, alors tu habites en France." Que peux-tu conclure sur quelqu'un qui n'habite pas en France ?
2. Pourquoi échanger ET nier garde le sens d'un énoncé, alors que faire une seule des deux choses peut le changer ?
3. Peux-tu trouver un énoncé vrai dont la réciproque est aussi vraie ? Est-ce que cela contredit la règle selon laquelle la réciproque n'est pas équivalente ?
4. Pourquoi une mathématicienne choisirait-elle de travailler avec la contraposée plutôt qu'avec l'énoncé de départ ?

Idées reçues courantes

La contraposée et l'inverse sont la même chose, puisque les deux utilisent "non"

Remédiation: Place-les côte à côte avec le même exemple (carrés et rectangles) et demande aux élèves de trouver un contre-exemple à l'inverse. Insiste sur le fait que l'ordre des parties compte.

Un énoncé vrai pour beaucoup d'exemples a une réciproque vraie

Remédiation: Utilise des exemples numériques comme "Si $x = 4$ , alors $x^2 = 16$ " et demande de chercher un contre-exemple à la réciproque. Un seul contre-exemple suffit pour la rendre fausse.

La négation de "plus grand que" est "plus petit que"

Remédiation: Trace une droite graduée et colorie $x > 5$ . Demande ce qui reste non colorié : tout jusqu'à $5$ inclus, donc la négation est $x \le 5$ .

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des énoncés du quotidien (pluie et rues mouillées) avant d'utiliser des symboles
• Donner un modèle : Si non ___, alors non ___, et faire remplir d'abord la conclusion
• Colorier l'hypothèse et la conclusion pour rendre l'échange visible

Pour les élèves au niveau:

• Écrire les quatre énoncés associés à des critères de divisibilité et décider lesquels sont vrais
• Compléter les tables de vérité de p implique q, de sa réciproque, de son inverse et de sa contraposée
• Utiliser des contraposées pour écarter des nombres dans des énigmes de divisibilité

Pour les élèves avancés:

• Expliquer avec la contraposée pourquoi si n au carré est pair, alors n est pair
• Former les contraposées d'énoncés avec et et ou, à l'aide des lois de De Morgan
• Comparer la contraposée et le raisonnement par l'absurde sur le même énoncé

Alignement aux standards

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construire des arguments solides et critiquer le raisonnement des autres
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Être précis
HSG.CO.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.9)
Démontrer des théorèmes sur les droites et les angles (ces démonstrations reposent sur des implications)

Ressources de la leçon

visualTable de vérité interactive
Les élèves explorent les tables de NON et de IMPLIQUE, puis s'en servent pour construire la colonne de non q implique non p et la comparer à celle de p implique q
activityTri de cartes : quatre énoncés
Les groupes classent des cartes en énoncé, réciproque, inverse et contraposée et marquent chacune vraie ou fausse
worksheetDétective des nombres par contraposée
Utiliser les contraposées des critères de divisibilité pour écarter des nombres sans diviser

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

La contraposée d'un énoncé conditionnel (implication) "Si

p

, alors

q

" (

p \to q

) est l'énoncé "Si non

q

, alors non

p

" :

\neg q \to \neg p

Pour la construire, tu fais deux choses : tu échanges l'hypothèse et la conclusion, et tu nies les deux.

Fait essentiel : un énoncé et sa contraposée sont logiquement équivalents. Ils sont toujours vrais tous les deux ou faux tous les deux. La table de vérité le montre ligne par ligne (V = vrai, F = faux) :

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & \neg p & \neg q & p \to q & \neg q \to \neg p \\ \hline V & V & F & F & V & V \\ V & F & F & V & F & F \\ F & V & V & F & V & V \\ F & F & V & V & V & V \end{array}

Les deux dernières colonnes sont identiques, on écrit donc

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

. (La table interactive de cette leçon le vérifie pour toi : sa dernière colonne,

(p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p)

, vaut V à chaque ligne.)

Les quatre énoncés associés à

p \to q

Énoncé de départ : $p \to q$
Réciproque : $q \to p$ (on échange seulement)
Inverse : $\neg p \to \neg q$ (on nie seulement)
Contraposée : $\neg q \to \neg p$ (on échange et on nie)

L'énoncé de départ et la contraposée sont toujours d'accord. La réciproque et l'inverse sont aussi toujours d'accord entre elles, car l'inverse est la contraposée de la réciproque.

Exemples résolus

Écris la contraposée de : "Si un nombre est divisible par $10$ , alors il se termine par $0$ ."

Repère l'hypothèse $p$ et la conclusion $q$

$p$ : un nombre est divisible par $10$ . $q$ : il se termine par $0$ . → Deux parties trouvées

Nie les deux parties

$\neg p$ : le nombre n'est pas divisible par $10$ . $\neg q$ : il ne se termine pas par $0$ . → Les deux parties sont niées

Échange l'ordre et écris $\neg q \to \neg p$

Place la conclusion niée en premier et l'hypothèse niée en second. → Si un nombre ne se termine pas par $0$ , alors il n'est pas divisible par $10$ .

Réponse: Si un nombre ne se termine pas par $0$ , alors il n'est pas divisible par $10$ . Comme l'énoncé de départ, cet énoncé est vrai : par exemple, $73$ ne se termine pas par $0$ et $73 \div 10 = 7{,}3$ n'est pas un nombre entier.

Erreurs courantes

Échanger seulement les parties et appeler $q \to p$ la contraposée

Pourquoi c'est faux: Échanger sans nier donne la réciproque, qui peut être fausse même quand l'énoncé de départ est vrai.

Correct: Échange et nie les deux parties : la contraposée de $p \to q$ est $\neg q \to \neg p$ .

Nier " $x > 5$ " en " $x < 5$ "

Pourquoi c'est faux: On oublie le cas $x = 5$ . Tout nombre est soit plus grand que $5$ , soit pas plus grand que $5$ , et "pas plus grand" inclut $5$ lui-même.

Correct: La négation de $x > 5$ est $x \le 5$ , et la négation de $x \ge 5$ est $x < 5$ .

Croire que la réciproque d'un énoncé vrai est aussi vraie

Pourquoi c'est faux: "Si $x = 4$ , alors $x^2 = 16$ " est vrai, mais "Si $x^2 = 16$ , alors $x = 4$ " est faux, car $x = -4$ convient aussi.

Correct: Seule la contraposée a à coup sûr la même valeur de vérité que l'énoncé de départ. La réciproque doit être vérifiée à part.

Se perdre dans les doubles négations

Pourquoi c'est faux: Pour "S'il ne pleut pas, alors je vais à l'école à pied", certains écrivent "Si je ne vais pas à pied, alors non il ne pleut pas" et s'y perdent, ou oublient une négation par erreur.

Correct: La négation de "il ne pleut pas" est "il pleut". La contraposée est : "Si je ne vais pas à l'école à pied, alors il pleut."

Pourquoi c'est important

La contraposée t'offre une deuxième porte vers le même énoncé, et parfois cette porte s'ouvre beaucoup plus facilement :

Les nombres : pour montrer que $2750$ n'est pas divisible par $6$ , il suffit de voir qu'il n'est pas divisible par $3$
Vérifier son travail : si une bonne réponse doit être un nombre entier et que tu obtiens $4{,}5$ , tu sais que quelque chose ne va pas
Les programmes informatiques : "Si le mot de passe est correct, la porte s'ouvre." La porte est restée fermée, donc le mot de passe était faux
Les démonstrations : plus tard, tu démontreras des énoncés comme "Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair" en démontrant plutôt la contraposée

Savoir quels énoncés associés sont d'accord te protège aussi d'une erreur très fréquente : croire que la réciproque d'un énoncé vrai est forcément vraie.

Applications dans le monde réel

Critères de divisibilité et chiffres de contrôle

Beaucoup de codes et de vérifications rapides de calcul mental reposent sur des critères de divisibilité, et la contraposée permet d'écarter un nombre sans faire la division.

Exemple:

Règle : si un nombre est divisible par $9$ , alors la somme de ses chiffres est divisible par $9$ . La somme des chiffres de $5812$ est $16$ , donc $5812$ ne peut pas être divisible par $9$ .

1Essaie par toi-même

Règle : si un nombre est divisible par $9$ , alors la somme de ses chiffres est divisible par $9$ . Un employé vérifie le numéro de code $4372$ .

Est-ce que $4372$ est divisible par $9$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris la somme des chiffres de $4372$ sous forme d'addition :

Règles de livraison gratuite

Les boutiques en ligne ont souvent des règles comme "Si ta commande atteint 50 € ou plus, la livraison est gratuite." La contraposée te dit ce que signifient des frais de port sur ta facture.

Exemple:

Contraposée : si tu as payé des frais de port, ta commande faisait moins de 50 €. Une facture avec des frais de port prouve que la commande était sous la limite.

2Essaie par toi-même

Règle : si une commande atteint au total 50 € ou plus, la livraison est gratuite. Anna a payé des frais de port. Son panier contenait un livre à 18 € et une lampe à 27 €.

Quel était le total de sa commande, et combien lui manquait-il pour la livraison gratuite ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le total de la commande sous forme d'addition :

Lire un classement sportif

Les fans de sport utilisent la contraposée pour exclure des possibilités à partir du classement, sans regarder chaque match.

Exemple:

Dans un championnat avec $3$ points pour une victoire, $1$ pour un match nul et $0$ pour une défaite : si une équipe a gagné ses $5$ matchs, elle a $15$ points. Une équipe avec moins de $15$ points n'a pas gagné tous ses matchs.

3Essaie par toi-même

Règle : si une équipe gagne ses $5$ matchs, alors elle a $15$ points ( $3$ par victoire, $1$ par match nul, $0$ par défaite). L'équipe Bleue a $13$ points après $5$ matchs.

L'équipe Bleue a-t-elle gagné tous ses matchs, et combien de matchs a-t-elle pu gagner au maximum ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris les points pour $5$ victoires sous forme de multiplication :

Points clés

1La contraposée de $p \to q$ est $\neg q \to \neg p$ : on échange les deux parties et on nie les deux
2Un énoncé et sa contraposée sont logiquement équivalents : ils sont toujours vrais tous les deux ou faux tous les deux
3La table de vérité le montre : $p \to q$ et $\neg q \to \neg p$ ne sont fausses que dans la ligne $p$ vrai, $q$ faux
4La réciproque $q \to p$ et l'inverse $\neg p \to \neg q$ sont d'accord entre elles, mais pas forcément avec l'énoncé de départ
5Nie avec soin : le contraire de $x > 5$ est $x \le 5$ , et le contraire de impair est pair
6Quand un énoncé est difficile à vérifier directement, vérifie plutôt sa contraposée, par exemple "si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair"

Questions fréquentes

Pourquoi la contraposée est-elle toujours vraie quand l'énoncé de départ est vrai ?

L'énoncé

p \to q

dit : chaque fois que

p

se produit,

q

se produit aussi. Donc si

q

ne s'est pas produit,

p

n'a pas pu se produire non plus, sinon

q

aurait suivi. C'est exactement

\neg q \to \neg p

. La table de vérité le confirme dans les quatre cas.

Quelle est la différence entre l'inverse et la contraposée ?

Les deux nient les deux parties, mais l'inverse garde l'ordre (

\neg p \to \neg q

) alors que la contraposée l'échange en plus (

\neg q \to \neg p

). La contraposée est équivalente à l'énoncé de départ ; l'inverse est équivalente à la réciproque.

Si l'énoncé de départ est faux, la contraposée est-elle fausse aussi ?

Oui. Ils sont équivalents, donc ils ont toujours la même valeur de vérité. "Si un nombre est pair, alors il est divisible par

4

" est faux (

6

est un contre-exemple), et "Si un nombre n'est pas divisible par

4

, alors il n'est pas pair" l'est aussi, avec le même contre-exemple

6

La contraposée, est-ce la même chose qu'un raisonnement par l'absurde ?

Non. Avec la contraposée, tu démontres directement

\neg q \to \neg p

au lieu de

p \to q

. Un raisonnement par l'absurde suppose que tout l'énoncé est faux et aboutit à un résultat impossible. Les deux méthodes apparaissent dans le thème des démonstrations.

Glossaire

Contraposée: L'énoncé $\neg q \to \neg p$ obtenu à partir de $p \to q$ en échangeant et en niant les deux parties
Réciproque: L'énoncé $q \to p$ , obtenu en échangeant l'hypothèse et la conclusion
Inverse: L'énoncé $\neg p \to \neg q$ , obtenu en niant l'hypothèse et la conclusion sans les échanger
Négation: Le contraire d'un énoncé, noté $\neg p$ ; elle est vraie exactement quand $p$ est faux
Logiquement équivalents: Deux énoncés qui ont la même valeur de vérité dans chaque ligne d'une table de vérité, notés avec $\equiv$

Carte des formules

Contraposée

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

Échanger et nier les deux parties ; toujours équivalente à l'énoncé de départ

Réciproque et inverse

q \to p \equiv \neg p \to \neg q

Équivalentes entre elles, mais pas forcément à l'énoncé de départ

Nier une inégalité

\neg(x > a) \iff x \le a

La négation de "strictement plus grand que" est "plus petit ou égal à"

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