Réciproque et inverse

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle est la réciproque de l'implication $p \to q$ ?
1. a) $q \to p$
2. b) $\neg q \to \neg p$
3. c) $p \to \neg q$
4. d) $\neg p \to \neg q$
Réponse: $q \to p$
La réciproque échange les deux parties : $q \to p$ . L'énoncé $\neg p \to \neg q$ est l'inverse, et $\neg q \to \neg p$ est la contraposée, que tu découvriras dans la prochaine leçon.
2.
L'énoncé Si $x = 5$ , alors $x^2 = 25$ est vrai. Sa réciproque, Si $x^2 = 25$ , alors $x = 5$ , est fausse. Quel nombre négatif est un contre-exemple à la réciproque ?
Réponse: -5
$(-5)^2 = 25$ , donc $x^2 = 25$ est vrai pour $x = -5$ , mais $x = 5$ est faux. Un seul contre-exemple montre que la réciproque est fausse.
3.
Énoncé : Si $x = 2$ , alors $3x = 6$ . La réciproque, Si $3x = 6$ , alors $x = 2$ , est-elle vraie aussi ? Procède étape par étape.
Réponse: 1
1. Vérifie l'énoncé : combien fait $3 \times 2$ ? 6
2. Résous $3x = 6$ . Combien vaut $x$ ? 2
3. Combien de valeurs de $x$ vérifient $3x = 6$ ? 1
4.
Quel est l'inverse de : Si une figure est un carré, alors c'est un rectangle ?
1. a)Si une figure n'est pas un rectangle, alors ce n'est pas un carré
2. b)Si une figure est un rectangle, alors c'est un carré
3. c)Si une figure n'est pas un carré, alors ce n'est pas un rectangle
4. d)Si une figure est un carré, alors ce n'est pas un rectangle
Réponse: Si une figure n'est pas un carré, alors ce n'est pas un rectangle
L'inverse nie les deux parties et garde l'ordre : Si une figure n'est pas un carré, alors ce n'est pas un rectangle. Il est faux : un rectangle de 5 cm sur 3 cm n'est pas un carré, mais c'est un rectangle.
5.
Réciproque : Si un nombre est pair, alors il est divisible par 4. Quel nombre pair compris entre 5 et 7 montre que cette réciproque est fausse ?
Réponse: 6
6 est pair, mais $6 \div 4 = 1{,}5$ , donc 6 n'est pas divisible par 4. L'hypothèse est vraie et la conclusion fausse, donc 6 est un contre-exemple.
6.
Énoncé : Si $x = 6$ , alors $x^2 = 36$ . Trouve un contre-exemple à la réciproque, Si $x^2 = 36$ , alors $x = 6$ .
Réponse: -6
1. Combien fait $6^2$ ? 36
2. Combien fait $(-6)^2$ ? 36
3. Quelle valeur de $x$ vérifie $x^2 = 36$ mais $x \neq 6$ ? -6
7.
Énoncé : Si un nombre est un multiple de 10, alors c'est un multiple de 5. La réciproque est-elle vraie ou fausse ?
1. a)Fausse, car 20 est un multiple de 10
2. b)Vraie, car l'énoncé de départ est vrai
3. c)Vraie, car tout multiple de 5 est un multiple de 10
4. d)Fausse, car 15 est un multiple de 5 mais pas de 10
Réponse: Fausse, car 15 est un multiple de 5 mais pas de 10
La réciproque est : Si un nombre est un multiple de 5, alors c'est un multiple de 10. 15 est un multiple de 5, mais $15 \div 10 = 1{,}5$ , donc la réciproque est fausse. Le fait que l'énoncé soit vrai ne dit rien sur la réciproque.
8.
Énoncé : Si un nombre est un multiple de 9, alors c'est un multiple de 3. Sa réciproque est fausse. Quel est le plus petit multiple de 3 à deux chiffres qui n'est pas un multiple de 9 ?
Réponse: 12
Les multiples de 3 à deux chiffres commencent par 12, 15, 18. Comme $12 \div 9$ n'est pas un nombre entier, 12 est un multiple de 3 mais pas de 9. Il met en défaut la réciproque, Si un nombre est un multiple de 3, alors c'est un multiple de 9.
9.
Énoncé : Si un nombre est divisible par 4, alors il est divisible par 2. Teste l'inverse, Si un nombre n'est pas divisible par 4, alors il n'est pas divisible par 2, avec le nombre 10.
Réponse: 1
1. Quel est le reste de la division de 10 par 4 ? 2
2. Combien fait $10 \div 2$ ? 5
3. 10 n'est pas divisible par 4 mais est divisible par 2. Combien de contre-exemples te faut-il pour montrer que l'inverse est faux ? 1
10.
La réciproque d'une implication est fausse. Que peux-tu dire de son inverse ?
1. a)Il est vrai
2. b)Il peut être vrai ou faux
3. c)Il est faux
4. d)Il est identique à l'énoncé de départ
Réponse: Il est faux
La réciproque et l'inverse ont toujours la même valeur de vérité : leurs colonnes dans la table de vérité sont identiques. Si la réciproque est fausse, l'inverse est donc faux aussi.
11.
Sur combien des quatre lignes de la table de vérité $p \to q$ et sa réciproque $q \to p$ ont-elles des valeurs de vérité différentes ?
Réponse: 2
$p \to q$ n'est fausse que sur la ligne $p$ vrai, $q$ faux. $q \to p$ n'est fausse que sur la ligne $p$ faux, $q$ vrai. Sur ces 2 lignes les valeurs diffèrent, sur les 2 autres les deux sont vraies.
12.
Trouve la valeur de la réciproque $q \to p$ sur la ligne où $p$ est faux et $q$ est vrai. Écris 1 pour vrai et 0 pour faux.
Réponse: 0
1. Quelle est la valeur de $q$ sur cette ligne (1 ou 0) ? 1
2. Quelle est la valeur de $p$ sur cette ligne (1 ou 0) ? 0
3. Une implication n'est fausse que si l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse. Que vaut ici $q \to p$ (1 ou 0) ? 0
13.
Énoncé : Si $x > 5$ , alors $x > 3$ . Vérifie la réciproque, Si $x > 3$ , alors $x > 5$ , avec des nombres entiers.
Réponse: 2
1. Quel est le plus petit nombre entier supérieur à 3 ? 4
2. Est-ce que $4 > 5$ ? Écris 1 pour oui et 0 pour non. 0
3. Combien de nombres entiers sont supérieurs à 3 mais pas supérieurs à 5 ? 2
14.
Quel énoncé peut s'écrire sous forme d'équivalence vraie (si et seulement si) ?
1. a)Si $x = 4$ , alors $x^2 = 16$
2. b)Si une figure est un carré, alors elle a quatre côtés
3. c)Si un triangle a un angle de $90^\circ$ , alors il est rectangle
4. d)Si un nombre est un multiple de 4, alors il est pair
Réponse: Si un triangle a un angle de $90^\circ$ , alors il est rectangle
Seul l'énoncé sur le triangle rectangle est vrai dans les deux sens, car c'est la définition du triangle rectangle. Les autres ont une réciproque fausse : $x = -4$ donne $x^2 = 16$ , 6 est pair mais n'est pas un multiple de 4, et un rectangle de 5 cm sur 3 cm a quatre côtés mais n'est pas un carré.
15.
Énoncé : Si $x > 4$ , alors $x^2 > 16$ . Sa réciproque est : Si $x^2 > 16$ , alors $x > 4$ . Trouve le contre-exemple entier à la réciproque le plus proche de zéro.
Réponse: -5
Un contre-exemple doit vérifier $x^2 > 16$ et $x \le 4$ . Pour $x = -4$ , $(-4)^2 = 16$ , qui n'est pas supérieur à 16. Pour $x = -5$ , $(-5)^2 = 25 > 16$ , mais $-5$ n'est pas supérieur à 4. Donc $-5$ est le contre-exemple le plus proche de zéro.
16.
Énoncé : Si un nombre est un multiple de 3, alors c'est un multiple de 6. Montre que l'énoncé est faux mais que sa réciproque est vraie.
Réponse: 2
1. Quel est le reste de la division de 9 par 6 ? 3
2. 12 est un multiple de 6. Combien fait $12 \div 3$ ? 4
3. Tout multiple de 6 peut s'écrire $6k = 3 \times 2k$ . Combien fait $6 \div 3$ ? 2
17.
Compare la réciproque $q \to p$ et l'inverse $\neg p \to \neg q$ dans la table de vérité. Écris 1 pour vrai et 0 pour faux.
Réponse: 4
1. Ligne $p = 1$ , $q = 0$ : que vaut $q \to p$ , c'est-à-dire $0 \to 1$ ? 1
2. Même ligne : $\neg p = 0$ et $\neg q = 1$ . Que vaut $\neg p \to \neg q$ , c'est-à-dire $0 \to 1$ ? 1
3. Ligne $p = 0$ , $q = 1$ : que vaut $q \to p$ , c'est-à-dire $1 \to 0$ ? 0
4. Même ligne : $\neg p = 1$ et $\neg q = 0$ . Que vaut $\neg p \to \neg q$ , c'est-à-dire $1 \to 0$ ? 0
5. Sur les lignes $p = q = 1$ et $p = q = 0$ , les deux valent 1. Sur combien des 4 lignes la réciproque et l'inverse ont-ils la même valeur ? 4
18.
L'équivalence $x^2 = 4x$ si et seulement si $x = 4$ est-elle vraie ? Vérifie les deux sens.
Réponse: 0
1. Sens Si $x = 4$ , alors $x^2 = 4x$ : combien fait $4^2$ ? 16
2. Combien fait $4 \times 4$ , la valeur de $4x$ pour $x = 4$ ? 16
3. Sens Si $x^2 = 4x$ , alors $x = 4$ : quel autre nombre vérifie $x^2 = 4x$ ? 0