Guide de l'enseignant: Réciproque et inverse

Apprends à former la réciproque et l'inverse d'une implication et découvre pourquoi un énoncé vrai peut avoir une réciproque fausse.

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Quiz de classe

10 questions sur Raisonnement logique. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Former la réciproque et l'inverse d'une implication
Déterminer la valeur de vérité d'une réciproque ou d'un inverse et la justifier
Utiliser un seul contre-exemple pour montrer qu'un énoncé est faux
Expliquer avec une table de vérité pourquoi la réciproque et l'inverse ont toujours la même valeur de vérité
Écrire une équivalence quand un énoncé et sa réciproque sont vrais tous les deux

Prérequis

• Les énoncés si... alors : hypothèse, conclusion et table de vérité de $p \to q$
• Le raisonnement déductif : tirer des conclusions à partir de prémisses
• La négation d'un énoncé simple (non $p$ )
• La divisibilité, les carrés de nombres négatifs et les propriétés de base des angles

Amorces de discussion

1. Si tous les chiens sont des animaux, est-ce que tous les animaux sont des chiens ? Quelle est la différence entre les deux phrases ?
2. Connais-tu une publicité qui pousse les gens à croire la réciproque ?
3. Pourquoi un seul contre-exemple suffit-il à montrer qu'un énoncé est faux, alors que cent exemples ne peuvent pas prouver qu'il est vrai ?
4. Pourquoi une bonne définition doit-elle fonctionner dans les deux sens ?

Idées reçues courantes

La réciproque d'un énoncé vrai est toujours vraie

Remédiation: Commence par des énoncés du quotidien comme si un animal est un chien, alors c'est un mammifère. Les élèves trouvent vite des mammifères qui ne sont pas des chiens, comme les chats. Passe ensuite aux maths : si $x = 3$ , alors $x^2 = 9$ .

L'inverse veut dire la même chose que l'énoncé de départ

Remédiation: Montre la table de vérité : l'énoncé et son inverse diffèrent aux lignes 2 et 3. Teste l'exemple de la divisibilité par 4 avec le nombre 6.

La réciproque et l'inverse sont la même chose

Remédiation: Utilise des couleurs : écris $p$ en bleu et $q$ en rouge. La réciproque change l'ordre des couleurs, l'inverse garde l'ordre et ajoute non devant les deux.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Donner des phrases à trous : Si ___, alors ___. Réciproque : Si ___, alors ___.
• Commencer par des énoncés du quotidien avant de passer aux nombres
• Donner le contre-exemple et demander d'expliquer pourquoi il fonctionne

Pour les élèves au niveau:

• Écrire la réciproque et l'inverse de cinq énoncés mathématiques et trouver des contre-exemples
• Remplir la table de vérité de $q \to p$ et de $\neg p \to \neg q$
• Décider quels énoncés peuvent s'écrire sous forme d'équivalence

Pour les élèves avancés:

• Étudier la réciproque du théorème de Pythagore et pourquoi elle demande sa propre démonstration
• Trouver des énoncés faux dont la réciproque est vraie
• Découvrir la contraposée et comparer sa table de vérité avec celle de l'énoncé

Alignement aux standards

8.G.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.8.G.B.6)
Expliquer une démonstration du théorème de Pythagore et de sa réciproque
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construire des arguments solides et critiquer le raisonnement des autres
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Faire preuve de précision

Ressources de la leçon

visualTable de vérité interactive
Les élèves comparent ligne par ligne les colonnes de $p \to q$ , $q \to p$ et $\neg p \to \neg q$
activityChasse à la réciproque
Des binômes échangent des cartes d'énoncés, écrivent la réciproque et cherchent le plus vite possible un contre-exemple
worksheetVrai dans les deux sens ?
Classer des énoncés mathématiques en équivalences et en énoncés dont la réciproque est fausse

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Tout énoncé conditionnel (implication) a la forme

p \to q

: si

p

(l'hypothèse), alors

q

(la conclusion). À partir de lui, on peut construire deux nouveaux énoncés :

La réciproque échange les deux parties : $q \to p$ (si $q$ , alors $p$ ).
L'inverse nie les deux parties : $\neg p \to \neg q$ (si non $p$ , alors non $q$ ).

Exemple : Énoncé de départ : Si un nombre est divisible par 4, alors il est pair.

Réciproque : Si un nombre est pair, alors il est divisible par 4. (Faux : 6 est pair, mais $6 \div 4 = 1{,}5$ .)
Inverse : Si un nombre n'est pas divisible par 4, alors il n'est pas pair. (Faux : encore 6.)

La table de vérité montre que la réciproque et l'inverse ne correspondent pas toujours à l'énoncé de départ, mais qu'ils correspondent toujours l'un à l'autre :

\begin{array}{cc|c|c|c} p & q & p \to q & q \to p & \neg p \to \neg q \\ \hline \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} \\ \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} \\ \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V} \end{array}

L'ordre des lignes n'a pas d'importance : la table interactive ci-dessous commence par la ligne où

p

q

sont faux tous les deux, et chaque ligne garde les mêmes valeurs.

Pour montrer qu'un énoncé est faux, un seul contre-exemple suffit. Quand un énoncé et sa réciproque sont tous les deux vrais, on les réunit en une équivalence (biconditionnel) :

p \leftrightarrow q

, qui se lit

p

si et seulement si

q

Exemples résolus

Énoncé : Si une figure est un carré, alors elle a quatre côtés. Écris la réciproque et dis si elle est vraie.

Repérer l'hypothèse et la conclusion

$p$ : une figure est un carré. $q$ : elle a quatre côtés. → Énoncé : $p \to q$ (vrai)

Échanger les deux parties

$q \to p$ : Si une figure a quatre côtés, alors c'est un carré. → C'est la réciproque

Chercher un contre-exemple

Un rectangle de 5 cm sur 3 cm a quatre côtés, mais ce n'est pas un carré. → La réciproque est fausse

Réponse: Réciproque : Si une figure a quatre côtés, alors c'est un carré. Elle est fausse, car un rectangle de 5 cm sur 3 cm est un contre-exemple.

Erreurs courantes

Croire que la réciproque est vraie parce que l'énoncé est vrai

Pourquoi c'est faux: Échanger l'hypothèse et la conclusion crée un nouvel énoncé avec sa propre valeur de vérité. Si $x = 3$ , alors $x^2 = 9$ est vrai, mais si $x^2 = 9$ , alors $x = 3$ est faux.

Correct: Teste toujours la réciproque à part et cherche un contre-exemple, ici $x = -3$ .

Confondre la réciproque et l'inverse

Pourquoi c'est faux: Les deux sont construits avec les mêmes deux parties, donc ils se ressemblent. La réciproque change l'ordre, l'inverse ajoute deux négations.

Correct: Réciproque = échanger : $q \to p$ . Inverse = nier les deux : $\neg p \to \neg q$ .

Ne nier qu'une seule partie pour former l'inverse

Pourquoi c'est faux: Écrire $\neg p \to q$ (si ce n'est pas un carré, alors quatre côtés) ne donne pas l'inverse. C'est un énoncé complètement différent.

Correct: Mets non devant l'hypothèse et devant la conclusion : si ce n'est pas un carré, alors pas quatre côtés.

Prendre un exemple qui marche comme preuve que la réciproque est vraie

Pourquoi c'est faux: Pour si $x^2 = 9$ , alors $x = 3$ , l'exemple $x = 3$ marche, mais $x = -3$ non. Des exemples qui marchent ne prouvent jamais un énoncé général.

Correct: Un contre-exemple prouve qu'un énoncé est faux. Pour prouver qu'il est vrai, il faut un raisonnement qui couvre tous les cas.

Pourquoi c'est important

Confondre un énoncé et sa réciproque est l'une des erreurs de raisonnement les plus fréquentes :

Mathématiques : qu'un théorème soit vrai ne rend pas sa réciproque vraie. Le théorème de Pythagore et sa réciproque se démontrent séparément.
Définitions : une bonne définition est une équivalence. Elle doit fonctionner dans les deux sens.
Publicité : si tu prends l'abonnement premium, tu as un service plus rapide. Cela ne veut pas dire que tous ceux qui ont un service rapide ont pris l'abonnement premium.
Programmation : si x est divisible par 6, alors x est pair. Un programme ne doit pas supposer le sens contraire : 8 est pair mais n'est pas divisible par 6.
Vie quotidienne : s'il pleut, la rue est mouillée. Une rue mouillée ne prouve pas qu'il a plu, une balayeuse est peut-être passée.

Repérer une réciproque fausse grâce à un contre-exemple est une compétence que tu utiliseras dans chaque démonstration.

Applications dans le monde réel

Promotions en boutique

Les boutiques énoncent leurs règles sous forme d'implications. Les clients les lisent souvent à l'envers, et c'est exactement la réciproque.

Exemple:

Règle : Si ta commande dépasse 50 €, alors la livraison est gratuite. Réciproque : Si la livraison est gratuite, alors ta commande dépassait 50 €. Un code membre peut aussi offrir la livraison, donc la réciproque peut être fausse.

1Essaie par toi-même

Une boutique a cette règle : Si une commande dépasse 50 €, alors la livraison est gratuite. Léna achète 3 livres à 12 € chacun et utilise un code membre qui offre aussi la livraison.

La commande de Léna montre-t-elle que la réciproque de la règle est fausse ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris l'expression du total de Léna :

Vérifier les règles d'un programme

Les programmeurs écrivent des conditions comme si n est divisible par 6, alors n est pair. Inverser le sens d'une telle condition est un bug classique.

Exemple:

Un programme n'accepte que les nombres divisibles par 6 et les marque comme pairs. Un programmeur inverse le test et accepte tout nombre pair comme divisible par 6. Le nombre 8 passe alors par erreur.

2Essaie par toi-même

La règle est : Si un nombre est divisible par 6, alors il est pair. Un programmeur utilise la réciproque : Si un nombre est pair, alors il est divisible par 6. Teste-la avec le nombre 8.

Est-ce que 8 met la réciproque en défaut ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris la division qui teste 8 avec 6 :

De bonnes définitions

Les dictionnaires et les manuels de maths écrivent des définitions qui fonctionnent dans les deux sens. Une définition est une équivalence, un énoncé si et seulement si.

Exemple:

Un triangle est rectangle si et seulement s'il a un angle de $90^\circ$ . Tout triangle rectangle a un angle de $90^\circ$ , et tout triangle qui a un angle de $90^\circ$ est rectangle.

3Essaie par toi-même

Deux angles d'un triangle mesurent $35^\circ$ et $55^\circ$ . La somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$ .

Ce triangle est-il rectangle ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris l'expression du troisième angle :

Points clés

1Une implication a la forme $p \to q$ : si $p$ , alors $q$
2La réciproque échange les parties : $q \to p$
3L'inverse nie les deux parties : $\neg p \to \neg q$
4Un énoncé vrai peut avoir une réciproque fausse et un inverse faux, par exemple si $x = 3$ , alors $x^2 = 9$
5La réciproque et l'inverse ont toujours la même valeur de vérité, et un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'un énoncé est faux
6Quand un énoncé et sa réciproque sont vrais tous les deux, ils forment une équivalence $p \leftrightarrow q$ (si et seulement si)

Questions fréquentes

Si l'énoncé est vrai, la réciproque peut-elle être vraie aussi ?

Parfois. Si un angle mesure

90^\circ

, alors c'est un angle droit, et la réciproque est vraie aussi. Mais tu dois toujours la vérifier à part, elle ne découle jamais automatiquement de l'énoncé.

Pourquoi la réciproque et l'inverse ont-ils toujours la même valeur de vérité ?

Regarde la table de vérité : les colonnes de

q \to p

et de

\neg p \to \neg q

sont identiques sur les quatre lignes. Dans la prochaine leçon, tu verras pourquoi : chacun de ces deux énoncés est la contraposée de l'autre.

Que veut dire si et seulement si ?

Cela veut dire que les deux sens sont vrais :

p \to q

q \to p

. On écrit

p \leftrightarrow q

. Par exemple,

x + 4 = 10

si et seulement si

x = 6

Combien de contre-exemples me faut-il ?

Un seul. Un seul cas où l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse montre que tout l'énoncé est faux.

Glossaire

Énoncé conditionnel (implication): Un énoncé de la forme si $p$ , alors $q$ , noté $p \to q$
Réciproque: L'énoncé obtenu en échangeant l'hypothèse et la conclusion : $q \to p$
Inverse: L'énoncé obtenu en niant l'hypothèse et la conclusion : $\neg p \to \neg q$
Négation: Le contraire d'un énoncé, noté $\neg p$ et lu non $p$
Contre-exemple: Un seul cas où l'hypothèse est vraie mais la conclusion est fausse
Équivalence (biconditionnel): Un énoncé vrai dans les deux sens, noté $p \leftrightarrow q$ et lu $p$ si et seulement si $q$

Carte des formules

Énoncé de départ (implication)

p \to q

Si $p$, alors $q$

Réciproque

q \to p

Échanger l'hypothèse et la conclusion

Inverse

\neg p \to \neg q

Nier les deux parties, garder l'ordre

Équivalence

p \leftrightarrow q

Vraie quand $p \to q$ et $q \to p$ sont vraies toutes les deux

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Carte des formules

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Réciproque

Inverse

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