Guide de l'enseignant: Les énoncés si... alors

Apprends à écrire des énoncés sous la forme si... alors, à repérer l'hypothèse et la conclusion, et à décider quand une implication est fausse.

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Quiz de classe

10 questions sur Raisonnement logique. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Repérer l'hypothèse et la conclusion d'une implication
Reformuler des phrases de tous les jours et des phrases mathématiques sous la forme si... alors et avec la notation p → q
Déterminer la valeur de vérité d'une implication à partir des valeurs de vérité de ses parties
Trouver un contre-exemple pour montrer qu'une implication est fausse
Expliquer pourquoi des exemples seuls ne peuvent pas prouver une implication

Prérequis

• Introduction au raisonnement logique : les propositions et leurs valeurs de vérité
• Le raisonnement déductif : utiliser une règle (prémisse) pour arriver à une conclusion
• Comparer des nombres avec <, > et ≥ et calcul de base

Amorces de discussion

1. Ton père dit : "Si tu ranges ta chambre, alors tu peux sortir." Tu n'as pas rangé ta chambre, mais tu as quand même pu sortir. A-t-il menti ?
2. Trouve une règle de l'école ou d'un jeu. Peux-tu l'écrire sous la forme si... alors ?
3. Pourquoi un seul contre-exemple suffit-il pour réfuter une affirmation, alors que cent bons exemples ne suffisent pas pour la prouver ?
4. "Tous les chats sont des animaux" et "Si quelque chose est un chat, alors c'est un animal" : est-ce le même énoncé ?
5. Connais-tu un énoncé vrai qui devient faux quand on échange la partie "si" et la partie "alors" ?

Idées reçues courantes

Une implication dont l'hypothèse est fausse est fausse (ou "on ne peut pas décider")

Remédiation: Utilise le modèle de la promesse : "Si tu as au moins 80 points, tu reçois un autocollant." Demande si la professeure rompt sa promesse quand un élève avec 70 points reçoit quand même un autocollant. Fais ensuite vérifier les lignes F dans la table de vérité interactive.

"Si $p$ , alors $q$ " veut aussi dire "si $q$ , alors $p$ "

Remédiation: Donne la paire "si une figure est un carré, alors c'est un rectangle" et la version échangée, et demande aux élèves de dessiner un contre-exemple pour la version échangée. Dis-leur que cette idée sera étudiée en détail dans la prochaine leçon, Réciproque et inverse.

Quelques exemples qui marchent prouvent un énoncé

Remédiation: Testez ensemble $2^n + 1$ pour $n = 1, 2, 3$ , ou $n^2 + n + 1$ pour $n = 2, 3, 4$ . La régularité s'arrête à $n = 3$ et à $n = 4$ , ce qui montre pourquoi les mathématiciens exigent une preuve.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Donner des amorces de phrase : "Si ___, alors ___." et faire souligner l'hypothèse d'une couleur et la conclusion d'une autre
• Commencer par des règles du quotidien (jeux, école) avant les énoncés mathématiques
• Utiliser le tableau des quatre élèves et des autocollants pour rendre le cas V → F concret

Pour les élèves au niveau:

• Reformuler des phrases avec "tout", "tous" et "quand" sous la forme si... alors et avec la notation p → q
• Décider si des affirmations sur les nombres sont vraies et donner des contre-exemples pour les fausses
• Remplir la table de vérité de p → q en mode quiz sans aide

Pour les élèves avancés:

• Trouver le plus petit contre-exemple à des affirmations comme " $n^2 + n + 1$ est toujours premier"
• Explorer l'énigme des cartes : quelles cartes faut-il retourner pour tester une règle si... alors ?
• Écrire une implication vraie dont la version échangée est fausse, comme avant-goût de la réciproque

Alignement aux standards

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construire des arguments valables et critiquer le raisonnement des autres
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Être attentif à la précision

Ressources de la leçon

visualTable de vérité interactive
Les élèves choisissent l'opérateur →, voient la seule ligne fausse s'allumer, puis remplissent la table eux-mêmes en mode quiz
activityPromesses rompues
Par deux, les élèves écrivent des règles de classe sous la forme si... alors et jouent les quatre cas pour trouver celui qui rompt la règle
worksheetChasse aux contre-exemples
Une liste d'affirmations sur les nombres ; les élèves indiquent si chacune est vraie ou donnent le plus petit contre-exemple

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une implication, aussi appelée énoncé conditionnel ou énoncé si... alors, relie deux propositions avec les mots si et alors :

\text{Si } p\text{, alors } q.

La partie après "si" est l'hypothèse ( $p$ ), la condition.
La partie après "alors" est la conclusion ( $q$ ), ce qui doit en découler.

En symboles, on écrit

p \to q

et on lit "si

p

, alors

q

" ou "

p

implique

q

Exemple : Si un nombre se termine par 0, alors il est divisible par 10.

Hypothèse $p$ : un nombre se termine par 0
Conclusion $q$ : ce nombre est divisible par 10

Vois une implication comme une promesse. La promesse n'est rompue que si l'hypothèse se réalise et que la conclusion ne se réalise pas. Donc

p \to q

est fausse dans un seul cas :

p

est vraie et

q

est fausse. Dans tous les autres cas, elle est vraie.

$p$	$q$	$p \to q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

La table de vérité interactive de cette leçon donne les quatre mêmes lignes dans l'ordre inverse, en commençant par F, F. Les deux ordres sont corrects.

Un cas où l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse s'appelle un contre-exemple. Un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'une implication est fausse.

Exemples résolus

Repère l'hypothèse et la conclusion : "Si un triangle a un angle droit, alors c'est un triangle rectangle."

Trouve la partie après "si"

"un triangle a un angle droit" → Hypothèse $p$ : un triangle a un angle droit

Trouve la partie après "alors"

"c'est un triangle rectangle" → Conclusion $q$ : le triangle est rectangle

Écris-la en symboles

La condition vient d'abord, le résultat ensuite → $p \to q$

Réponse: Hypothèse : un triangle a un angle droit. Conclusion : c'est un triangle rectangle. En symboles : $p \to q$ .

Erreurs courantes

Prendre la première partie de la phrase pour l'hypothèse, comme dans "Je prends un parapluie s'il pleut" → hypothèse "je prends un parapluie"

Pourquoi c'est faux: L'hypothèse est la partie qui suit le mot "si" (ou "quand", "chaque fois que"), où qu'elle se trouve dans la phrase.

Correct: Trouve d'abord la condition : "il pleut". Puis écris : S'il pleut, alors je prends un parapluie.

Penser que $p \to q$ est fausse dès que l'hypothèse est fausse

Pourquoi c'est faux: Une implication ne promet quelque chose que dans le cas où $p$ se réalise. Si $p$ ne se réalise pas, la promesse ne peut pas être rompue.

Correct: $p \to q$ n'est fausse que dans le cas V → F. Quand $p$ est fausse, l'implication est vraie, quelle que soit $q$ .

Utiliser comme contre-exemple un nombre qui ne vérifie pas l'hypothèse, par exemple $x = 0$ contre "si $x > 3$ , alors $x > 1$ "

Pourquoi c'est faux: Pour $x = 0$ , la conclusion $x > 1$ est fausse, mais l'hypothèse $x > 3$ est fausse elle aussi, donc ce cas ne peut pas réfuter l'énoncé.

Correct: Un contre-exemple doit rendre l'hypothèse vraie et la conclusion fausse. Pour "si $x > 3$ , alors $x > 1$ ", un tel nombre n'existe pas, donc l'énoncé est vrai.

Croire qu'un exemple qui marche prouve l'énoncé

Pourquoi c'est faux: "Si $n$ est un entier naturel, alors $2^n + 1$ est premier" marche pour $n = 1$ ( $3$ ) et $n = 2$ ( $5$ ), mais $n = 3$ donne $9$ , qui n'est pas premier.

Correct: Les exemples peuvent seulement appuyer un énoncé. Pour le prouver, il faut un argument général, mais un seul contre-exemple suffit pour le réfuter.

Pourquoi c'est important

Les implications sont partout, souvent cachées dans des phrases ordinaires :

Achats : "Si ta commande atteint au moins 40 €, alors la livraison est gratuite."
Règles et jeux : "Si tu fais un 6, alors tu rejoues."
Sciences : "Si on chauffe de l'eau à 100 °C au niveau de la mer, alors elle bout."
Programmation : chaque application est pleine de commandes comme "si le mot de passe est correct, alors ouvre le compte".
Mathématiques : presque chaque règle et chaque théorème est une implication, par exemple "si un triangle a un angle droit, alors $a^2 + b^2 = c^2$ " (où $c$ est le plus grand côté).

Dans la leçon Le raisonnement déductif, tu as utilisé des règles si... alors comme prémisses. Maintenant tu vas apprendre comment elles sont construites, comment les écrire toi-même et comment les tester. C'est le point de départ pour la réciproque, l'inverse et la contraposée, qui viennent ensuite dans les leçons Réciproque et inverse et Contraposée.

Applications dans le monde réel

Achats en ligne

Les boutiques utilisent des règles si... alors pour la livraison gratuite, les réductions et les cadeaux. Pour profiter de l'offre, tu dois rendre l'hypothèse vraie.

Exemple:

"Si ta commande atteint au moins 40 €, alors la livraison est gratuite." Une commande de 52 € rend l'hypothèse vraie, donc la livraison doit être gratuite.

1Essaie par toi-même

Une boutique promet : si ta commande atteint au moins 40 €, alors la livraison est gratuite. Ton panier contient un t-shirt à 18 € et une casquette à 15 €.

Combien d'euros dois-tu encore dépenser pour que l'hypothèse devienne vraie ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Soustrais ton total de 40 :

Tester des affirmations en mathématiques

Les mathématiciens testent une implication en cherchant un contre-exemple. S'ils en trouvent un, l'affirmation est fausse.

Exemple:

"Si un nombre est premier, alors il est impair" est faux, car 2 est premier et pair.

2Essaie par toi-même

Un camarade affirme : si un entier naturel est un multiple de 3, alors il est impair.

Quel est le plus petit contre-exemple positif ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Les multiples de 3 sont 3, 3 + 3, 3 + 3 + 3, ... Écris le deuxième :

Maison connectée et programmation

Un thermostat fonctionne avec une implication : si la pièce est plus froide qu'une valeur réglée, alors le chauffage s'allume.

Exemple:

"Si la température est inférieure à 18 °C, alors le chauffage s'allume." À 17 °C, l'hypothèse est vraie, donc le chauffage doit s'allumer. À 20 °C, rien n'est promis.

3Essaie par toi-même

La règle est : si la température est inférieure à 18 °C, alors le chauffage s'allume. À 7 h, la pièce est à 22 °C et elle se refroidit de 3 °C par heure.

Quelle est la température après 2 heures, et le chauffage est-il allumé ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Pars de 22 et soustrais 3 deux fois :

Points clés

1Une implication a la forme "si $p$ , alors $q$ ", qu'on écrit $p \to q$
2L'hypothèse $p$ est la condition après "si" ; la conclusion $q$ est le résultat après "alors"
3Beaucoup de phrases cachent une implication : "tout A est B" veut dire "si quelque chose est un A, alors c'est un B"
4 $p \to q$ n'est fausse que si $p$ est vraie et $q$ est fausse (V → F) ; dans les trois autres cas, elle est vraie
5Un contre-exemple rend l'hypothèse vraie et la conclusion fausse, et un seul suffit pour réfuter un énoncé
6Des exemples qui marchent appuient un énoncé, mais ils ne le prouvent pas

Questions fréquentes

Pourquoi "si $p$ , alors $q$ " est-elle vraie quand $p$ est fausse ?

Parce que l'énoncé ne fait une promesse que pour le cas où

p

se réalise. Si tu dis "s'il pleut, je prends un parapluie" et qu'il ne pleut pas, tu n'as pas manqué à ta parole, quoi que tu fasses.

Le mot "alors" doit-il toujours être là ?

Non. "S'il pleut, je reste à la maison", "Je reste à la maison quand il pleut" et "La pluie signifie que je reste à la maison" sont la même implication. L'écrire avec "si" et "alors" permet juste de bien voir l'hypothèse et la conclusion.

Combien de contre-exemples faut-il pour montrer qu'un énoncé est faux ?

Un seul. Une implication affirme que la conclusion suit chaque fois que l'hypothèse est vraie, donc un seul cas V → F suffit pour la réfuter.

Que se passe-t-il si j'échange l'hypothèse et la conclusion ?

Tu obtiens un nouvel énoncé qui peut avoir une autre valeur de vérité. "Si une figure est un carré, alors c'est un rectangle" est vrai, mais "si une figure est un rectangle, alors c'est un carré" est faux. Échanger et nier les parties est le sujet des prochaines leçons, Réciproque et inverse et Contraposée.

Glossaire

Énoncé conditionnel: Un énoncé de la forme "si $p$ , alors $q$ ", aussi appelé énoncé si... alors
Hypothèse: La condition d'une implication, la partie après "si" ( $p$ )
Conclusion: Le résultat d'une implication, la partie après "alors" ( $q$ )
Implication: Autre nom de l'énoncé conditionnel ; $p \to q$ se lit " $p$ implique $q$ "
Contre-exemple: Un cas où l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse ; il montre qu'une implication est fausse
Valeur de vérité: Le fait qu'un énoncé soit vrai (V) ou faux (F)

Carte des formules

Implication

p \to q

Se lit "si $p$, alors $q$" : $p$ est l'hypothèse, $q$ la conclusion

Seul cas faux

V \to F = F

Une implication n'est fausse que si l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse

Contre-exemple

p \text{ vraie et } q \text{ fausse}

Un seul cas de ce type suffit pour réfuter $p \to q$

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Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Achats en ligne

Tester des affirmations en mathématiques

Maison connectée et programmation

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Implication

Seul cas faux

Contre-exemple

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