Démonstrations en géométrie

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Les droites $AB$ et $CD$ sont parallèles ( $A$ et $C$ à gauche, $B$ et $D$ à droite). Une sécante coupe $AB$ en $E$ et $CD$ en $F$ . On a $\angle AEF = 72^\circ$ et $\angle EFD = 72^\circ$ . Quelle justification permet d'écrire $\angle EFD = \angle AEF$ ?
1. a)Les angles intérieurs du même côté sont égaux
2. b)Les angles opposés par le sommet sont égaux
3. c)Les angles alternes-internes sont égaux
4. d)Les angles correspondants sont égaux
Réponse: Les angles alternes-internes sont égaux
$\angle AEF$ (en $E$ , à gauche) et $\angle EFD$ (en $F$ , à droite) sont entre les parallèles, de part et d'autre de la sécante : ce sont des angles alternes-internes, égaux avec des parallèles.
2.
Les droites $AB$ et $CD$ sont parallèles ( $A$ et $C$ à gauche, $B$ et $D$ à droite). Une sécante coupe $AB$ en $E$ et $CD$ en $F$ . On a $\angle AEF = 72^\circ$ . Combien de degrés mesure $\angle CFE$ ?
Réponse: 108
$\angle EFD = \angle AEF = 72^\circ$ (angles alternes-internes). $\angle CFE$ et $\angle EFD$ forment un angle plat, donc $\angle CFE = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ . Vérification : $72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$ .
3.
Dans $\triangle ABC$ , $\angle A = 47^\circ$ et $\angle B = 68^\circ$ . Combien de degrés mesure $\angle C$ ?
Réponse: 65
D'après la somme des angles d'un triangle, $\angle C = 180^\circ - 47^\circ - 68^\circ = 65^\circ$ .
4.
Quel groupe d'éléments égaux ne permet PAS de démontrer que deux triangles sont isométriques ?
1. a)CAC
2. b)AAA
3. c)CCC
4. d)ACA
Réponse: AAA
Trois angles égaux (AAA) fixent seulement la forme, pas la taille : un petit et un grand triangle équilatéral ont tous deux trois angles de $60^\circ$ mais ne sont pas isométriques. CCC, CAC et ACA sont des cas d'isométrie valables.
5.
Dans $\triangle ABC$ , $AB = AC$ et $\angle B = 52^\circ$ . Trouve $\angle C$ et $\angle A$ .
Réponse: 76
1. Combien de degrés mesure $\angle C$ ? 52
2. Combien de degrés vaut $\angle B + \angle C$ ? 104
3. Combien de degrés mesure $\angle A$ ? 76
6.
Les droites parallèles $\ell$ et $m$ ( $\ell$ au-dessus de $m$ ) sont coupées par une sécante $t$ . En $\ell$ , l'angle au-dessus de $\ell$ et à droite de $t$ mesure $110^\circ$ . Trouve l'angle au-dessus de $m$ à droite de $t$ , puis l'angle au-dessus de $m$ à gauche de $t$ .
Réponse: 70
1. Combien de degrés mesure l'angle au-dessus de $m$ à droite de $t$ ? 110
2. Combien de degrés mesure l'angle au-dessus de $m$ à gauche de $t$ ? 70
7.
Les segments $AD$ et $BC$ se coupent en $M$ , et $M$ est le milieu des deux. Tu sais que $AM = DM$ , $BM = CM$ et $\angle AMB = \angle DMC$ (angles opposés par le sommet). Quel cas d'isométrie démontre $\triangle AMB \cong \triangle DMC$ ?
1. a)AAC
2. b)ACA
3. c)CAC
4. d)CCC
Réponse: CAC
Deux côtés ( $AM$ , $BM$ ) et l'angle compris entre eux (en $M$ ) sont égaux à deux côtés et à l'angle compris de l'autre triangle : c'est le cas CAC.
8.
Dans $\triangle ABC$ , la parallèle à $BC$ passant par $A$ forme un angle de $55^\circ$ avec $AB$ (du côté de $B$ ) et un angle de $64^\circ$ avec $AC$ (du côté de $C$ ). Combien de degrés mesure $\angle BAC$ ?
Réponse: 61
Les trois angles en $A$ sont sur la parallèle, donc $55^\circ + \angle BAC + 64^\circ = 180^\circ$ et $\angle BAC = 61^\circ$ . Par les angles alternes-internes, $\angle B = 55^\circ$ et $\angle C = 64^\circ$ , et on a bien $55^\circ + 61^\circ + 64^\circ = 180^\circ$ .
9.
Dans $\triangle ABC$ , $AB = AC$ et $\angle A = 36^\circ$ . Trouve l'angle à la base $\angle B$ , puis l'angle extérieur en $B$ (entre $AB$ et le prolongement de $CB$ au-delà de $B$ ).
Réponse: 108
1. Combien de degrés vaut $\angle B + \angle C$ ? 144
2. Combien de degrés mesure $\angle B$ ? 72
3. Combien de degrés mesure l'angle extérieur en $B$ ? 108
10.
Les segments $AE$ et $BD$ se coupent en $C$ , $AB \parallel DE$ et $C$ est le milieu de $AE$ . De plus $\angle BAC = 40^\circ$ , $\angle ACB = 75^\circ$ et $AB = 9$ cm. Trouve les angles de $\triangle EDC$ et la longueur $DE$ .
Réponse: 9
1. Combien de degrés mesure $\angle CED$ ? 40
2. Combien de degrés mesure $\angle ECD$ ? 75
3. Combien de degrés mesure $\angle CDE$ ? 65
4. Combien de cm mesure $DE$ ? 9
11.
Dans $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ : $AB = DE$ , $\angle A = \angle D$ et $\angle B = \angle E$ . Quel cas d'isométrie démontre $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ?
1. a)CCC
2. b)AAC
3. c)CAC
4. d)ACA
Réponse: ACA
Le côté égal $AB$ relie les sommets des deux angles égaux, il est donc compris entre eux : angle, côté, angle, c'est le cas ACA.
12.
$AD$ est la bissectrice de $\angle BAC$ et $\angle BAD = 34^\circ$ . Combien de degrés mesure $\angle BAC$ ?
Réponse: 68
Par définition de la bissectrice, $\angle CAD = \angle BAD = 34^\circ$ , donc $\angle BAC = 34^\circ + 34^\circ = 68^\circ$ .
13.
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Deux angles alternes-internes mesurent $(3x + 10)^\circ$ et $(5x - 30)^\circ$ . Trouve $x$ , l'angle, puis l'angle qui lui est adjacent et supplémentaire.
Réponse: 110
1. Résous $3x + 10 = 5x - 30$ . Combien vaut $x$ ? 20
2. Combien de degrés mesure chaque angle alterne-interne ? 70
3. Combien de degrés mesure l'angle adjacent supplémentaire ? 110
14.
Dans $\triangle ABC$ , $AB = AC$ , $\angle B = (2x + 10)^\circ$ et $\angle C = (3x - 15)^\circ$ . Combien de degrés mesure $\angle A$ ?
Réponse: 60
$2x + 10 = 3x - 15$ donne $x = 25$ , donc $\angle B = \angle C = 60^\circ$ . Alors $\angle A = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$ : le triangle est même équilatéral.
15.
Dans le quadrilatère $ABCD$ , $AB = AD$ et $CB = CD$ , avec $\angle BAD = 80^\circ$ et $\angle BCD = 60^\circ$ . Utilise $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (CCC) pour trouver $\angle ABC$ et $\angle ADC$ .
Réponse: 110
1. Combien de degrés mesure $\angle BAC$ ? 40
2. Combien de degrés mesure $\angle BCA$ ? 30
3. Combien de degrés mesure $\angle ABC$ ? 110
4. Combien de degrés mesure $\angle ADC$ ? 110
16.
Démonstration que les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. On sait que : $AB = AC$ , et $AD$ est la bissectrice de $\angle BAC$ avec $D$ sur $BC$ . Étape 1 : $AB = AC$ (hypothèse). Étape 2 : $\angle BAD = \angle CAD$ (définition de la bissectrice). Étape 3 : $AD = AD$ . Étape 4 : $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (CAC). Étape 5 : $\angle B = \angle C$ (éléments homologues). Quelle est la justification de l'étape 3 ?
1. a)Définition du milieu
2. b)Réflexivité
3. c)Transitivité
4. d)Angles opposés par le sommet
Réponse: Réflexivité
$AD$ est un côté commun à $\triangle ABD$ et $\triangle ACD$ . Tout segment est égal à lui-même : c'est la réflexivité. Elle donne la deuxième paire de côtés nécessaire pour CAC.
17.
Dans $\triangle ABC$ , $\angle A = 50^\circ$ et $\angle B = 60^\circ$ . Le côté $BC$ est prolongé au-delà de $C$ jusqu'à un point $D$ . Trouve $\angle ACB$ , l'angle extérieur $\angle ACD$ , et compare-le avec $\angle A + \angle B$ .
Réponse: 110
1. Combien de degrés mesure $\angle ACB$ ? 70
2. Combien de degrés mesure $\angle ACD$ ? 110
3. Combien de degrés vaut $\angle A + \angle B$ ? 110
18.
Dans $\triangle ABC$ , $AB = AC$ et $\angle A = 44^\circ$ . Un segment $DE$ avec $D$ sur $AB$ et $E$ sur $AC$ est parallèle à $BC$ . Trouve $\angle ABC$ , $\angle ADE$ et $\angle BDE$ .
Réponse: 112
1. Combien de degrés mesure $\angle ABC$ ? 68
2. Combien de degrés mesure $\angle ADE$ ? 68
3. Combien de degrés mesure $\angle BDE$ ? 112