Démonstration par contraposée

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Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quel énoncé est la contraposée de "Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair" ?
1. a)Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair
2. b)Si $n$ est impair, alors $n^2$ est pair
3. c)Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair
4. d)Si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair
2.
Tu veux démontrer "Si $xy$ est impair, alors $x$ et $y$ sont tous les deux impairs" par contraposée. Que supposes-tu au départ ?
1. a) $x$ et $y$ sont tous les deux impairs
2. b) $x$ et $y$ sont tous les deux pairs
3. c) $x$ est pair ou $y$ est pair
4. d) $xy$ est pair
3.
Quelle est la négation de " $x \geq 5$ ou $y \geq 5$ " ?
1. a) $x \leq 5$ et $y \leq 5$
2. b) $x < 5$ ou $y < 5$
3. c) $x < 5$ et $y < 5$
4. d) $x > 5$ et $y > 5$
4.
Dans une démonstration de $p \to q$ par contraposée, tu commences par supposer $\neg q$ . À quoi dois-tu arriver à la fin ?
1. a) $\neg p$
2. b) $p$ et $\neg q$ en même temps
3. c) $q$
4. d)Une contradiction quelconque
5.
Pour quel énoncé une démonstration par contraposée est-elle nettement plus adaptée qu'une démonstration directe ?
1. a)Si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair
2. b)Si $a$ et $b$ sont pairs, alors $a + b$ est pair
3. c)Si $5n + 1$ est pair, alors $n$ est impair
4. d)Si $n$ est impair, alors $n + 1$ est pair
6.
Dans la table de vérité, regarde la ligne où $p$ est vraie et $q$ est fausse. Quelle est la valeur de $\neg q \to \neg p$ sur cette ligne ? Tape 1 pour vrai et 0 pour faux.
7.
Démonstration par contraposée de "si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair" : suppose $n = 2k$ , donc $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ . Pour $k = 7$ , combien vaut $2k^2$ ?
8.
Dans la preuve qu'un $n$ impair donne un $n^2$ impair, on écrit $n = 2k + 1$ et $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . Pour $n = 9$ , on a $k = 4$ . Combien vaut $2k^2 + 2k$ ?
9.
La contraposée de "si $x + y \geq 10$ , alors $x \geq 5$ ou $y \geq 5$ " dit : si $x < 5$ et $y < 5$ , alors $x + y < 10$ . Pour des entiers $x$ et $y$ avec $x < 5$ et $y < 5$ , quelle est la plus grande valeur possible de $x + y$ ?
10.
Pour démontrer "si $n^2 - 6n + 5$ est pair, alors $n$ est impair" par contraposée, suppose $n = 2k$ . Alors $n^2 - 6n + 5 = 2(2k^2 - 6k + 2) + 1$ . Pour $k = 3$ , combien vaut $2k^2 - 6k + 2$ ?
11.
Vérifie la contraposée de "si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair" avec le nombre impair $n = 11$ .
12.
Démontre "si $3n + 2$ est impair, alors $n$ est impair" par contraposée et vérifie avec $k = 4$ .
13.
Contraposée de "si $xy$ est impair, alors $x$ et $y$ sont impairs", cas " $x$ est pair". Suis la démonstration avec $x = 6$ et $y = 7$ .
14.
Compare les colonnes $p \to q$ et $\neg q \to \neg p$ dans la table de vérité à 4 lignes.
15.
Démontre par contraposée : pour des réels $x$ , $y$ , $z$ , si $x + y + z \geq 30$ , alors $x \geq 10$ ou $y \geq 10$ ou $z \geq 10$ .
16.
Énoncé : si $n^2 - 6n + 5$ est pair, alors $n$ est impair. Vérifie la contraposée avec $n = 2k$ et $k = 5$ .
17.
Démontre par contraposée : si 7 nombres ont une somme $S$ supérieure à 63, alors au moins l'un d'eux est supérieur à 9.
18.
Démontre "si $n^2$ n'est pas divisible par 3, alors $n$ n'est pas divisible par 3" par contraposée et vérifie avec $k = 7$ .