Démonstrations rédigées

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Dans une démonstration rédigée, quel mot de liaison introduit une nouvelle affirmation (une conclusion) et non une justification ?
1. a)puisque
2. b)donc
3. c)car
4. d)par définition de
Réponse: donc
Donc introduit une nouvelle affirmation qui découle de ce qui précède. Car, puisque et par définition de introduisent des justifications.
2.
Une démonstration rédigée contient la phrase : *Puisque $a$ est impair, $a = 2m + 1$ pour un certain entier $m$ .* Quelle justification cette phrase utilise-t-elle ?
1. a)La définition d'un entier impair
2. b)La propriété de l'égalité pour la soustraction
3. c)La conclusion de la démonstration
4. d)Le théorème des angles opposés par le sommet
Réponse: La définition d'un entier impair
Un entier impair est, par définition, un entier qui s'écrit $2m + 1$ avec $m$ entier. La phrase utilise cette définition.
3.
$\angle 1$ et $\angle 2$ sont adjacents supplémentaires, et $\angle 1 = 72^\circ$ . Combien de degrés mesure $\angle 2$ ?
Réponse: 108
Puisque les angles sont adjacents supplémentaires, $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ , donc $\angle 2 = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ .
4.
Une démonstration rédigée montre que trois entiers consécutifs $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ ont pour somme $3(n + 1)$ . Pour $20 + 21 + 22$ , la somme est le triple de quel nombre ?
Réponse: 21
Avec $n = 20$ , la somme vaut $3(n + 1) = 3 \times 21 = 63$ . Vérification : $20 + 21 + 22 = 63$ . Le nombre est celui du milieu, 21.
5.
Deux droites se coupent. $\angle 1 = 58^\circ$ , $\angle 2$ est à côté et $\angle 3$ est opposé à $\angle 1$ . Suis la démonstration du théorème des angles opposés par le sommet pour trouver $\angle 3$ .
Réponse: 58
1. $\angle 1$ et $\angle 2$ sont adjacents supplémentaires. Combien de degrés vaut $\angle 1 + \angle 2$ ? 180
2. Combien de degrés mesure donc $\angle 2$ ? 122
3. $\angle 2$ et $\angle 3$ sont aussi adjacents supplémentaires. Combien de degrés mesure $\angle 3$ ? 58
6.
Suis la démonstration que impair + impair est pair avec les nombres impairs $a = 7$ et $b = 11$ , écrits $a = 2m + 1$ et $b = 2n + 1$ .
Réponse: 18
1. Puisque $7 = 2m + 1$ , que vaut $m$ ? 3
2. Puisque $11 = 2n + 1$ , que vaut $n$ ? 5
3. Que vaut $m + n + 1$ ? 9
4. Combien vaut donc $a + b = 2(m + n + 1)$ ? 18
7.
Il manque une phrase dans cette démonstration que la somme de deux entiers impairs est paire : *Soient $a$ et $b$ impairs. Alors $a = 2m + 1$ et $b = 2n + 1$ pour des entiers $m$ et $n$ . [ ? ] Puisque $m + n + 1$ est un entier, $a + b$ est pair.* Quelle phrase comble le trou ?
1. a)Donc $a + b = 2(m + n) + 1$ .
2. b)Par exemple, $3 + 5 = 8$ est pair.
3. c)En additionnant, $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ .
4. d)Donc $a = b$ .
Réponse: En additionnant, $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ .
Seule la somme $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ relie le début à la dernière phrase. $2(m + n) + 1$ est un calcul faux, $a = b$ n'a jamais été donné, et un exemple ne prouve rien en général.
8.
Quelle phrase de cette démonstration rédigée est fausse ? (1) Soient $a$ pair et $b$ un entier quelconque, donc $a = 2k$ pour un entier $k$ . (2) Alors $ab = 2kb$ . (3) Donc $ab = 2(kb)$ . (4) Puisque $kb$ est un entier, $ab$ est impair.
1. a)Phrase 2
2. b)Phrase 1
3. c)Phrase 3
4. d)Phrase 4
Réponse: Phrase 4
Les phrases 1 à 3 sont justes. La phrase 4 tire la mauvaise conclusion : le double d'un entier est pair par définition, pas impair.
9.
Une démonstration en deux colonnes part de l'hypothèse $4x - 7 = 21$ et se termine par $x = 7$ . Dans la version rédigée, la deuxième phrase est : *En ajoutant 7 aux deux membres, on obtient $4x = \square$ d'après la propriété de l'égalité pour l'addition.* Quel nombre va dans la case ?
Réponse: 28
$4x - 7 + 7 = 21 + 7$ , donc $4x = 28$ . Diviser par 4 donne ensuite $x = 7$ , la dernière ligne du tableau.
10.
La démonstration qu'un entier pair fois un entier quelconque est pair écrit $a = 2k$ et obtient $ab = 2(kb)$ . Pour $a = 6$ et $b = 5$ , que vaut $kb$ ?
Réponse: 15
$6 = 2 \times 3$ , donc $k = 3$ et $kb = 3 \times 5 = 15$ . Vérification : $ab = 30 = 2 \times 15$ .
11.
Transforme cette démonstration rédigée en démonstration en deux colonnes : *On sait que $2(x + 3) = 18$ . Par distributivité, $2x + 6 = 18$ . En soustrayant 6 aux deux membres, on obtient $2x = 12$ . En divisant les deux membres par 2, on obtient $x = 6$ .* Complète les affirmations.
Réponse: 6
1. Ligne 2 (distributivité) : $2x + \square = 18$ . Quel nombre va dans la case ? 6
2. Ligne 3 (propriété de l'égalité pour la soustraction) : $2x = \square$ 12
3. Ligne 4 (propriété de l'égalité pour la division) : $x = \square$ 6
4. Combien de lignes compte la démonstration en deux colonnes, hypothèse comprise ? 4
12.
Trois entiers consécutifs ont pour somme 96. Utilise le résultat de la démonstration, $n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)$ , pour les trouver.
Réponse: 31, 32, 33
1. Puisque $3(n + 1) = 96$ , que vaut $n + 1$ , l'entier du milieu ? 32
2. Quel est le plus petit entier $n$ ? 31
3. Quel est le plus grand entier $n + 2$ ? 33
13.
Suis la démonstration qu'un entier pair fois un entier quelconque est pair avec $a = 14$ et $b = 9$ : écris $a = 2k$ , puis $ab = 2(kb)$ .
Réponse: 126
1. Puisque $14 = 2k$ , que vaut $k$ ? 7
2. Que vaut $kb$ ? 63
3. Combien vaut donc $ab = 2(kb)$ ? 126
14.
Un élève écrit : *Soient $a$ et $b$ impairs, donc $a = 2k + 1$ et $b = 2k + 1$ . Alors $a + b = 4k + 2 = 2(2k + 1)$ , donc $a + b$ est pair.* Quelle est la lacune de cette démonstration ?
1. a)Une démonstration doit utiliser des nombres, pas des lettres
2. b)Il n'y a pas de lacune, la démonstration est complète
3. c) $4k + 2$ est toujours impair
4. d)Le même $k$ pour les deux nombres ne le prouve que si $a = b$
Réponse: Le même $k$ pour les deux nombres ne le prouve que si $a = b$
Écrire les deux nombres avec le même $k$ impose $a = b$ , donc la démonstration ne couvre que des sommes comme $7 + 7$ . Le calcul lui-même est juste, et $4k + 2$ est pair. La correction est $a = 2m + 1$ , $b = 2n + 1$ .
15.
Une démonstration rédigée montre que cinq entiers consécutifs ont pour somme $n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5(n + 2)$ . Utilise ce résultat pour calculer $21 + 22 + 23 + 24 + 25$ .
Réponse: 115
Avec $n = 21$ : $5(n + 2) = 5 \times 23 = 115$ . Vérification : $21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 115$ .
16.
Deux angles opposés par le sommet mesurent $(3x + 10)^\circ$ et $(5x - 30)^\circ$ . Raisonne comme dans une démonstration rédigée : puisque des angles opposés par le sommet sont égaux, $3x + 10 = 5x - 30$ . Trouve $x$ , l'angle et l'angle voisin.
Réponse: 20
1. Soustrais $3x$ aux deux membres et ajoute 30. L'équation devient $\square = 2x$ . Quel nombre est dans la case ? 40
2. Que vaut $x$ ? 20
3. Combien de degrés mesure chaque angle opposé par le sommet ? 70
4. L'angle voisin forme avec lui un angle plat. Combien de degrés mesure-t-il ? 110
17.
Deux droites se coupent. $\angle 1 = (2x + 15)^\circ$ et $\angle 2 = (4x + 45)^\circ$ sont adjacents supplémentaires, et $\angle 3$ est opposé par le sommet à $\angle 1$ . Trouve $x$ , $\angle 1$ et $\angle 3$ .
Réponse: 55
1. Puisque les angles sont adjacents supplémentaires, $6x + 60 = 180$ . Que vaut $6x$ ? 120
2. Que vaut $x$ ? 20
3. Combien de degrés mesure $\angle 1$ ? 55
4. Combien de degrés mesure $\angle 3$ ? 55
18.
Démontre que la somme de trois entiers pairs consécutifs $2n$ , $2n + 2$ , $2n + 4$ est divisible par 6, puis teste le résultat avec 18, 20 et 22.
Réponse: 60
1. Additionne : $2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6n + \square$ . Quel nombre est dans la case ? 6
2. La somme vaut donc $6(n + 1)$ . Pour 18, 20, 22, on a $2n = 18$ . Que vaut $n$ ? 9
3. Que vaut $6(n + 1)$ ? 60
4. Divise la somme par 6. Quel nombre entier obtiens-tu ? 10