Guide de l'enseignant: Démonstrations rédigées

Apprends à rédiger une démonstration en phrases liées avec des mots de liaison comme puisque et donc, à transformer une démonstration en deux colonnes et à repérer les lacunes.

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Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Rédiger une démonstration dans laquelle chaque affirmation a une justification énoncée
Utiliser des mots de liaison (puisque, car, donc, on en déduit que) pour relier affirmations et justifications
Transformer une démonstration en deux colonnes en démonstration rédigée et inversement
Démontrer des propriétés des entiers pairs, impairs et consécutifs ainsi que le théorème des angles opposés par le sommet
Trouver et corriger les lacunes d'une démonstration rédigée donnée

Prérequis

• Introduction aux preuves mathématiques : hypothèse, conclusion et pourquoi des exemples ne prouvent rien
• Démonstration directe : écrire les entiers pairs et impairs sous la forme $2k$ et $2k + 1$
• Démonstrations en deux colonnes : affirmations, justifications et propriétés de l'égalité
• Angles adjacents supplémentaires : des angles qui forment un angle plat ont pour somme $180^\circ$

Amorces de discussion

1. Quand préférerais-tu une démonstration rédigée à une démonstration en deux colonnes, et pourquoi ?
2. Quelle est la différence entre puisque et donc dans une démonstration ?
3. Pourquoi est-ce un problème d'écrire $a = 2k + 1$ et $b = 2k + 1$ pour deux nombres impairs ?
4. Si une démonstration est juste mais très difficile à lire, a-t-elle rempli son rôle ?

Idées reçues courantes

Une démonstration rédigée est une explication informelle, on peut donc sauter les justifications

Remédiation: Montre côte à côte une démonstration en deux colonnes et sa version rédigée, et surligne chaque justification dans les deux. Chaque ligne du tableau doit apparaître quelque part dans le texte.

Utiliser la même lettre pour des nombres différents ne pose pas de problème

Remédiation: Demande aux élèves de remplacer par $a = 3$ et $b = 5$ : avec $a = 2k + 1$ et $b = 2k + 1$ , aucun $k$ unique ne convient. La démonstration ne couvre en silence que le cas $a = b$ .

Vérifier une démonstration, c'est seulement vérifier les calculs

Remédiation: Donne des démonstrations aux calculs justes mais avec un cas oublié ou une supposition non justifiée, et fais marquer aux élèves la phrase exacte où se trouve la lacune.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Fournir des amorces de phrases : Puisque ___, on sait que ___ d'après ___.
• Partir de démonstrations en deux colonnes et les transformer ligne par ligne
• Faire des vérifications numériques comme $14 + 15 + 16$ avant la démonstration générale

Pour les élèves au niveau:

• Rédiger les démonstrations impair plus impair, pair fois quelconque et trois entiers consécutifs
• Retransformer des démonstrations rédigées en tableaux à deux colonnes
• Relire les démonstrations d'un camarade et marquer chaque justification manquante

Pour les élèves avancés:

• Démontrer que la somme de cinq entiers consécutifs est divisible par 5
• Démontrer que le produit de deux entiers impairs est impair
• Rédiger une démonstration que la somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$ à l'aide d'une parallèle

Alignement aux standards

HSG-CO.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.9)
Démontrer des théorèmes sur les droites et les angles, notamment que les angles opposés par le sommet sont égaux
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construire des arguments solides et critiquer le raisonnement des autres
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Faire preuve de précision

Ressources de la leçon

visualFiche des mots de liaison
Une fiche qui classe les mots de liaison en mots de justification (puisque, car) et mots de conclusion (donc, ainsi)
activityBandelettes de démonstration
Une démonstration rédigée découpée en phrases ; les élèves les remettent dans l'ordre et nomment la justification de chacune
worksheetDeux colonnes, un texte
Transformer quatre démonstrations en deux colonnes en textes rédigés et quatre textes rédigés en tableaux

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une démonstration rédigée (en paragraphe) est une démonstration écrite en phrases liées plutôt que dans un tableau. Elle contient exactement la même logique qu'une démonstration en deux colonnes : chaque affirmation a toujours besoin d'une justification, mais la justification est écrite dans la phrase.

Une bonne démonstration rédigée comporte trois parties :

1.Début : indique ce que l'on sait (les hypothèses) et donne à chaque objet sa propre lettre (*Soient $a$ et $b$ deux entiers impairs.*)
2.Enchaînement : chaque phrase fait une affirmation et donne sa justification (une définition, une propriété de l'égalité, un théorème déjà démontré).
3.Fin : la dernière phrase énonce exactement ce qu'il fallait démontrer, souvent suivie de CQFD ou de $\blacksquare$ .

Les mots de liaison relient les phrases :

*puisque*, *car*, *par définition de* introduisent une justification
*donc*, *ainsi*, *par conséquent*, *on en déduit que* introduisent une nouvelle affirmation

\text{hypothèses} \;\Rightarrow\; \text{affirmation + justification} \;\Rightarrow\; \dots \;\Rightarrow\; \text{ce qu'il fallait démontrer}

Exemples résolus

Une démonstration en deux colonnes montre : on sait que $3x + 5 = 20$ , démontrer que $x = 5$ . Ses lignes sont (1) $3x + 5 = 20$ , hypothèse ; (2) $3x = 15$ , propriété de l'égalité (soustraction) ; (3) $x = 5$ , propriété de l'égalité (division). Réécris-la sous forme rédigée.

Transforme la première ligne en phrase d'introduction

La ligne 1 est l'hypothèse, donc le texte commence par : *On sait que $3x + 5 = 20$ .* → Phrase d'introduction écrite

Relie la ligne 2 à sa justification

*En soustrayant 5 aux deux membres, on obtient $3x = 15$ d'après la propriété de l'égalité pour la soustraction.* → $3x = 15$

Relie la ligne 3 à sa justification

*En divisant les deux membres par 3, on obtient $x = 5$ d'après la propriété de l'égalité pour la division.* → $x = 5$

Énonce la conclusion

*Donc $x = 5$ .* Le mot donc marque la conclusion, la dernière ligne du tableau. → Démonstration rédigée terminée

Réponse: On sait que $3x + 5 = 20$ . En soustrayant 5 aux deux membres, on obtient $3x = 15$ d'après la propriété de l'égalité pour la soustraction. En divisant les deux membres par 3, on obtient $x = 5$ d'après la propriété de l'égalité pour la division. Donc $x = 5$ . CQFD

Erreurs courantes

Écrire une suite d'égalités sans aucun mot

Pourquoi c'est faux: Une liste comme $a = 2m + 1$ , $a + b = 2(m + n + 1)$ ne dit ni d'où vient chaque ligne ni ce qu'elle prouve. Le lecteur doit deviner les justifications.

Correct: Associe une justification à chaque affirmation (*Puisque $a$ est impair, $a = 2m + 1$ ...*) et termine par une phrase qui énonce la conclusion.

Utiliser la même lettre pour deux nombres différents

Pourquoi c'est faux: Écrire $a = 2k + 1$ et $b = 2k + 1$ impose $a = b$ , donc la démonstration ne couvre que des sommes comme $7 + 7$ .

Correct: Donne à chaque objet sa propre variable : $a = 2m + 1$ et $b = 2n + 1$ .

Démontrer avec des exemples

Pourquoi c'est faux: $3 + 5 = 8$ et $7 + 9 = 16$ sont pairs, mais quelques exemples ne peuvent jamais couvrir tous les nombres impairs.

Correct: Utilise des variables qui représentent tous les cas possibles. Les exemples servent seulement de vérification après la démonstration.

Utiliser la conclusion comme justification

Pourquoi c'est faux: Écrire *Puisque $a + b$ est pair, il vaut $2(m + n + 1)$ * suppose exactement ce qu'on veut démontrer (raisonnement circulaire).

Correct: Les mots puisque et car ne peuvent renvoyer qu'à des faits déjà acquis : les hypothèses, les définitions, les propriétés ou les phrases précédentes.

Pourquoi c'est important

La plupart des démonstrations que tu liras dans les manuels, les concours et à l'université sont rédigées. Savoir les lire et les écrire est donc essentiel :

Examens et concours : les correcteurs notent le raisonnement, et un texte clair montre chaque étape
Communication : une démonstration rédigée se lit comme une explication que tu pourrais donner à un camarade
Vérification : écrire la justification à côté de chaque affirmation fait apparaître des lacunes qu'une simple liste d'égalités cache
Au-delà des maths : avocats, scientifiques et programmeurs construisent leurs arguments de la même façon, affirmation par affirmation, chacune justifiée

Quand tu passes facilement du format en deux colonnes au texte rédigé, tu peux choisir celui qui convient le mieux au problème.

Applications dans le monde réel

Énigmes de calendrier

Trois jours côte à côte sur une ligne de calendrier sont des entiers consécutifs, donc la démonstration de cette leçon explique un tour de calcul classique.

Exemple:

Choisis 12, 13 et 14 : la somme vaut $39 = 3 \times 13$ , le triple du jour du milieu.

1Essaie par toi-même

Une amie choisit trois dates consécutives, 23, 24 et 25, et tu annonces la somme sans les additionner une par une.

Quelle est la somme des trois dates ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise la démonstration : la somme vaut le triple du nombre du milieu.

Ciseaux et routes qui se croisent

Là où deux objets droits se croisent, comme les lames de ciseaux, deux routes ou les poutres d'une charpente, le théorème des angles opposés par le sommet permet de mesurer un angle et de connaître aussitôt l'angle opposé.

Exemple:

Si les lames de ciseaux ouverts forment un angle de $35^\circ$ , les poignées forment aussi un angle de $35^\circ$ .

2Essaie par toi-même

Deux routes droites se croisent. L'angle entre elles du côté nord mesure $62^\circ$ .

Quelles sont les mesures de l'angle voisin et de l'angle opposé ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise une paire d'angles adjacents supplémentaires, puis la suivante :

Emballer par paires

Les magasins et les entrepôts emballent souvent les articles par deux. La démonstration qu'un nombre pair multiplié par un entier quelconque est pair indique quand une grille d'objets se partage en paires sans reste.

Exemple:

Une plaque de 8 rangées de 7 biscuits contient $56 = 2 \times 28$ biscuits, qui remplissent donc 28 sachets de deux.

3Essaie par toi-même

Un sol est couvert de 6 rangées de 13 carreaux. Les carreaux ont été livrés en boîtes de 2.

Combien de boîtes pleines ont été utilisées, et combien de carreaux restent ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le total sous la forme $2(kb)$ avec $6 = 2 \times 3$ :

Points clés

1Une démonstration rédigée contient les mêmes affirmations et justifications qu'une démonstration en deux colonnes, écrites en phrases liées
2Commence par les hypothèses et donne à chaque objet sa propre lettre, par exemple $a = 2m + 1$ et $b = 2n + 1$
3Puisque, car et par définition introduisent des justifications ; donc, ainsi et on en déduit que introduisent de nouvelles affirmations
4Les nombres pairs s'écrivent $2k$ , les impairs $2k + 1$ , et trois entiers consécutifs ont pour somme $3(n + 1)$
5Deux angles opposés par le sommet sont égaux car chacun forme avec le même angle intermédiaire une paire d'angles supplémentaires ( $180^\circ$ )
6Pour vérifier une démonstration, teste chaque phrase : l'affirmation est-elle justifiée, suppose-t-on quelque chose qui n'était pas donné, la dernière phrase énonce-t-elle le but ?

Questions fréquentes

Une démonstration rédigée est-elle moins rigoureuse qu'une démonstration en deux colonnes ?

Non. Les deux formats contiennent la même logique. La démonstration rédigée n'est qu'une autre mise en page : chaque affirmation a toujours besoin d'une justification, simplement écrite dans la phrase et non dans une deuxième colonne.

Quelle longueur doit avoir une démonstration rédigée ?

Assez longue pour qu'un camarade puisse suivre chaque étape sans demander pourquoi. Pour les démonstrations de cette leçon, 3 à 6 phrases suffisent en général. Un calcul simple, comme factoriser par 2, n'a pas besoin de sa propre phrase.

Puis-je utiliser des exemples dans une démonstration rédigée ?

Seulement comme vérification, clairement séparée de la démonstration. Une phrase comme *par exemple,

3 + 5 = 8

* illustre l'idée, mais la démonstration elle-même doit utiliser des variables qui couvrent tous les cas.

Quel mot de liaison dois-je utiliser ?

Utilise puisque ou car devant une justification, et donc, ainsi ou on en déduit que devant une nouvelle affirmation. Varie-les pour que le texte se lise naturellement, mais vérifie que chaque affirmation a une justification dans sa phrase.

Glossaire

Démonstration rédigée: Une démonstration écrite en phrases liées, où chaque affirmation est accompagnée de sa justification
Démonstration en deux colonnes: Une démonstration présentée en tableau, avec les affirmations à gauche et les justifications à droite
Mot de liaison: Un mot comme puisque, car, donc ou ainsi qui montre comment une phrase se rattache aux précédentes
Angles adjacents supplémentaires: Deux angles voisins qui forment ensemble un angle plat ; leurs mesures ont pour somme $180^\circ$
Angles opposés par le sommet: Deux angles face à face formés par deux droites sécantes ; ils sont toujours égaux
Entiers consécutifs: Des entiers qui se suivent sans trou, comme $n$ , $n + 1$ , $n + 2$

Carte des formules

Entier pair

a = 2k

pour un certain entier $k$

Entier impair

a = 2k + 1

pour un certain entier $k$

Trois entiers consécutifs

n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)

La somme vaut toujours le triple du nombre du milieu

Angles supplémentaires et opposés par le sommet

\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ, \quad \angle 1 = \angle 3

Deux angles adjacents qui forment un angle plat ont pour somme $180^\circ$ ; les angles opposés par le sommet sont égaux

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Ciseaux et routes qui se croisent

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Entier pair

Entier impair

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