Raisonnement par l'absurde

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Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Tu veux démontrer par l'absurde que $\sqrt{3}$ est irrationnel. Quelle est la bonne première ligne ?
1. a)Supposons que $3$ est irrationnel
2. b)Supposons que $\sqrt{3}$ est rationnel
3. c)Supposons que $\sqrt{3} = 3$
4. d)Supposons que $\sqrt{3}$ est irrationnel
2.
Quel est le plus petit nombre de personnes qu'il faut pour être sûr qu'au moins deux sont nées le même mois ?
3.
Quel énoncé est faux pour toute valeur de vérité de $p$ , et est donc une contradiction ?
1. a) $p \lor \neg p$
2. b) $p \land \neg p$
3. c) $p \Rightarrow p$
4. d) $\neg\neg p$
4.
Quelqu'un affirme que $N = 100$ est le plus grand nombre pair. Suis la démonstration pour montrer que c'est faux.
5.
Dans la démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ , tu élèves $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ au carré et tu multiplies par $b^2$ . Tu obtiens $a^2 = k \cdot b^2$ . Combien vaut $k$ ?
6.
Montre avec le principe des tiroirs que dans un groupe de 13 personnes, un mois de naissance est partagé.
7.
Quelle est la négation correcte de "Tout nombre premier est impair" ?
1. a)Tout nombre premier est pair
2. b)Tout nombre impair est premier
3. c)Aucun nombre premier n'est impair
4. d)Au moins un nombre premier n'est pas impair
8.
Tu veux démontrer $x > 5$ par l'absurde. Que supposes-tu ?
1. a) $x \le 5$
2. b) $x \ge 5$
3. c) $x \neq 5$
4. d) $x < 5$
9.
Une boîte contient des gants dépareillés de 7 couleurs différentes. Combien de gants dois-tu prendre sans regarder pour être sûr d'en avoir deux de la même couleur ?
10.
Montre à la calculatrice que $\sqrt{2}$ est strictement compris entre $1{,}4142$ et $1{,}4143$ , donc qu'il n'est égal à aucun des deux.
11.
Quelqu'un affirme que $\frac{1}{1000}$ est le plus petit nombre rationnel strictement positif. Divise-le par 2 comme dans la démonstration. Quel rationnel positif plus petit obtiens-tu ? Écris-le sous forme de fraction.
12.
Combien de personnes garantissent que deux d'entre elles ont le même anniversaire (jour et mois), en comptant le 29 février comme anniversaire possible ?
13.
Applique la démonstration d'Euclide à la liste de nombres premiers $2, 3, 5$ : construis $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1$ et vérifie qu'aucun nombre premier de la liste ne le divise.
14.
Dans la démonstration d'Euclide, calcule $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 + 1$ pour les cinq premiers nombres premiers.
15.
Avec les nombres premiers $2, 3, 5, 7, 11, 13$ , le nombre d'Euclide est $N = 30031 = 59 \times 509$ , qui n'est pas premier. Qu'est-ce que cela signifie pour la démonstration ?
1. a)La démonstration échoue, car $N$ n'est pas premier
2. b)Il n'y a que six nombres premiers
3. c) $N$ a des facteurs premiers absents de la liste, donc la démonstration reste valable
4. d) $59$ est le plus grand nombre premier
16.
Suis la démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ . Suppose $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ sous forme irréductible et complète les nombres.
17.
Démontre de la même façon que $\sqrt{3}$ est irrationnel. Suppose $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ sous forme irréductible et complète les nombres. Utilise le fait que si un nombre premier divise $a^2$ , il divise $a$ .
18.
Applique la démonstration d'Euclide avec les nombres premiers $2, 3, 5, 7, 11, 13$ et trouve les facteurs premiers de $N$ .