Raisonnement par l'absurde

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Tu veux démontrer par l'absurde que $\sqrt{3}$ est irrationnel. Quelle est la bonne première ligne ?
1. a)Supposons que $3$ est irrationnel
2. b)Supposons que $\sqrt{3}$ est rationnel
3. c)Supposons que $\sqrt{3} = 3$
4. d)Supposons que $\sqrt{3}$ est irrationnel
Réponse: Supposons que $\sqrt{3}$ est rationnel
L'énoncé est " $\sqrt{3}$ est irrationnel", donc sa négation est " $\sqrt{3}$ est rationnel". Supposer l'énoncé lui-même serait un raisonnement circulaire.
2.
Quel est le plus petit nombre de personnes qu'il faut pour être sûr qu'au moins deux sont nées le même mois ?
Réponse: 13
Avec 12 personnes, tous les mois peuvent être différents. Avec 13, supposer que tous les mois sont différents exigerait 13 mois, or il n'y en a que 12. La réponse est donc $13$ .
3.
Quel énoncé est faux pour toute valeur de vérité de $p$ , et est donc une contradiction ?
1. a) $p \lor \neg p$
2. b) $p \land \neg p$
3. c) $p \Rightarrow p$
4. d) $\neg\neg p$
Réponse: $p \land \neg p$
$p \land \neg p$ exige que $p$ et son contraire soient vrais en même temps, ce qui n'arrive jamais, donc il vaut F dans chaque ligne. $p \lor \neg p$ et $p \Rightarrow p$ sont toujours vrais, et $\neg\neg p$ a la même valeur que $p$ .
4.
Quelqu'un affirme que $N = 100$ est le plus grand nombre pair. Suis la démonstration pour montrer que c'est faux.
Réponse: 102
1. Écris $100 = 2k$ . Combien vaut $k$ ? 50
2. Combien vaut $N + 2$ ? 102
3. Écris $N + 2 = 2(k + 1)$ . Combien vaut $k + 1$ ? 51
5.
Dans la démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ , tu élèves $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ au carré et tu multiplies par $b^2$ . Tu obtiens $a^2 = k \cdot b^2$ . Combien vaut $k$ ?
Réponse: 2
En élevant au carré on obtient $2 = \frac{a^2}{b^2}$ , et en multipliant par $b^2$ on obtient $a^2 = 2b^2$ , donc $k = 2$ . Cela montre que $a^2$ est pair.
6.
Montre avec le principe des tiroirs que dans un groupe de 13 personnes, un mois de naissance est partagé.
Réponse: 2
1. Combien y a-t-il de mois (tiroirs) ? 12
2. Combien de personnes au maximum peuvent toutes avoir des mois de naissance différents ? 12
3. Une fois qu'il y a une personne dans chaque mois, combien des 13 personnes restent ? 1
4. Combien de personnes le mois le plus rempli compte-t-il donc au moins ? 2
7.
Quelle est la négation correcte de "Tout nombre premier est impair" ?
1. a)Tout nombre premier est pair
2. b)Tout nombre impair est premier
3. c)Aucun nombre premier n'est impair
4. d)Au moins un nombre premier n'est pas impair
Réponse: Au moins un nombre premier n'est pas impair
La négation de "tout ... est impair" est "au moins un ... n'est pas impair". Ici, la négation est même vraie : $2$ est un nombre premier qui n'est pas impair.
8.
Tu veux démontrer $x > 5$ par l'absurde. Que supposes-tu ?
1. a) $x \le 5$
2. b) $x \ge 5$
3. c) $x \neq 5$
4. d) $x < 5$
Réponse: $x \le 5$
$x > 5$ est faux exactement quand $x < 5$ ou $x = 5$ , c'est-à-dire $x \le 5$ . Supposer seulement $x < 5$ laisserait le cas $x = 5$ de côté.
9.
Une boîte contient des gants dépareillés de 7 couleurs différentes. Combien de gants dois-tu prendre sans regarder pour être sûr d'en avoir deux de la même couleur ?
Réponse: 8
7 gants peuvent tous avoir des couleurs différentes. Avec 8, supposer que toutes les couleurs sont différentes exigerait 8 couleurs, or il n'y en a que 7. Donc $8$ gants garantissent une paire.
10.
Montre à la calculatrice que $\sqrt{2}$ est strictement compris entre $1{,}4142$ et $1{,}4143$ , donc qu'il n'est égal à aucun des deux.
Réponse: 0
1. Combien vaut $1{,}4142^2$ ? 1.99996164
2. Combien vaut $1{,}4143^2$ ? 2.00024449
3. Combien de ces deux carrés valent exactement 2 ? 0
11.
Quelqu'un affirme que $\frac{1}{1000}$ est le plus petit nombre rationnel strictement positif. Divise-le par 2 comme dans la démonstration. Quel rationnel positif plus petit obtiens-tu ? Écris-le sous forme de fraction.
Réponse: 1/2000
$\frac{1}{1000} \div 2 = \frac{1}{2000}$ , qui est positif, rationnel et plus petit que $\frac{1}{1000}$ . L'affirmation est donc fausse, et la même astuce marche pour tout candidat.
12.
Combien de personnes garantissent que deux d'entre elles ont le même anniversaire (jour et mois), en comptant le 29 février comme anniversaire possible ?
Réponse: 367
1. Combien y a-t-il d'anniversaires possibles, 29 février compris ? 366
2. Combien de personnes au maximum peuvent toutes avoir des anniversaires différents ? 366
3. Combien de personnes garantissent un anniversaire commun ? 367
13.
Applique la démonstration d'Euclide à la liste de nombres premiers $2, 3, 5$ : construis $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1$ et vérifie qu'aucun nombre premier de la liste ne le divise.
Réponse: 31
1. Combien vaut $2 \cdot 3 \cdot 5$ ? 30
2. Combien vaut $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1$ ? 31
3. Quel est le reste de la division de $31$ par $3$ ? 1
4. Quel est le reste de la division de $31$ par $5$ ? 1
14.
Dans la démonstration d'Euclide, calcule $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 + 1$ pour les cinq premiers nombres premiers.
Réponse: 2311
$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310$ , donc $N = 2311$ . La division de $2311$ par 2, 3, 5, 7 ou 11 laisse toujours un reste de 1, donc ses facteurs premiers ne sont pas dans la liste (ici $2311$ est justement premier lui-même).
15.
Avec les nombres premiers $2, 3, 5, 7, 11, 13$ , le nombre d'Euclide est $N = 30031 = 59 \times 509$ , qui n'est pas premier. Qu'est-ce que cela signifie pour la démonstration ?
1. a)La démonstration échoue, car $N$ n'est pas premier
2. b)Il n'y a que six nombres premiers
3. c) $N$ a des facteurs premiers absents de la liste, donc la démonstration reste valable
4. d) $59$ est le plus grand nombre premier
Réponse: $N$ a des facteurs premiers absents de la liste, donc la démonstration reste valable
La démonstration n'affirme jamais que $N$ est premier. Elle a seulement besoin d'un facteur premier de $N$ absent de la liste, et $59$ et $509$ sont justement de tels nombres premiers. La démonstration reste valable.
16.
Suis la démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ . Suppose $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ sous forme irréductible et complète les nombres.
Réponse: 2
1. En élevant au carré, on obtient $a^2 = m \cdot b^2$ . Combien vaut $m$ ? 2
2. $a$ est pair, donc $a = 2k$ . Alors $a^2 = m \cdot k^2$ . Combien vaut $m$ ? 4
3. De $4k^2 = 2b^2$ on tire $b^2 = m \cdot k^2$ . Combien vaut $m$ ? 2
4. Par quel nombre $a$ et $b$ sont-ils donc tous deux divisibles ? 2
17.
Démontre de la même façon que $\sqrt{3}$ est irrationnel. Suppose $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ sous forme irréductible et complète les nombres. Utilise le fait que si un nombre premier divise $a^2$ , il divise $a$ .
Réponse: 3
1. En élevant au carré, on obtient $a^2 = m \cdot b^2$ . Combien vaut $m$ ? 3
2. $3$ divise $a$ , donc $a = 3k$ . Alors $a^2 = m \cdot k^2$ . Combien vaut $m$ ? 9
3. De $9k^2 = 3b^2$ on tire $b^2 = m \cdot k^2$ . Combien vaut $m$ ? 3
4. Par quel nombre premier $a$ et $b$ sont-ils donc tous deux divisibles ? 3
18.
Applique la démonstration d'Euclide avec les nombres premiers $2, 3, 5, 7, 11, 13$ et trouve les facteurs premiers de $N$ .
Réponse: 509
1. Combien vaut $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ ? 30030
2. Combien vaut $N$ , le produit plus 1 ? 30031
3. Quel est le reste de la division de $N$ par $13$ ? 1
4. $N = 59 \times q$ . Combien vaut $q$ ? 509