Raisonnement par l'absurde

Apprends à démontrer un énoncé en supposant qu'il est faux et en montrant que cela mène à quelque chose d'impossible, avec des démonstrations classiques comme l'irrationalité de racine de 2.

Avancé30 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un raisonnement par l'absurde (ou démonstration indirecte) démontre un énoncé PP par un détour : tu supposes que PP est faux et tu montres que cette hypothèse mène à quelque chose d'impossible. Comme un raisonnement correct ne peut jamais tirer une impossibilité d'une hypothèse vraie, l'hypothèse est fausse, donc PP est vrai.
La méthode a quatre étapes :
  1. 1.Supposer la négation : la première ligne est "Supposons par l'absurde que ¬P\neg P."
  2. 2.Raisonner avec les définitions et les résultats connus, exactement comme dans une démonstration directe.
  3. 3.Aboutir à une contradiction : un énoncé QQ et son contraire ¬Q\neg Q sont vrais tous les deux (par exemple "a/ba/b est irréductible" et "aa et bb sont tous deux pairs"), ou un fait connu est contredit (comme 1=01 = 0).
  4. 4.Conclure : l'hypothèse ¬P\neg P était fausse, donc PP est vrai.
En symboles : si ¬P⇒(Q∧¬Q)\neg P \Rightarrow (Q \land \neg Q), alors PP. Cela marche parce que Q∧¬QQ \land \neg Q est toujours faux. Dans la table de vérité interactive plus bas sur cette page, choisis NON pour voir que ¬P\neg P est toujours le contraire de PP, puis choisis ET : dans les deux lignes où QQ est le contraire de PP (F, V et V, F), P∧QP \land Q vaut F. Donc P∧¬PP \land \neg P vaut F dans chaque ligne (V = vrai, F = faux).
Bien écrire la négation est la ligne la plus importante de la démonstration :
  • "2\sqrt{2} est irrationnel" devient "2\sqrt{2} est rationnel"
  • "Il y a une infinité de nombres premiers" devient "Il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers"
  • "Il n'existe pas de plus grand nombre pair" devient "Il existe un plus grand nombre pair"
  • "x>5x > 5" devient "x≤5x \le 5"
  • "Tout ... a la propriété" devient "Au moins un ... n'a pas la propriété"
Absurde ou contraposée ? Une démonstration par contraposée (leçon précédente) prouve "si pp, alors qq" en supposant seulement ¬q\neg q et en visant un seul but fixé : ¬p\neg p. Un raisonnement par l'absurde suppose que tout l'énoncé est faux (pour une implication : pp et ¬q\neg q à la fois) et peut aboutir à n'importe quelle impossibilité.

Essaie tout de suite

Tu veux démontrer par l'absurde que 3\sqrt{3} est irrationnel. Quelle est la bonne première ligne ?

Exemples résolus

Démontre qu'il n'existe pas de plus grand nombre pair.

1

Écris la négation en première ligne

Supposons par l'absurde qu'il existe un plus grand nombre pair NN → Hypothèse : NN est pair et N≥N \ge tout nombre pair

2

Utilise la définition de pair

N=2kN = 2k pour un entier kk, donc N+2=2k+2=2(k+1)N + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1) → N+2N + 2 est pair

3

Compare les deux nombres

N+2>NN + 2 > N → Il existe un nombre pair plus grand que NN

4

Repère la contradiction et conclus

NN est le plus grand nombre pair, pourtant N+2N + 2 est un nombre pair plus grand → L'hypothèse est fausse

Erreurs courantes

Nier "Il y a une infinité de nombres premiers" par "Il n'y a aucun nombre premier"

Pourquoi c'est faux: Le contraire de "une infinité" n'est pas "aucun". La négation doit couvrir tous les cas où l'énoncé est faux, c'est-à-dire "un nombre fini seulement".

Correct: Suppose "Il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers". De même, la négation de "tout nombre premier est impair" est "au moins un nombre premier n'est pas impair", et non "tout nombre premier est pair".

Nier x>5x > 5 par x<5x < 5

Pourquoi c'est faux: Le cas x=5x = 5 est oublié. Si la démonstration n'exclut que x<5x < 5, le nombre 55 reste possible.

Correct: La négation de x>5x > 5 est x≤5x \le 5, et la négation de x≥5x \ge 5 est x<5x < 5.

Oublier "irréductible" dans la démonstration de l'irrationalité de 2\sqrt{2}

Pourquoi c'est faux: Sans cette condition, trouver que aa et bb sont tous deux pairs n'est pas du tout une contradiction : 42\frac{4}{2} a un numérateur et un dénominateur pairs.

Correct: Écris 2=ab\sqrt{2} = \frac{a}{b} sous forme irréductible. Toute fraction peut être simplifiée, donc cela ne coûte rien, et c'est exactement ce fait que la démonstration contredit ensuite.

Prendre un résultat surprenant pour une contradiction

Pourquoi c'est faux: Un résultat qui paraît étrange (un très grand nombre, une fraction inattendue) n'est pas impossible. Une contradiction doit entrer en conflit avec l'hypothèse ou avec un fait connu.

Correct: Nomme les deux énoncés qui se contredisent, par exemple "rr est le plus petit" et "r2<r\frac{r}{2} < r", puis écris la conclusion.

Visuel interactif

Table de vérité

P ∧ Q
PQP ∧ Q
FFF
FVF
VFF
VVV

V= VraiF= Faux

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile

Tu veux démontrer par l'absurde que 3\sqrt{3} est irrationnel. Quelle est la bonne première ligne ?

Pourquoi c'est important

Certains des résultats les plus célèbres des mathématiques se démontrent le plus simplement par l'absurde :
  • Nombres irrationnels : les Grecs ont démontré il y a environ 2 500 ans que 2\sqrt{2} n'est pas une fraction, ce qui a changé la façon de penser les nombres
  • Nombres premiers : la démonstration d'Euclide, selon laquelle les nombres premiers ne s'épuisent jamais, est encore enseignée dans tous les cours d'arithmétique
  • Informatique : le principe des tiroirs explique pourquoi deux fichiers peuvent recevoir la même courte empreinte (une collision de hachage) et pourquoi aucune compression ne peut réduire tous les fichiers
  • Énigmes : résoudre un Sudoku revient souvent à dire "si cette case valait 5, il y aurait deux 5 dans la même ligne, donc ce n'est pas 5"
  • Raisonnement quotidien : les détectives et les médecins écartent des hypothèses en montrant qu'elles mènent à quelque chose d'impossible
Chaque fois qu'un énoncé affirme que quelque chose n'existe PAS (pas de plus grand nombre, pas de fraction égale à 2\sqrt{2}), le raisonnement par l'absurde est souvent l'outil naturel.

Applications dans le monde réel

Trouver deux chaussettes assorties dans le noir

Le principe des tiroirs, démontré par l'absurde, donne le plus petit nombre d'objets qui garantit une répétition.

Exemple:

Un tiroir contient des chaussettes noires, blanches et grises. Si tu pouvais prendre 4 chaussettes toutes de couleurs différentes, il faudrait 4 couleurs, or il n'y en a que 3. Donc 4 chaussettes contiennent toujours une paire assortie.

1Essaie par toi-même

Un tiroir contient des chaussettes dépareillées de 5 couleurs différentes, et il fait trop noir pour les voir.

Combien de chaussettes dois-tu prendre pour être sûr d'en avoir deux de la même couleur ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Nombre de couleurs plus un :

Collisions de hachage en informatique

Les ordinateurs attribuent aux fichiers des codes courts appelés empreintes (hachages). Comme il y a plus de fichiers possibles que de codes, deux fichiers différents doivent parfois partager un code.

Exemple:

Un système attribue à chaque fichier un code de 00 à 99. Parmi 101 fichiers, supposer que tous les codes sont différents exigerait 101 codes, or il n'y en a que 100, donc deux fichiers partagent un code.

2Essaie par toi-même

Un système attribue à chaque fichier un code à 3 chiffres de 000 à 999.

Combien de fichiers garantissent que deux d'entre eux ont le même code ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Nombre de codes plus un :

Pourquoi une calculatrice n'affiche jamais la valeur exacte de racine de 2

Comme $\sqrt{2}$ est irrationnel, son développement décimal ne se termine jamais et ne se répète jamais. Toute valeur décimale à l'écran n'est qu'une approximation, ce dont les ingénieurs tiennent compte quand ils calculent des diagonales.

Exemple:

Un carreau carré de 1 m de côté a une diagonale de 2≈1,4142\sqrt{2} \approx 1{,}4142 m. La valeur 1,4142 est proche, mais pas exacte.

3Essaie par toi-même

Une calculatrice affiche 2≈1,4142\sqrt{2} \approx 1{,}4142.

Vérifie que 1,4142 n'est pas exactement la racine de 2.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Élève le nombre décimal au carré :

Points clés

  • 1Un raisonnement par l'absurde suppose que l'énoncé est faux et montre que cela mène à quelque chose d'impossible
  • 2La première ligne est la bonne négation : "une infinité" devient "un nombre fini seulement", x>5x > 5 devient x≤5x \le 5, "tout" devient "au moins un ... ne ... pas"
  • 3Une contradiction, ce sont deux énoncés qui ne peuvent pas être vrais en même temps, comme Q∧¬QQ \land \neg Q, faux dans chaque ligne d'une table de vérité
  • 4Résultats classiques démontrés ainsi : 2\sqrt{2} est irrationnel, il existe une infinité de nombres premiers, pas de plus grand nombre pair ni de plus petit rationnel strictement positif
  • 5Le principe des tiroirs : si plus de nn objets sont rangés dans nn tiroirs, un tiroir contient au moins deux objets
  • 6La démonstration par contraposée prouve directement "si non q, alors non p", tandis que le raisonnement par l'absurde suppose tout l'énoncé faux et cherche n'importe quelle impossibilité

Questions fréquentes

Un raisonnement correct à partir d'énoncés vrais ne produit que des énoncés vrais. Si on aboutit à quelque chose d'impossible, au moins un point de départ était faux, et le seul point de départ que nous avons ajouté nous-mêmes est l'hypothèse ¬P\neg P. Donc ¬P\neg P est faux et PP est vrai.
Un raisonnement correct à partir d'énoncés vrais ne produit que des énoncés vrais. Si on aboutit à quelque chose d'impossible, au moins un point de départ était faux, et le seul point de départ que nous avons ajouté nous-mêmes est l'hypothèse ¬P\neg P. Donc ¬P\neg P est faux et PP est vrai.
C'est un bon choix quand l'énoncé affirme que quelque chose n'existe pas (pas de plus grand nombre, pas de fraction égale à 2\sqrt{2}) ou qu'il existe une infinité de quelque chose. Dans ces cas, supposer le contraire te donne un objet concret avec lequel travailler.
Non. Une démonstration par contraposée prouve directement "si non q, alors non p" et se termine par "non p". Un raisonnement par l'absurde suppose que l'énoncé est faux et peut se terminer par n'importe quelle impossibilité. Toute démonstration par contraposée peut être réécrite comme un raisonnement par l'absurde, mais un raisonnement par l'absurde n'est pas toujours une démonstration par contraposée.
CQFD ("ce qu'il fallait démontrer", en latin quod erat demonstrandum) marque la fin d'une démonstration. Reductio ad absurdum, "réduction à l'absurde", est le nom latin du raisonnement par l'absurde.

Glossaire

Raisonnement par l'absurde
Une démonstration qui suppose l'énoncé faux et en déduit une impossibilité, si bien que l'énoncé doit être vrai (aussi appelée démonstration indirecte)
Contradiction
Deux énoncés qui ne peuvent pas être vrais en même temps, comme QQ et ¬Q\neg Q ; l'énoncé Q∧¬QQ \land \neg Q est toujours faux
Négation
Le contraire d'un énoncé, noté ¬P\neg P ; elle est vraie exactement quand PP est faux
Nombre irrationnel
Un nombre réel qui ne peut pas s'écrire comme une fraction ab\frac{a}{b} d'entiers, par exemple 2\sqrt{2}
Principe des tiroirs
Si l'on range plus de nn objets dans nn tiroirs, au moins un tiroir contient deux objets ou plus

Carte des formules

Raisonnement par l'absurde

¬P⇒(Q∧¬Q)   donc   P\neg P \Rightarrow (Q \land \neg Q) \;\text{ donc }\; P

Si supposer non P mène à une contradiction, alors P est vrai

Une contradiction est toujours fausse

Q∧¬Q=FQ \land \neg Q = F

Un énoncé et sa négation ne peuvent jamais être vrais tous les deux

Principe des tiroirs

n+1 objets dans n tiroirsn + 1 \text{ objets dans } n \text{ tiroirs}

Au moins un tiroir reçoit deux objets ou plus

Plus sur ce sujet

Introduction aux preuves mathématiques

Avancé25 min

Démonstration directe

Avancé25 min

Démonstrations en deux colonnes

Intermédiaire25 min

Démonstrations rédigées

Avancé30 min