Guide de l'enseignant: Raisonnement par l'absurde

Apprends à démontrer un énoncé en supposant qu'il est faux et en montrant que cela mène à quelque chose d'impossible, avec des démonstrations classiques comme l'irrationalité de racine de 2.

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Quiz de classe

10 questions sur Preuves mathématiques. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Écrire la négation correcte d'un énoncé comme première ligne d'une démonstration
Expliquer pourquoi aboutir à une contradiction démontre l'énoncé de départ
Reproduire les démonstrations classiques de l'irrationalité de racine de 2 et de l'infinité des nombres premiers
Appliquer le principe des tiroirs à des problèmes de dénombrement
Distinguer le raisonnement par l'absurde de la démonstration directe et de la démonstration par contraposée

Prérequis

• Introduction aux preuves mathématiques : hypothèse, conclusion, CQFD
• Démonstration directe, notamment le fait que les nombres pairs s'écrivent $2k$ et que le carré d'un nombre impair est impair
• Négation et contraposée d'une implication "si ... alors"
• Nombres rationnels comme fractions et simplification d'une fraction jusqu'à la forme irréductible
• Nombres premiers et facteurs premiers

Amorces de discussion

1. En quoi un raisonnement par l'absurde ressemble-t-il à un détective qui innocente un suspect ?
2. Pourquoi la démonstration de l'irrationalité de racine de 2 a-t-elle besoin du mot "irréductible" ?
3. Le nombre d'Euclide $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1$ n'est pas premier. Est-ce que cela casse la démonstration ?
4. Connais-tu un énoncé qui serait très difficile à démontrer directement mais facile par l'absurde ?

Idées reçues courantes

La négation de "tous" est "aucun"

Remédiation: Prends un exemple de la classe : "Tous les élèves de cette salle portent des lunettes" est faux dès qu'UN élève n'en porte pas. Sa négation est donc "au moins un élève ne porte pas de lunettes".

Dans la démonstration d'Euclide, le nombre $p_1 p_2 \cdots p_n + 1$ est toujours premier

Remédiation: Calcule $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1 = 30031 = 59 \times 509$ . La démonstration a seulement besoin d'un facteur premier hors de la liste, pas d'un nouveau nombre premier égal à $N$ .

Le raisonnement par l'absurde n'est qu'une démonstration directe avec des mots en plus

Remédiation: Montre une démonstration où l'hypothèse est indispensable, comme pour racine de 2 : sans supposer que $\frac{a}{b}$ existe, il n'y a rien avec quoi calculer.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par les démonstrations du plus grand nombre pair et des mois de naissance, qui n'utilisent que le dénombrement
• S'entraîner à écrire des négations avant d'écrire une démonstration
• Donner la démonstration pour racine de 2 sous forme de canevas avec un trou à chaque étape

Pour les élèves au niveau:

• Démontrer seul qu'il n'existe pas de plus petit rationnel strictement positif
• Réécrire la démonstration d'Euclide avec les nombres premiers 2, 3 et 5 et vérifier les calculs
• Résoudre des problèmes de tiroirs avec des chaussettes, des anniversaires et des codes

Pour les élèves avancés:

• Démontrer que la racine de 3 est irrationnelle et expliquer pourquoi la même méthode échoue pour la racine de 4
• Démontrer que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnelle
• Comparer une démonstration par contraposée et une démonstration par l'absurde du même énoncé

Alignement aux standards

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construire des arguments valables et critiquer le raisonnement des autres
HSN-RN.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.RN.B.3)
Expliquer pourquoi la somme ou le produit de deux rationnels est rationnel, et pourquoi la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnelle
8.NS.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.NS.A.1)
Savoir que les nombres qui ne sont pas rationnels sont appelés irrationnels

Ressources de la leçon

visualTable de vérité : P ET NON P
Les élèves vérifient que P ET NON P est faux dans chaque ligne, le cœur logique de toute contradiction
activityRelais des négations
Les équipes écrivent à tour de rôle la négation d'énoncés avec tout, certains, aucun, plus grand que et une infinité
worksheetDémonstrations classiques à compléter
Versions à trous des démonstrations pour racine de 2, l'infinité des nombres premiers et le principe des tiroirs

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un raisonnement par l'absurde (ou démonstration indirecte) démontre un énoncé

P

par un détour : tu supposes que

P

est faux et tu montres que cette hypothèse mène à quelque chose d'impossible. Comme un raisonnement correct ne peut jamais tirer une impossibilité d'une hypothèse vraie, l'hypothèse est fausse, donc

P

est vrai.

La méthode a quatre étapes :

1.Supposer la négation : la première ligne est "Supposons par l'absurde que $\neg P$ ."
2.Raisonner avec les définitions et les résultats connus, exactement comme dans une démonstration directe.
3.Aboutir à une contradiction : un énoncé $Q$ et son contraire $\neg Q$ sont vrais tous les deux (par exemple " $a/b$ est irréductible" et " $a$ et $b$ sont tous deux pairs"), ou un fait connu est contredit (comme $1 = 0$ ).
4.Conclure : l'hypothèse $\neg P$ était fausse, donc $P$ est vrai.

En symboles : si

\neg P \Rightarrow (Q \land \neg Q)

, alors

P

. Cela marche parce que

Q \land \neg Q

est toujours faux. Dans la table de vérité interactive plus bas sur cette page, choisis NON pour voir que

\neg P

est toujours le contraire de

P

, puis choisis ET : dans les deux lignes où

Q

est le contraire de

P

(F, V et V, F),

P \land Q

vaut F. Donc

P \land \neg P

vaut F dans chaque ligne (V = vrai, F = faux).

Bien écrire la négation est la ligne la plus importante de la démonstration :

" $\sqrt{2}$ est irrationnel" devient " $\sqrt{2}$ est rationnel"
"Il y a une infinité de nombres premiers" devient "Il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers"
"Il n'existe pas de plus grand nombre pair" devient "Il existe un plus grand nombre pair"
" $x > 5$ " devient " $x \le 5$ "
"Tout ... a la propriété" devient "Au moins un ... n'a pas la propriété"

Absurde ou contraposée ? Une démonstration par contraposée (leçon précédente) prouve "si

p

, alors

q

" en supposant seulement

\neg q

et en visant un seul but fixé :

\neg p

. Un raisonnement par l'absurde suppose que tout l'énoncé est faux (pour une implication :

p

\neg q

à la fois) et peut aboutir à n'importe quelle impossibilité.

Exemples résolus

Démontre qu'il n'existe pas de plus grand nombre pair.

Écris la négation en première ligne

Supposons par l'absurde qu'il existe un plus grand nombre pair $N$ → Hypothèse : $N$ est pair et $N \ge$ tout nombre pair

Utilise la définition de pair

$N = 2k$ pour un entier $k$ , donc $N + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1)$ → $N + 2$ est pair

Compare les deux nombres

$N + 2 > N$ → Il existe un nombre pair plus grand que $N$

Repère la contradiction et conclus

$N$ est le plus grand nombre pair, pourtant $N + 2$ est un nombre pair plus grand → L'hypothèse est fausse

Réponse: L'hypothèse mène à une contradiction, donc il n'existe pas de plus grand nombre pair. CQFD

Erreurs courantes

Nier "Il y a une infinité de nombres premiers" par "Il n'y a aucun nombre premier"

Pourquoi c'est faux: Le contraire de "une infinité" n'est pas "aucun". La négation doit couvrir tous les cas où l'énoncé est faux, c'est-à-dire "un nombre fini seulement".

Correct: Suppose "Il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers". De même, la négation de "tout nombre premier est impair" est "au moins un nombre premier n'est pas impair", et non "tout nombre premier est pair".

Nier $x > 5$ par $x < 5$

Pourquoi c'est faux: Le cas $x = 5$ est oublié. Si la démonstration n'exclut que $x < 5$ , le nombre $5$ reste possible.

Correct: La négation de $x > 5$ est $x \le 5$ , et la négation de $x \ge 5$ est $x < 5$ .

Oublier "irréductible" dans la démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{2}$

Pourquoi c'est faux: Sans cette condition, trouver que $a$ et $b$ sont tous deux pairs n'est pas du tout une contradiction : $\frac{4}{2}$ a un numérateur et un dénominateur pairs.

Correct: Écris $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ sous forme irréductible. Toute fraction peut être simplifiée, donc cela ne coûte rien, et c'est exactement ce fait que la démonstration contredit ensuite.

Prendre un résultat surprenant pour une contradiction

Pourquoi c'est faux: Un résultat qui paraît étrange (un très grand nombre, une fraction inattendue) n'est pas impossible. Une contradiction doit entrer en conflit avec l'hypothèse ou avec un fait connu.

Correct: Nomme les deux énoncés qui se contredisent, par exemple " $r$ est le plus petit" et " $\frac{r}{2} < r$ ", puis écris la conclusion.

Pourquoi c'est important

Certains des résultats les plus célèbres des mathématiques se démontrent le plus simplement par l'absurde :

Nombres irrationnels : les Grecs ont démontré il y a environ 2 500 ans que $\sqrt{2}$ n'est pas une fraction, ce qui a changé la façon de penser les nombres
Nombres premiers : la démonstration d'Euclide, selon laquelle les nombres premiers ne s'épuisent jamais, est encore enseignée dans tous les cours d'arithmétique
Informatique : le principe des tiroirs explique pourquoi deux fichiers peuvent recevoir la même courte empreinte (une collision de hachage) et pourquoi aucune compression ne peut réduire tous les fichiers
Énigmes : résoudre un Sudoku revient souvent à dire "si cette case valait 5, il y aurait deux 5 dans la même ligne, donc ce n'est pas 5"
Raisonnement quotidien : les détectives et les médecins écartent des hypothèses en montrant qu'elles mènent à quelque chose d'impossible

Chaque fois qu'un énoncé affirme que quelque chose n'existe PAS (pas de plus grand nombre, pas de fraction égale à

\sqrt{2}

), le raisonnement par l'absurde est souvent l'outil naturel.

Applications dans le monde réel

Trouver deux chaussettes assorties dans le noir

Le principe des tiroirs, démontré par l'absurde, donne le plus petit nombre d'objets qui garantit une répétition.

Exemple:

Un tiroir contient des chaussettes noires, blanches et grises. Si tu pouvais prendre 4 chaussettes toutes de couleurs différentes, il faudrait 4 couleurs, or il n'y en a que 3. Donc 4 chaussettes contiennent toujours une paire assortie.

1Essaie par toi-même

Un tiroir contient des chaussettes dépareillées de 5 couleurs différentes, et il fait trop noir pour les voir.

Combien de chaussettes dois-tu prendre pour être sûr d'en avoir deux de la même couleur ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Nombre de couleurs plus un :

Collisions de hachage en informatique

Les ordinateurs attribuent aux fichiers des codes courts appelés empreintes (hachages). Comme il y a plus de fichiers possibles que de codes, deux fichiers différents doivent parfois partager un code.

Exemple:

Un système attribue à chaque fichier un code de 00 à 99. Parmi 101 fichiers, supposer que tous les codes sont différents exigerait 101 codes, or il n'y en a que 100, donc deux fichiers partagent un code.

2Essaie par toi-même

Un système attribue à chaque fichier un code à 3 chiffres de 000 à 999.

Combien de fichiers garantissent que deux d'entre eux ont le même code ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Nombre de codes plus un :

Pourquoi une calculatrice n'affiche jamais la valeur exacte de racine de 2

Comme $\sqrt{2}$ est irrationnel, son développement décimal ne se termine jamais et ne se répète jamais. Toute valeur décimale à l'écran n'est qu'une approximation, ce dont les ingénieurs tiennent compte quand ils calculent des diagonales.

Exemple:

Un carreau carré de 1 m de côté a une diagonale de $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$ m. La valeur 1,4142 est proche, mais pas exacte.

3Essaie par toi-même

Une calculatrice affiche $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$ .

Vérifie que 1,4142 n'est pas exactement la racine de 2.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Élève le nombre décimal au carré :

Points clés

1Un raisonnement par l'absurde suppose que l'énoncé est faux et montre que cela mène à quelque chose d'impossible
2La première ligne est la bonne négation : "une infinité" devient "un nombre fini seulement", $x > 5$ devient $x \le 5$ , "tout" devient "au moins un ... ne ... pas"
3Une contradiction, ce sont deux énoncés qui ne peuvent pas être vrais en même temps, comme $Q \land \neg Q$ , faux dans chaque ligne d'une table de vérité
4Résultats classiques démontrés ainsi : $\sqrt{2}$ est irrationnel, il existe une infinité de nombres premiers, pas de plus grand nombre pair ni de plus petit rationnel strictement positif
5Le principe des tiroirs : si plus de $n$ objets sont rangés dans $n$ tiroirs, un tiroir contient au moins deux objets
6La démonstration par contraposée prouve directement "si non q, alors non p", tandis que le raisonnement par l'absurde suppose tout l'énoncé faux et cherche n'importe quelle impossibilité

Questions fréquentes

Pourquoi suffit-il d'aboutir à une contradiction ?

Un raisonnement correct à partir d'énoncés vrais ne produit que des énoncés vrais. Si on aboutit à quelque chose d'impossible, au moins un point de départ était faux, et le seul point de départ que nous avons ajouté nous-mêmes est l'hypothèse

\neg P

. Donc

\neg P

est faux et

P

est vrai.

Quand dois-je utiliser le raisonnement par l'absurde ?

C'est un bon choix quand l'énoncé affirme que quelque chose n'existe pas (pas de plus grand nombre, pas de fraction égale à

\sqrt{2}

) ou qu'il existe une infinité de quelque chose. Dans ces cas, supposer le contraire te donne un objet concret avec lequel travailler.

Le raisonnement par l'absurde est-il la même chose qu'une démonstration par contraposée ?

Non. Une démonstration par contraposée prouve directement "si non q, alors non p" et se termine par "non p". Un raisonnement par l'absurde suppose que l'énoncé est faux et peut se terminer par n'importe quelle impossibilité. Toute démonstration par contraposée peut être réécrite comme un raisonnement par l'absurde, mais un raisonnement par l'absurde n'est pas toujours une démonstration par contraposée.

Que signifie CQFD, et qu'est-ce que "reductio ad absurdum" ?

CQFD ("ce qu'il fallait démontrer", en latin quod erat demonstrandum) marque la fin d'une démonstration. Reductio ad absurdum, "réduction à l'absurde", est le nom latin du raisonnement par l'absurde.

Glossaire

Raisonnement par l'absurde: Une démonstration qui suppose l'énoncé faux et en déduit une impossibilité, si bien que l'énoncé doit être vrai (aussi appelée démonstration indirecte)
Contradiction: Deux énoncés qui ne peuvent pas être vrais en même temps, comme $Q$ et $\neg Q$ ; l'énoncé $Q \land \neg Q$ est toujours faux
Négation: Le contraire d'un énoncé, noté $\neg P$ ; elle est vraie exactement quand $P$ est faux
Nombre irrationnel: Un nombre réel qui ne peut pas s'écrire comme une fraction $\frac{a}{b}$ d'entiers, par exemple $\sqrt{2}$
Principe des tiroirs: Si l'on range plus de $n$ objets dans $n$ tiroirs, au moins un tiroir contient deux objets ou plus

Carte des formules

Raisonnement par l'absurde

\neg P \Rightarrow (Q \land \neg Q) \;\text{ donc }\; P

Si supposer non P mène à une contradiction, alors P est vrai

Une contradiction est toujours fausse

Q \land \neg Q = F

Un énoncé et sa négation ne peuvent jamais être vrais tous les deux

Principe des tiroirs

n + 1 \text{ objets dans } n \text{ tiroirs}

Au moins un tiroir reçoit deux objets ou plus

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Définition

Exemples résolus

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Trouver deux chaussettes assorties dans le noir

Collisions de hachage en informatique

Pourquoi une calculatrice n'affiche jamais la valeur exacte de racine de 2

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Raisonnement par l'absurde

Une contradiction est toujours fausse

Principe des tiroirs

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