Démonstration par contraposée

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quel énoncé est la contraposée de "Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair" ?
1. a)Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair
2. b)Si $n$ est impair, alors $n^2$ est pair
3. c)Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair
4. d)Si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair
Réponse: Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair
La contraposée de $p \to q$ est $\neg q \to \neg p$ : "si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair". Le premier choix est la réciproque, le deuxième l'inverse, le dernier n'a aucun rapport.
2.
Tu veux démontrer "Si $xy$ est impair, alors $x$ et $y$ sont tous les deux impairs" par contraposée. Que supposes-tu au départ ?
1. a) $x$ et $y$ sont tous les deux impairs
2. b) $x$ et $y$ sont tous les deux pairs
3. c) $x$ est pair ou $y$ est pair
4. d) $xy$ est pair
Réponse: $x$ est pair ou $y$ est pair
La conclusion " $x$ et $y$ sont impairs" est fausse dès qu'un nombre est pair, donc sa négation est " $x$ est pair ou $y$ est pair". " $xy$ est pair" est ce que tu dois démontrer, et "tous les deux pairs" oublie des cas.
3.
Quelle est la négation de " $x \geq 5$ ou $y \geq 5$ " ?
1. a) $x \leq 5$ et $y \leq 5$
2. b) $x < 5$ ou $y < 5$
3. c) $x < 5$ et $y < 5$
4. d) $x > 5$ et $y > 5$
Réponse: $x < 5$ et $y < 5$
"Non ( $a$ ou $b$ )" signifie "non $a$ et non $b$ ", et la négation de $x \geq 5$ est $x < 5$ . La réponse est donc " $x < 5$ et $y < 5$ ". Avec $\leq$ , la valeur 5 serait incluse à tort.
4.
Dans une démonstration de $p \to q$ par contraposée, tu commences par supposer $\neg q$ . À quoi dois-tu arriver à la fin ?
1. a) $\neg p$
2. b) $p$ et $\neg q$ en même temps
3. c) $q$
4. d)Une contradiction quelconque
Réponse: $\neg p$
Une démonstration par contraposée démontre $\neg q \to \neg p$ : en partant de $\neg q$ , tu dois arriver exactement à $\neg p$ . Chercher une contradiction quelconque, ou supposer $p$ et $\neg q$ ensemble, c'est le raisonnement par l'absurde.
5.
Pour quel énoncé une démonstration par contraposée est-elle nettement plus adaptée qu'une démonstration directe ?
1. a)Si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair
2. b)Si $a$ et $b$ sont pairs, alors $a + b$ est pair
3. c)Si $5n + 1$ est pair, alors $n$ est impair
4. d)Si $n$ est impair, alors $n + 1$ est pair
Réponse: Si $5n + 1$ est pair, alors $n$ est impair
Dans les trois autres énoncés, l'hypothèse est concrète ( $n = 2k$ , $a = 2m$ et $b = 2j$ , $n = 2k + 1$ ), donc une démonstration directe est rapide. " $5n + 1$ est pair" dit peu de chose sur $n$ , mais la contraposée est facile : si $n = 2k$ , alors $5n + 1 = 10k + 1 = 2(5k) + 1$ est impair.
6.
Dans la table de vérité, regarde la ligne où $p$ est vraie et $q$ est fausse. Quelle est la valeur de $\neg q \to \neg p$ sur cette ligne ? Tape 1 pour vrai et 0 pour faux.
Réponse: 0
Avec $p$ vraie et $q$ fausse : $\neg q$ est vraie et $\neg p$ est fausse, donc $\neg q \to \neg p$ est fausse (0). C'est exactement la ligne où $p \to q$ est fausse aussi : les deux colonnes coïncident.
7.
Démonstration par contraposée de "si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair" : suppose $n = 2k$ , donc $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ . Pour $k = 7$ , combien vaut $2k^2$ ?
Réponse: 98
$2k^2 = 2 \cdot 49 = 98$ . Vérification : $n = 14$ et $n^2 = 196 = 2 \cdot 98$ , qui est pair, comme le dit la contraposée.
8.
Dans la preuve qu'un $n$ impair donne un $n^2$ impair, on écrit $n = 2k + 1$ et $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . Pour $n = 9$ , on a $k = 4$ . Combien vaut $2k^2 + 2k$ ?
Réponse: 40
$2k^2 + 2k = 32 + 8 = 40$ . Vérification : $2 \cdot 40 + 1 = 81 = 9^2$ , un nombre impair.
9.
La contraposée de "si $x + y \geq 10$ , alors $x \geq 5$ ou $y \geq 5$ " dit : si $x < 5$ et $y < 5$ , alors $x + y < 10$ . Pour des entiers $x$ et $y$ avec $x < 5$ et $y < 5$ , quelle est la plus grande valeur possible de $x + y$ ?
Réponse: 8
Les plus grandes valeurs sont $x = 4$ et $y = 4$ , donc $x + y = 8$ , ce qui est inférieur à 10, comme le prévoit la contraposée.
10.
Pour démontrer "si $n^2 - 6n + 5$ est pair, alors $n$ est impair" par contraposée, suppose $n = 2k$ . Alors $n^2 - 6n + 5 = 2(2k^2 - 6k + 2) + 1$ . Pour $k = 3$ , combien vaut $2k^2 - 6k + 2$ ?
Réponse: 2
$2k^2 - 6k + 2 = 18 - 18 + 2 = 2$ . Vérification : $n = 6$ donne $36 - 36 + 5 = 5 = 2 \cdot 2 + 1$ , un nombre impair.
11.
Vérifie la contraposée de "si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair" avec le nombre impair $n = 11$ .
Réponse: $121 = 2 \cdot 60 + 1$
1. Combien vaut $n^2$ ? 121
2. Écris $121 = 2m + 1$ . Combien vaut $m$ ? 60
3. Quel est le reste de la division de $121$ par 2 ? 1
12.
Démontre "si $3n + 2$ est impair, alors $n$ est impair" par contraposée et vérifie avec $k = 4$ .
Réponse: 13
1. Suppose $n$ pair : $n = 2k$ . Pour $k = 4$ , combien vaut $n$ ? 8
2. Combien vaut $3n + 2$ ? 26
3. En général $3n + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1)$ . Combien vaut $3k + 1$ pour $k = 4$ ? 13
13.
Contraposée de "si $xy$ est impair, alors $x$ et $y$ sont impairs", cas " $x$ est pair". Suis la démonstration avec $x = 6$ et $y = 7$ .
Réponse: 21
1. Écris $x = 2k$ . Combien vaut $k$ ? 3
2. Combien vaut $xy$ ? 42
3. La démonstration écrit $xy = 2(ky)$ . Combien vaut $ky$ ? 21
14.
Compare les colonnes $p \to q$ et $\neg q \to \neg p$ dans la table de vérité à 4 lignes.
Réponse: 0
1. Sur combien des 4 lignes $p \to q$ est-elle vraie ? 3
2. Sur combien de lignes $\neg q \to \neg p$ est-elle vraie ? 3
3. Sur combien de lignes les deux colonnes ont-elles des valeurs différentes ? 0
15.
Démontre par contraposée : pour des réels $x$ , $y$ , $z$ , si $x + y + z \geq 30$ , alors $x \geq 10$ ou $y \geq 10$ ou $z \geq 10$ .
Réponse: $x + y + z < 30$
1. La conclusion niée est " $x < 10$ et $y < 10$ et $z < 10$ ". Combien d'inégalités supposes-tu ? 3
2. Additionne les inégalités : $x + y + z$ est inférieur à quel nombre ? 30
3. Peut-on alors avoir $x + y + z \geq 30$ ? Tape 1 pour oui, 0 pour non. 0
16.
Énoncé : si $n^2 - 6n + 5$ est pair, alors $n$ est impair. Vérifie la contraposée avec $n = 2k$ et $k = 5$ .
Réponse: 22
1. Combien vaut $n$ ? 10
2. Combien vaut $n^2 - 6n + 5$ ? 45
3. Écris le résultat sous la forme $2m + 1$ . Combien vaut $m$ ? 22
17.
Démontre par contraposée : si 7 nombres ont une somme $S$ supérieure à 63, alors au moins l'un d'eux est supérieur à 9.
Réponse: $S \leq 63$
1. Conclusion niée : chaque nombre vaut au plus quelle valeur ? 9
2. Quelle est la plus grande somme possible de 7 tels nombres ? 63
3. La somme peut-elle alors être supérieure à 63 ? Tape 1 pour oui, 0 pour non. 0
18.
Démontre "si $n^2$ n'est pas divisible par 3, alors $n$ n'est pas divisible par 3" par contraposée et vérifie avec $k = 7$ .
Réponse: 147
1. Suppose $n$ divisible par 3 : $n = 3k$ . Pour $k = 7$ , combien vaut $n$ ? 21
2. Combien vaut $n^2$ ? 441
3. En général $n^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ . Combien vaut $3k^2$ pour $k = 7$ ? 147